Một mạng Petri ngẫu nhiên (stochastic Petri net - SPN) là một mạng Petri trong đó mỗi trasition được kết hợp với biến ngẫu nhiên phân phối mũ thể hiện độ trễ từ khi
trasition kích hoạt tới khi trasition hoạt động. Trong trường hợp nhiều trasition đồng thời kích hoạt thì transition có độ trễ ngắn nhất sẽ hoạt động đầu tiên.
Mạng Petri được mở rộng bằng cách kết hợp thời gian với sự hoạt động của các transition, gọi là các mạng Petri thời gian (timed Petri nets). Trong đó mạng Petri ngẫu nhiên (stochastic Petri net- SPN) là trường hợp đặc biệt của mạng Petri thời gian, ở đó các lần hoạt động được xem xét như các biến ngẫu nhiên. Luận văn chỉ tập trung nghiên cứu các SPN có các lần hoạt động tuân theo luật phân phối mũ.
Sau đây chúng ta sẽ xem xét một số mạng Petri mô tả các hệ thống hàng đợi M/M/1, M/M/n, M/M/m/K.
3.3.3.1. Mạng Petri mô tả hệ thống hàng đợi M/M/1
Như đã trình bày trong mục 2.3.1, hệ thống hàng đợi M/M/1 được mô hình hóa trong hình 2.4 như sau:
Hệ thống được biểu diễn trong Petri Net [20] như sau:
Hình 3.7. Petri Net mô phỏng hàng đợi M/M/1
- Mạng Petri hình 3.7 gồm 2 transition t1 (sinh sự kiện khách hàng vào hệ thống), t2 (sinh sự kiện khách hàng được phục vụ) và một place P1 là hàng đợi nơi chứa các khách hàng vào hệ thống.Với đồ thị reachability tương ứng biểu diễn trong hình 3.8. Vàsơ đồ tốc độ chuyển đổi trạng thái thể hiện trong hình 2.5, đã trình bày trong mục 2.3.1
Đồ thị reachability có các nhãn bên trong mỗi trạng thái là tokens trong place P1. Sự hoạt động (firing) của t1 sẽ tăng số token trong P1 lên 1 theo tốc độ đến λ (tương ứng với 1 khách hàng đến hệ thống hàng đợi), trong khi sự hoạt động (firing) của t2 sẽ giảm 1 token trong P1 theo tốc độ phục vụ μ (tương ứng với 1 khách hàng ra khỏi hàng đợi đi vào kênh phục vụ).
Rong Hình 3.8. Đồ thị reachability tương ứng Server Khách đến tốc độ nguyên tắc phục vụ Khách ra tốc độ µ ρ hệ số sử dụng 𝓍 thời gianphục vụ W thời gian đợi
Hàng đợi (queue) P1 t2 t1 … … 0 1 2 k-1 k λ λ λ μ μ μ 0 1 2 k-1 k t1 t1 t1 t2 t2 t2
3.3.3.2. Mạng Petri mô tả hệ thống hàng đợi M/M/1/K
Tương tự với hệ thống M/M/1, chúng ta có thể mở rộng cho mô hình hàng đợi M/M/1/K. Hệ thống được biểu diễn trong Petri Net [20] như sau:
Hình 3.9. Petri Net mô phỏng hàng đợi M/M/1/K
Mạng Petri mô tả hàng đợi M/M/1/K như sau:
- Các token trong các place đại diện cho các khách hàng
- Transition t1 hoạt động tương ứng với sự kiện lấy khách hàng ra khỏi hàng đợi P1 - Place P2 là place trung gian, có vài trò là place đầu vào cho transition t2
- Transition t2 đại diện cho kênh phục vụ.
Mạng Petri được thiết lập đảm bảo:
- Tổng số tokens trong P1 và P2 bằng K - t1 hoạt động theo tốc độ đến λ
- t2 hoạt động theo tốc độ phục vụ μ.
Mô tả hoạt động của mạng:
- Transition t1 hoạt động sẽ lấy 1 token trong P1 và đặt vào P2. Hoạt động này tương ứng với một khách hàng ra khỏi hàng đợi đi vào kênh phục vụ.
- Transition t2 được kích hoạt do place đầu vào P2 có token, sau đó t2 hoạt động sẽ lấy đi 1 token trong P2 và đặt một token vào P1. Hoạt động này tương ứng với một khách hàng được phục vụ, sau đó rời khỏi hệ thống và một khách hàng mới được thêm vào hàng đợi. Như vậy đảm bảo được yêu cầu hệ thống luôn chỉ có tối đa K khách.
3.3.3.3. Mạng Petri mô tả hệ thống hàng đợi M/M/m/K
Để dễ ràng thấy được mối liên hệ giữa mô hình mạng Petri [20] mô tả hệ thống hàng đợi M/M/m/K đã trình bày trong mục 2.3.4 chương 2. Chúng ta có các mô tả tương ứng sau:
- Các token trong các place đại diện cho các khách hàng.
- Transition t1 hoạt động tương ứng với sự kiện khách hàng ra khỏi hàng đợi.
- Transition t2 là một trasition ngay lập tức (chúng bỏ qua thời gian chuyển từ hàng đợi vào kênh phục vụ). Đây là một transition trung gian.
- Transition t3 đại diện cho kênh phục vụ.
K P2 t2 t1 μ λ P1
Mạng Petri được thiết lập đảm bảo:
- Tổng số tokens trong P1 và P2 bằng s=K-m - Tổng số tokens trong P3 và P4 bằng m - Transition t1 hoạt động theo tốc độ đến λ
- Tốc độ hoạt động của t3 là tốc độ phục vụ, tỉ lệ thuận với số các kênh phục vụ hoạt động m4μ (μ: tốc độ phục vụ của một kênh phục vụ, m4: số tokens trong P4)
Hình 3.10. Petri Net mô phỏng hàng đợi M/M/m/K
Mô tả hoạt động của mạng trình bày trong hình 3.10
- Transition t1 hoạt động sẽ lấy 1 token trong P1 và đặt vào P2. Hoạt động này tương ứng với một khách hàng ra khỏi hàng đợi đi vào kênh phục vụ.
- Transition t2 được kích hoạt do place đầu vào P2 có token, sau đó t2 hoạt động sẽ lấy đi 1 token trong P2 và một token trong P3, đặt một token vào P4 và P1. Hoạt động này tương ứng với một khách hàng rời khỏi kênh phục vụ, đồng thời một khách hàng khác sẽ ra khỏi hàng đợi đi vào kênh phục vụ và sau một thời gian ngẫu nhiên một khách hàng sẽ bổ sung vào hàng đợi.
- Transition t3 được kích hoạt do place đầu vào P4 có token, sau một thời gian trễ nào đó t3 hoạt động sẽ lấy đi 1 token trong P4 và đặt một token vào P3. Hoạt động này tương ứng với một khách hàng được đưa vào kênh phục vụ. Như vậy đảm bảo được yêu cầu tại một thời điểm hệ thống chỉ có tối đa m khách hàng được phục vụ.