Cỏc định hƣớng phỏt triển tƣ duy sỏng tạo cho học sinh qua nội dung tổ

2.1. Cỏc định hƣớng phỏt triển tƣ duy sỏng tạo cho học sinh qua nội dung tổ hợp tổ hợp

Ở phần trƣớc ta đó nghiờn cứu cơ sở lý luận và thực tiễn của vấn đề tƣ duy và tƣ duy sỏng tạo. Việc trang bị kiến thức, kỹ năng cơ bản cho học sinh, đặc biệt bồi dƣỡng tƣ duy sỏng tạo cho học sinh là một quỏ trỡnh liờn tục, trải qua nhiều giai đoạn với những mức độ khỏc nhau. Điều quan trọng nhất trong dạy học sỏng tạo là giải phúng hoạt động tƣ duy của học sinh bằng cỏch để cỏc em tự hoạt động, tự khỏm phỏ tỡm tũi, phải kết hợp tốt giữa hoạt động học tập và hoạt động nhận thức. Bờn cạnh đú tớnh tớch cực đƣợc nõng dần theo mức độ từ thấp đến cao: tớch cực động nóo, độc lập suy nghĩ đến tớch cực sỏng tạo. Ngƣời thầy cần rốn luyện học trũ nõng dần cỏc hoạt động từ dễ đến khú: từ theo dừi cỏch chứng minh, đến hoạt động mũ mẫm dự đoỏn kết quả và cuối cựng tự lực chứng minh. Việc dự đoỏn, mũ mẫm kết quả khụng chỉ tập cho học sinh phong cỏch nghiờn cứu khoa học, tập cỏc thao tỏc tƣ duy cần thiết, mà cũn là biện phỏp quan trọng nhằm nõng cao tớnh tớch cực của học sinh. Khi tự đƣa ra dự đoỏn, học sinh sẽ hào hứng và cú trỏch nhiệm hơn trong quỏ trỡnh tỡm tũi lời giải cho kết quả dự đoỏn của mỡnh.

Để bồi dƣỡng, phỏt triển tƣ duy sỏng tạo toỏn học cho học sinh, cú thể tiến hành theo cỏc phƣơng hƣớng sau:

2.1.1. Rốn luyện theo cỏc thành phần cơ bản của tư duy sỏng tạo

a) Tớnh mềm dẻo. Tớnh mềm dẻo của tƣ duy cú cỏc đặc trƣng nổi bật sau: - Dễ dàng chuyển từ hoạt động trớ tuệ này sang hoạt động trớ tuệ khỏc, vận dụng linh hoạt cỏc hoạt động phõn tớch, tổng hợp, so sỏnh, trừu tƣợng húa, khỏi quỏt húa, cụ thể húa và cỏc phƣơng phỏp suy luận nhƣ quy nạp, suy

diễn, tƣơng tự; dễ dàng chuyển từ giải phỏp này sang giải phỏp khỏc; điều chỉnh kịp thời suy nghĩ nếu gặp trở ngại.

- Suy nghĩ khụng dập khuụn, khụng ỏp dụng một cỏch mỏy múc những kinh nghiệm, kiến thức, kỹ năng đó cú vào trong hoàn cảnh mới, điều kiện mới trong đú cú những yếu tố đó thay đổi; cú khả năng thoỏt khỏi ảnh hƣởng kỡm hóm của của những kinh nghiệm, những phƣơng phỏp, những suy nghĩ đó cú từ trƣớc.

- Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhỡn thấy chức năng mới của đối tƣợng quen biết.

Qua cơ sở lý luận tớnh mềm dẻo trong tƣ duy, ta thấy để giải một bài tập cụ thể cú vƣớng mắc, hoặc thấy cỏch giải cũn chƣa hay, thỡ gợi mở cho học sinh theo cỏc hƣớng trờn để đạt đƣợc hiệu quả tốt hơn.

Vớ dụ 1. Lần lƣợt xột cỏc bài toỏn sau đõy:

Bài toỏn 1.1. Cú bao nhiờu số được tạo ra bằng cỏch hoỏn vị cỏc chữ số của số 1234567?

Lời giải. Vỡ cỏc chữ số của số đó cho 1234567 đụi một khỏc nhau nờn mỗi số tạo ra là một hoỏn vị của bảy chữ số trờn. Vậy cú thể tạo ra 7! = 5040 số.

Bài toỏn 1.2. Cú bao nhiờu số được tạo ra bằng cỏch hoỏn vị cỏc chữ số của số 1133345?

