Để phân tích trường hợp này, chúng ta trở lại một lần nữa với mô hình có hai biến hồi qui, chỉ có lần này chúng ta giả định rằng X3 là không có quan hệ đến Y (có nghĩa là ). Hay nói khác đi biến X3 là biến thừa trong mô hình ước lượng.
Mô hình thực Mô hình ước lượng
a) Ước lượng của các hệ số hồi qui khác (ngọai trừ X3) không chệch và nhất quán (consistency)
Một lần nữa, chúng ta lấy các hệ số ước lượng và tính các kỳ vọng của chúng:
9.15 Thay Yi bằng mô hình thực và biến đổi một chút:
9.16 Rõ ràng, số hạng thứ nhất là và số hạng thứ hai có kỳ vọng bằng không, vì thế ước lượng này là không chệch.
Nhìn vào phần thứ nhì của biểu thức 9.16 chúng ta dễ dàng tìm ra được
Và khi n càng lớn thì và hội tụ về COV (e, X) = 0 . Từ đó ta có thể thấy rằng ước lượng này có tính nhất quán
Bây giờ hãy xét ước lượng hệ số cho biến không phù hợp nhưng lại được đưa vào mô hình:
Một lần nữa, thay Yi bằng mô hình thực và biển đổi một chút
Kỳ vọng của ước lượng này bằng không.
b) Phương sai của ước lượng của các hệ số hồi qui sẽ cao hơn khi không có biến không phù hợp trong mô hình nên ước lượng không hiệu quả vì không có phương sai nhỏ nhất. Xem biểu thức 9.14.
Kết luận: Do đó chúng ta thấy rằng khi chúng ta đưa các biến không phù hợp vào, chúng ta nhận được các ước lượng không chệch của tất cả các hệ số , nhưng chi phí phải trả là những phương sai tối thiểu lớn hơn so với trường hợp mà chúng ta đã không đưa biến không phù hợp vào mô hình.
Ví dụ cho trường hợp mô hình ước lượng thừa biến giải thích không phù hợp Chúng ta đưa thêm vào mô hình hai biến bất kỳ nào đó như POP và UNEMP
Nhận xét các kết quả của bảng hồi qui này. Quan trọng là hai biến đưa vào mới. Giả thiết hai biến mới là hai biến thừa, chúng ta lại thực hiện kiểm định Wald