Hàm sóng Đơ-Brơi có dạng: (5-1)
Để tìm phương trình vi phân thoả mãn hàm sóng ta lần lượt lấy đạo hàm của theo thời gian:
(5-2)
Tương tự:
(5-3)
(5-4) (5-5)
Cộng (5-3), (5-4), (5-5) vế theo vế ta có:
+ + = (5-6)
Với trường hợp hạt chuyển động trong trường lực thế, ta có năng lượng toàn phần:
E = T + U =
Với U là hàm của toạ độ và thời gian, nhân 2 vế với ta được:
(5-7) Từ (5-2) (5-5) ta thấy:
(5-8)
Và: (5-9)
Thay vào (5-7) ta được:
+U. (5-10) Đó là phương trình Srôđingơ dạng tổng quát. 2.PHƯƠNG TRÌNH SRÔĐINGƠ DẠNG DỪNG:
Khi thế năng U không phụ thuộc thời gian hàm sóng dạng: (5-11)
Hoặc biến đổi thành:
(5-12)
(5-13)
Đó là phương trình Srôđingơ dạng dừng, thường được áp dụng rộng rãi trong nhiều bài toán cơ học lượng tử cho phép ta tìm được các thành phần của hàm sóng chỉ phụ thuộc vào các tọa độ không gian . Trường hợp đặc biệt khi vận dụng cho hạt chuyển động tự do thì phương trình (5-13) còn có dạng đơn giản hơn:
(5-14) Với E là động năng của hạt.
*Nhận xét:
-Phương trình Srôđingơ suy từ hàm sóng của hạt tự do nhưng lại áp dụng được cho mọi trường hợp kể cả khi hạt chịu tác dụng của trường lực bất kỳ U(x,y,z) hoặc trường lưc dừng U(x,y,z). Tuy nhiên không có cách chứng minh sự suy diễn đó là đúng, mà chỉ có thể thừa nhận như một tiên đề, sau đó xem xét kết quả tìm được bằng lý thuyết có phù hợp với thực nghiệm hay không. Vì vậy phương trình Srôđingơ cũng được coi là một tiên đề.
-Điều kiện vận dụng phương trình Srôđingơ là năng lượng của hạt là phi tương đối tính. Tức là chỉ xét khi v<<c. Do vậy mà: . Nếu
hạt chuyển động với vận tốc lớn v c phương trình Srôđingơ sẽ được thay thế bằng phương trình Đirắc.
-Nghiệm tìm được khi giải phương trình Srôđingơ chỉ là nghiệmtoán học. Nếu muốn trở thành hàm sóng diễn tả ý nghĩa xác suất thì phải thoả mãn các điều kiện tiêu chuẩn sau:
-Nghiệm phải liên tục: vì phải có xác suất tìm thấy hạt tại mỗi điểm trong không gian.
-Nghiệm phải đơn trị: vì tại mỗi điểm chỉ có thể có một giá trị xác suất. -Nghiệm phải hữu hạn: vì xác suất tìm thấy hạt là một số hữu hạn.