Hướng dẫn và lời giải. Tiếp tục ý tƣởng của BT1.1, sử dụng cụng thức về số hoỏn vị để giải BT này. Tuy nhiờn vỡ hai chữ số 1 giống nhau, ba chữ số 3 giống nhau nờn khi hoỏn vị hai chữ số 1 cho nhau, ba chữ số 3 cho nhau ta nhận đƣợc cựng một kết quả. Vỡ vậy bài toỏn đƣợc giải nhƣ sau:

Coi bảy chữ số trờn khỏc nhau, số hoỏn vị của bảy phần tử là 7!. Khi hoỏn vị hai chữ số 1 cú 2! cỏch, hoỏn vị ba chữ số 3 cú 3! cỏch. Do đú chỉ lập đƣợc 7!

Bài toỏn 1.3. Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Hỏi từ A cú thể lập được bao nhiờu số tự nhiờn bảy chữ số, trong đú chữ số 2 xuất hiện đỳng hai lần, chữ số 3 xuất hiện đỳng ba lần, cỏc chữ số khỏc xuất hiện khụng quỏ một lần?

Hướng dẫn. Đõy là bài toỏn lập số, chẳng hạn một số lập đƣợc là 4232733. Khi núi đến lập số, học sinh dễ nghĩ đến sử dụng chỉnh hợp, vỡ cần phải quan tõm đến thứ tự cỏc chữ số. Tuy nhiờn trong bài toỏn này, số lập ra cú cỏc chữ số giống nhau, và xuất hiện một số lần nhất định. Do đú nờn gợi mở cho học sinh suy nghĩ theo cỏc hƣớng: cỏch thứ nhất là HS cú thể tiếp tục ý tƣởng của BT1.2, chọn cỏc chữ số trƣớc, sau đú hoỏn vị cỏc chữ số để tạo thành số thỏa món; cỏch thứ hai là thực hiện chọn cỏc phần tử của tập hợp A xếp vào bảy vị trớ để đƣợc một số thỏa món yờu cầu.

Lời giải của bài toỏn như sau:

Lời giải 1. Chọn hai chữ số khỏc nhau {a, b}, a < b, trong năm chữ số (khỏc 2 và 3) của tập hợp A, cú 2

5

C cỏch. Khi đú với mỗi số 22333ab, hoỏn vị cỏc chữ số của số đú ta nhận đƣợc 7!

2!.3! số thỏa món. Vậy cú thể tạo ra tất cả 2

5 C 7!

2!.3!= 10.420 = 4200 số.

Lời giải 2. Gọi số cần lập là x = x x1 2 x3 x4 x5 x6 x7 (bảy vị trớ) + Chọn hai vị trớ trong bảy vị trớ cho chữ số 2: cú 2

7

C cỏch; + Chọn ba vị trớ trong năm vị trớ cũn lại cho chữ số 3: cú 3

5

C cỏch;

+ Chọn hai chữ số khỏc nhau trong A\{2, 3} = {1, 4, 5, 6, 7} và xếp vào hai vị trớ cũn lại: cú 2 5 A cỏch. Vậy số cỏch lập đƣợc số x (cũng là số cỏc số x) là: 2 3 2 7 5 5 C C A 4200

b) Tớnh nhuần nhuyễn đƣợc thể hiện ở hai đặc trƣng sau:

- Tớnh đa dạng của cỏc cỏch xử lý khi giải toỏn: khả năng tỡm đƣợc nhiều giải phỏp trờn nhiều gúc độ và tỡnh huống khỏc nhau. Đứng trƣớc một vấn đề, ngƣời cú tƣ duy nhuần nhuyễn nhanh chúng tỡm và đề xuất nhiều phƣơng ỏn khỏc nhau để giải quyết, từ đú đƣa ra đƣợc phƣơng ỏn tối ƣu.

- Khả năng xem xột đối tƣợng dƣới nhiều khớa cạnh khỏc nhau, cú một cỏch nhỡn sinh động từ nhiều phớa đối với sự vật và hiện tƣợng chứ khụng phải cỏi nhỡn bất biến, phiến diện, cứng nhắc.

Khi thực hành giải toỏn, để thực hiện đƣợc điều này, ta cần phõn tớch cho học sinh thấy rừ cỏc bƣớc để giải một bài toỏn, tỡm sự quan hệ gần gũi giữa bài toỏn đó cho và bài toỏn đó biết...

