- Cụng thức phõn tớch (biến đổi Fourier thuận)
4. Tớnh chất đối xứng
3.6.3.1. Phộp dịch vũng vă tớnh đối xứng vũng của một dóy:
Như ta đó biết, DFT- N điểm của một dóy x(n) cú chiều dăi hữu hạn L, với L≤N, tương đương với DFT – N điểm của dóy tuần hoăn xp(n), chu kỳ N, mă nú được thănh lập bằng cỏch xếp tuần hoăn dóy x(n) với chu kỳ N theo pt(3.196). Bõy giờ, giả sử xp(n)
được dịch phải k mẫu, dóy tuần hoăn thu được sẽ lă:
∑∞−∞ −∞ = − − = − = l P p n x n k x n k lN x ( ) ( ) ( ) (3.201)
Vỡ ta vẫn khảo sỏt tớn hiệu trong khoảng 0 ≤ n ≤ N – 1, nờn dóy cú chiều dăi hữu
hạn tương ứng lă:
x|(n) quan hệ với dóy nguyờn thủy x(n) bởi phộp dịch vũng. Hỡnh 3.27 minh họa
phộp dịch vũng với N = 4.
Định nghĩa phộp dịch vũng: dịch vũng chỉ số modulo N (ta sẽ gọi tắt lă dịch vũng modulo N) một dóy x(n) cú chiều dăi hữu hạn L, với L ≤ N lă phộp dịch mă theo đú cỏc
mẫu ra khỏi khoảng [0,N-1] sẽ quay vũng lại đầu kia.
Nếu x|(n) lă tớn hiệu thu được trong phộp dịch vũng k mẫu modulo N của dóy x(n) , ta ký hiệu:
x|(n) = x(n– k,(mod N)) (3.203) Vớ dụ: nếu k = 2 vă N = 4, ta cú: x|(n) = x(n– 2,(mod 4)) cụ thể lă: x|(0) = x(– 2,(mod 4)) = x(2) x|(1) = x(– 1,(mod 4)) = x(3) x|(2) = x( 0 , (mod 4)) = x(0) x|(3) = x( 1 , (mod 4)) = x(1)
Một cỏch hỡnhảnh, ta cú thể coi phộp dịch vũng như lă cỏc mẫu thu được trong một
cửa sổ cú chiều dăi N đứng yờn khi dóy tuần hoăn xp(n) được dịch ngang qua cửa sổ
năy.
Thay vỡ biểu diễn N mẫu, từ 0 đến N – 1, dọc theo một trục nằm ngang, để thuận
tiện ta xếp chỳng trờn một vũng trũn vă chọn một chiều dương. Ở đõy, ta chọn chiều dương lă ngược chiều kim đồng hồ. Cỏc mẫu của dóy x(n) (hay x|(n)) vă giỏ trị của chỳng được ghi bờn cạnh cỏc điểm tương ứng (Hỡnh 3.28). Ta thấy, nếu giữ cố định cỏc điểm vă quay tập cỏc giỏ trị k mẫu (theo chiều dương khi k>0, ngược chiều dương khi k<0) ta thu được dóy x|(n) trong phộp dịch vũng k mẫu modulo N.
Từ việc sắp xếp một dóy cú chiều dăi hữu hạn theo N điểm trờn vũng trũn, ta cú cỏc
định nghĩa khỏc về sự đối xứng chẳn, đối xứng lẻ vă đảo thời gian của một dóy.
Một dóy N điểm được gọi lă chẵn nếu nú đối xứng xung qu../Anh điểm khụng
trờn vũng trũn.Điều năy cú nghĩa lă:
x(N– n) = x(n) với 0 ≤ n ≤ N-1 (3.204)
Một dóy N điểm được gọi lă lẻ nếu nú phản đối xứng xung qu../Anh điểm
khụng trờn vũng trũn.Điều năy cú nghĩa lă:
x(N– n) = - x(n) với 0≤ n ≤ N-1 (3.205)
Đảo thời gian của một dóy Nđiểm lă một dóy thu được bằng cỏch nghịch đảo
cỏc mẫu xung qu../Anh điểm khụng trờn vũng trũn. Nếu ta ký hiệu dóy đảo thời gian
chỉ số modulo N lă x(-n,(mod N)), thỡ định nghĩa năy hăm ý rằng:
x(– n, (mod N)) = x(N - n) với 0 ≤ n ≤ N-1 (3.206) Hỡnh 3.28 (a) dóy x(n) trong hỡnh 3.27ađược xếp lại trờn vũng trũn
Phộp đảo thời gian tương đương với việc xếp x(n) theo ngược chiều kim đồng hồ
trờn vũng trũn (Hỡnh 3.29.(b)).