Theo lý thuyết Bo, electron trong nguyên tử Hydrô được coi là chuyển động theo những quỹ đạo tròn quanh hạt nhân với bán kính lần lượt là: Å (bán kính Bo lớn nhất0; 4ao; 9ao; ứng với các trạng thái dừng của nguyên tử: n=1,2,3,…
Lý thuyết lượng tử về nguyên tử Hydrô cho ta những quan nệm hoàn toàn khác. Nguyên lý bất định Haixenbéc khẳng định rằng ta không thể nào xác định hoàn toàn chính xác vị trí của electron trong nguyên tử, nói cách khác khái niệm quỹ đạo của electron ở đây là không thể chấp nhận và cơ học lượng tử chỉ cho ta biết được chính xác khả năng tìm thấy electron ở các vị trí khác nhau, tức là tính đựoc xác suất tìm thấy electron tại một thời điểm bất kì có toạ độ r, θ, ϕ
quanh hạt nhân. Mặc dù electron luôn luôn chuyển động nhưng phân bố xác suất tìm thấy electron tại các thời điểm khác nhau lại hoàn toàn không phụ thuộc vào thời gian. Ta xét cụ thể như sau:
Hàm sóng mô tả trạng thái nguyên tử cho bởi. (11-1)
Trong đó các thành phần đều là những hàm thoả mãn ba điều kiện tiêu chuẩn của hàm sóng. Suy ra mật độ xác suất tìm thấy electron trên là:
(11-2)
Trong đó bình phương mỗi hàm được hiểu là tích của hàm đó với liên hiệp phức của nó.
Mật độ xác suất cho ta khả năng tìm thấy electron theo hướng có góc phương vị xác định. Nhưng ta có:
(11-3) A: hệ số chuản hoá.
Ta thấy rằng mật độ xác suất này là một hằng số và không phụ thuộc vào . Có nghĩa là phân bố mật độ xác suất tìm thấy electron có tính chất đối xứng quanh trục z. Vuông góc với mặt phẳng xy chứa góc , hay nói cách khác khả năng tìm thấy electron ở mọi góc bất kỳ là như nhau.
Mật độ xác suất cho ta khả năng tìm thấy electron theo hướng có q xác định trên mặt phẳng kinh tuyến. Phân bố xác suất này là không đơn giản vì hàm Q phụ thuộc khá phức tạp vào q với mọi giá trị của l cà m. Tuy nhiên riêng với trạng thái s ta có trường hợp đơn giản. Vì trạng thái này l=m=0 và bằng hằng số nên kết hợp với kết quả trên ( =const), ta thấy xác suất tìm thấy electron là như nhau theo mọi hướng, tạo một khoảng cách r cho trước tính từ tâm hạt nhân. Nói cách khác, phân bố xác suất tìm thấy electron là có tính chất đối xứng cầu khi nguyên tử ở trạng thái s. Chính điều này đã giải thích được ý nghĩa vật lý của kết quả mômen quỹ đạo L có giá trị bằng 0 ứng với trạng thái s (l=0 L=0). Mômen quỹ đạo L=0 không có ý nghĩa là electron ngừng chuyển động quay quanh hạt nhân, như hiểu đơn thuần theo quan điểm của cơ học cổ điển. Trái lại electron vẫn tiếp tục chuyển động, nhưng vì phân bố trong trạng thái s có tính chất đối xứng cầu nên mọi phương không gian đều bình đẳng, vectơ có thể có mọi hướng đối xứng xuyên tâm, dẫn đến kết quả trung bình của L phải triệt tiêu, tức L=0.
Còn hàm xuyên tâm R biến thiên theo r và phụ thuộc vào hai lượng tử số n và l. Ta có thể tính được phân bố xác suất tìm thấy electron ở khoảng cách r từ hạt nhân như sau:
Ta biết xác suất tìm thấy electron trong một nguyên tố thể tích dV bao quanh điểm có toạ độ r, θ, ϕ cho trước là . Trong toạ độ cầu:
Kí hiệu dw là xác suất tìm thấy electron trong khoảng cách từ r đến r + dr tính từ hạt nhân đến phương bất kỳ (với mọi giá trị của θ và ϕ). Ta có:
(11-4)
Vì hai tích phân đều bằng i theo điều kiện chuẩn hoá; các hàm Θ và φ là hàm đã chuản hoá.
-Hình vẽ biểu diễn dw phụ thuộc r trong một số trạng thái. Trạng thái 1s; dW cực đại ở r=ao. Phù hợp với kết quả lý thuyết Bo.
Trạng thái 2p ( ; dW cực đại tại r=4ao; trạng thái 3d , dW cực đại tại r=9ao, v.v… Tất cả trùng hợp với lý thuyết Bo.
Tóm lại trong mỗi trường hợp mà mômen quỹ đạo có giá trị lớn nhất có thể đạt được với mức năng lượng tương ứng (l=n-1), và vectơ mômen quỹ đạo có phương gần sát trục z nhất (m=1). Xác suất tìm thấy electron ở gần xích đạo nhất (quỹ đạo Bo) thì kết quả cơ học lượng tử trùng với kết quả của Bo.
Như vậy, phân bố xác suất tìm thấy electron trong nguyên tử thay đôit tuỳ theo trạng thái của nguyên tử. Trong cơ học lượng tử người ta hình dung hình ảnh phân bố này như một “đám mây electron”, có chỗ dày, chỗ mỏng tương ứng với xác suất tìm thấy electron là lớn hay nhỏ. Như vậy hình ảnh đám mây điện tử sẽ thay cho khái niệm quỹ đạo của electron trong mẫu nguyên tử Bo.