Vớ dụ 2.Tớnh hệ số của 15

x trong khai triển của  2 3 20

( 1 x x ) .

Hướng dẫn và lời giải. Đõy là bài toỏn liờn quan đến khai triển lũy thừa của đa thức, do đú nờn sử dụng cụng thức nhị thức Newton. Vỡ cụng thức Newton chỉ khai triển cho tổng dạng n

(ab) nờn phải sử dụng cụng thức đú hai lần, đầu tiờn cho a = 2

1 x , b = x , sau đú tiếp tục ỏp dụng cho a = 1, 3 2

b x .

Lời giải của bài toỏn như sau:

20 2 3 20 k 2 k 3 20 k 20 k 0 (1 x x ) C (1 x ) (x )       20 k 60 3k k i 2 i 20 k k 0 i 0 C x  C ( x )             20 k i k i 60 3k 2i 20 k k 0 i 0 ( 1) C C x       Để hệ số của x bằng 15 thỡ 60 3k 2i 15 0 i k 20         

Từ phƣơng trỡnh thứ nhất suy ra k 45 2i 3



 , kết hợp với k và k20 suy ra i chia hết cho 3 và i 7 . Do đú cỏc nghiệm là (i, k) = (0, 15); (3, 17), (6, 19). Vậy hệ số của x bằng: 15

0 15 0 3 17 3 6 19 6 20 15 20 17 20 19 ( 1) C C  ( 1) C C  ( 1) C C

= C1520 C C1720 173 C C1920 196 = 217056.

c) Tớnh độc đỏo đƣợc đặc trƣng bởi cỏc khả năng:

- Khả năng tỡm ra những liờn tƣởng và những kết hợp mới.

- Khả năng nhỡn ra những mối liờn hệ trong những sự kiện bờn ngoài tƣởng nhƣ khụng cú liờn hệ với nhau.

- Khả năng tỡm ra giải phỏp lạ tuy đó biết những phƣơng phỏp khỏc.

Vớ dụ 3.Cho phương trỡnh x1x2 x3x4 12

a) Tỡm số cỏc nghiệm nguyờn dương của phương trỡnh sao cho xi đụi một khỏc nhau.

b) Tỡm số cỏc nghiệm nguyờn dương của phương trỡnh. c) Tỡm số cỏc nghiệm nguyờn khụng õm của phương trỡnh.

Hướng dẫn và lời giải.

a) Nhận xột. Vỡ số 12 là số khỏ nhỏ nờn cú thể nghĩ đến liệt kờ cỏc bộ bốn số đụi một khỏc nhau và cú tổng là 12. Việc liệt kờ này chắc chắn khụng quỏ nhiều trƣờng hợp vỡ chỉ kể ra những bộ số x1, x2, x3, x4 cú giỏ trị tăng dần. Cụ thể nhƣ sau:

+ Nếu x1= 1, x2 phải lớn hơn 1, chẳng hạn x2= 2, tiếp theo x3 cú thể bằng 3, khi đú x4 bằng 6, thỏa món.

+ Nếu x1= 1, x2= 2, x3= 4 thỡ x4= 5, thỏa món.

+ Nếu x1= 1, x2= 3 thỡ x34, x4x3 nờn x3x49 khụng thỏa món.

+ Nếu x12 thỡ x2 3, x34, x45 khụng thỏa món.

Như vậy lời giải phần a) như sau:

Chỉ cú cỏc bộ số nguyờn dƣơng sau đõy đụi một khỏc nhau và cú tổng bằng 12:

(1, 2, 3, 6) (1, 2, 4, 5)

Mỗi hoỏn vị của một bộ số trờn là một nghiệm của phƣơng trỡnh ban đầu, do đú số nghiệm thỏa món là: 2.4! = 48.

b) Nhận xột. Tiếp tục ý tƣởng phần a, học sinh cú thể nghĩ đến việc liệt kờ cỏc nghiệm thỏa món, tuy nhiờn khi giả thiết bỏ đi điều kiện “cỏc số xi phõn biệt” thỡ cụng việc khú khăn hơn rất nhiều, vỡ trong bốn nghiệm đú cú thể cú hoặc khụng cú cỏc nghiệm nhận cựng một giỏ trị. Khi đú phải hỡnh dung bài toỏn theo một cỏch khỏc nhƣ sau: coi 12 là 12 đơn vị, và phõn chia 12 đơn vị này vào 4 ụ x1, x2, x3, x4 sao cho ụ nào cũng cú ớt nhất một đơn vị.

Lời giải phần b) như sau:

Xột 12 ký hiệu “x” dƣới đõy:

x _ x _ x _ x _ x _ x _ x _ x _ x _ x _ x _ x giữa chỳng cú 11 khoảng cỏch mà ta ký hiệu là dấu “_”.

Viết xen vào khoảng cỏch giữa chỳng 3 dấu phõn chia “|”, chẳng hạn: x _ x _ x | x _ x _ x _ x | x _ x | x _ x _ x

tức là cú x1= 3, x2= 4, x3 = 2, x4= 3 thỏa món yờu cầu.

Vậy mỗi nghiệm của phƣơng trỡnh cú đƣợc bằng cỏch chọn 3 trong 11 khoảng cỏch để phõn chia, do đú số nghiệm nguyờn dƣơng là 3

11

C = 165.

c) Nhận xột. Học sinh cú thể nhận thấy khi giả thiết thay đổi từ “dƣơng” sang “khụng õm” thỡ cỏc nghiệm cú thể bằng 0, điều đú nghĩa là chọn theo kiểu của phần b) khụng sử dụng đƣợc, vỡ khi chọn khoảng cỏch “_” làm dấu phõn chia “|” thỡ giữa chỳng thế nào cũng cú ớt nhất một đơn vị “x”. Muốn xảy ra cỏc nghiệm bằng 0 thỡ phải chọn đƣợc trƣờng hợp mà hai dấu phõn chia “|” kề

nhau, giữa chỳng khụng cú đơn vị nào. Từ đú thay đổi cỏch thức chọn của phần b) ta cú:

Lời giải phần c) như sau:

Xột 15 vị trớ gồm 12 đơn vị “x” và 3 dấu phõn chia “|”: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Chọn từ 15 vị trớ đú ra 3 vị trớ để làm dấu phõn chia “|” (12 vị trớ cũn lại là dấu “x”), chẳng hạn:

x x | x x x x x x | | x x x x tức là cú x1= 2, x2= 6, x3 = 0, x4= 4 thỏa món yờu cầu.

Vậy mỗi nghiệm của phƣơng trỡnh cú đƣợc bằng cỏch chọn 3 vị trớ trong 15 vị trớ để phõn chia, do đú số nghiệm nguyờn khụng õm là 3

15

C = 455.

Cỏc yếu tố cơ bản núi trờn khụng tỏch rời nhau mà trỏi lại, chỳng quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau. Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trớ tuệ này sang hoạt động trớ tuệ khỏc (tớnh mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tỡm đƣợc nhiều giải phỏp trờn nhiều gúc độ và tỡnh huống khỏc nhau (tớnh nhuần nhuyễn) và nhờ đề xuất nhiều phƣơng ỏn khỏc nhau mà cú thể tỡm đƣợc những phƣơng ỏn lạ, đặc sắc (tớnh độc đỏo). Cỏc yếu tố cơ bản này lại cú quan hệ khăng khớt với cỏc yếu tố khỏc nhƣ tớnh chớnh xỏc, tớnh hoàn thiện, tớnh nhạy cảm vấn đề.... Tất cả cỏc yếu tố đặc trƣng núi trờn cựng gúp phần tạo nờn tƣ duy sỏng tạo, đỉnh cao nhất trong cỏc hoạt động trớ tuệ của con ngƣời.

Hoạt động giải toỏn là một hoạt động chủ yếu giỳp rốn luyện tƣ duy sỏng tạo toỏn học cho học sinh, mỗi dạng bài tập đều cú tỏc dụng nhất định đối với từng thành phần cơ bản của tƣ duy sỏng tạo.

2.1.2. Hướng vào rốn luyện cỏc hoạt động trớ tuệ

Cỏc hoạt động trớ tuệ trong mụn toỏn cú thể kể đến nhƣ: dự đoỏn, bỏc bỏ, lật ngƣợc vấn đề, cỏc thao tỏc tƣ duy toỏn học... Rốn luyện cho học sinh những hoạt động đú là khõu quan trọng nhất trong dạy học sỏng tạo.

Vớ dụ 4. Xột bài toỏn sau: Cú bao nhiờu cỏch xếp 6 quyển sỏch vào 4 ngăn kộo?

Nhận xột. Bài toỏn đƣợc phỏt biểu khỏ đơn giản, tuy nhiờn nếu khụng xem xột hết cỏc tỡnh huống thỡ dễ dẫn đến lời giải gõy tranh cói. Gọi cỏc quyển sỏch là 1, 2, 3, 4, 5, 6; cỏc ngăn kộo là A, B, C, D. Một số cỏch xếp cú thể xảy ra là:

Ngăn A Ngăn B Ngăn C Ngăn D Cỏch a 1, 3, 5 4 2, 6 Cỏch b 2, 3, 5 1 4, 6 Cỏch c 1 4, 6 2, 3, 5 Cỏch d 2, 3 1, 4, 5, 6

Chỳng ta đó biết hai điều kiện quan trọng cần chỳ ý khi thực hiện cỏc quy tắc đếm, đú là “phần tử đƣợc chọn cần phõn biệt hay đƣợc lặp lại” và “việc sắp xếp cú cần thứ tự hay khụng”. Từ đú dẫn đến cỏc bài toỏn (BT) sau đõy:

BT4.1: Cú bao nhiờu cỏch xếp 6 quyển sỏch khỏc nhau vào 4 ngăn kộo khỏc nhau?

Hướng dẫn và lời giải. Trong bài toỏn này cỏc cỏch xếp sỏch kể trờn là khỏc nhau. Vỡ cỏc ngăn kộo khỏc nhau nờn mỗi quyển sỏch cú 4 cỏch xếp. Do cỏc quyển sỏch khỏc nhau nờn ỏp dụng quy tắc nhõn suy ra cú 6

4 = 4096 cỏch xếp.

BT4.2: Cú bao nhiờu cỏch xếp 6 quyển sỏch giống nhau vào 4 ngăn kộo khỏc nhau?

Hướng dẫn và lời giải. Vỡ cỏc quyển sỏch giống nhau nờn cỏch (a) và (b) ở trờn đƣợc coi là một cỏch, cũn cỏch (b) và (c) là hai cỏch khỏc nhau do ngăn kộo khỏc nhau. Đõy là bài toỏn liờn quan đến tổ hợp lặp, số cỏch xếp là số nghiệm nguyờn khụng õm (A, B, C, D) của phƣơng trỡnh A + B + C + D = 6. Vậy số cỏch xếp là 4 1 3

6 4 1 9

C   C = 84.

BT4.3:Cú bao nhiờu cỏch xếp 6 quyển sỏch giống nhau vào 4 ngăn kộo giống nhau?

Hướng dẫn và lời giải. Vỡ cỏc quyển sỏch giống nhau, ngăn kộo giống nhau nờn cỏc cỏch xếp (a), (b), (c) ở trờn là một, chỉ cỏch (d) là khỏc cỏc cỏch cũn lại. Số cỏch xếp của BT này là số nghiệm nguyờn khụng õm viết theo thứ tự khụng giảm của phƣơng trỡnh A + B + C + D = 6. Cú thể kể ra tất cả cỏc nghiệm đú nhƣ sau:

(0, 0, 0, 6) (0, 0, 3, 3) (0, 2, 2, 2) (0, 0, 1, 5) (0, 1, 1, 4) (1, 1, 1, 3) (0, 0, 2, 4) (0, 1, 2, 3) (1, 1, 2, 2) Vậy cú 9 cỏch xếp thỏa món yờu cầu.

BT4.4: Cú bao nhiờu cỏch xếp 6 quyển sỏch khỏc nhau vào 4 ngăn kộo giống nhau?

Hướng dẫn và lời giải. Vỡ cỏc ngăn kộo giống nhau nờn cỏc cỏch xếp b và c đƣợc coi là một cỏch, tuy nhiờn cỏch xếp a và b đƣợc coi là hai cỏch khỏc nhau (do quyển sỏch khỏc nhau). Nhƣ vậy từ một cỏch xếp của BT4.2, hoỏn vị cỏc ngăn kộo ta sẽ nhận đƣợc cỏc cỏch xếp khỏc nhau của BT4.1. Đến đõy học sinh rất dễ suy ra kết quả là

6 4

4!, tuy nhiờn số đú bằng512

3 (!!). Sai lầm

mắc phải là do khụng phải mỗi cỏch xếp của BT4.2 đều cho 4! cỏch xếp của BT4.1. Ở bảng liệt kờ trờn, sau khi hoỏn vị cỏc ngăn kộo, từ cỏch (c) cú thể

nhận đƣợc 4! cỏch xếp cho BT4.1, nhƣng từ cỏch (d) chỉ nhận đƣợc 4!