Giữ nguyên các giả thiết như đã biết trong Phần 3.1 và Phần 3.2. Đặt
F = M n,n1,...,ns≥0 JnIn1 1 ã ã ãIns s Jn+1In1 1 ã ã ãIns s , FN = M n,n1,...,ns≥0 JnIn1 1 ã ã ãIns s N Jn+1In1 1 ã ã ãIns s N.
Nghĩa làF vàFN lần lượt là vành nón thớ và môđun nón thớ của đại số Rees đa phân bậc và môđun Rees đa phân bậc tương ứng dưới đây:
A[J t, I1t1, . . . , Ists] =Ln,n 1,...,ns≥0JnIn1 1 ã ã ãIns s tntn1 1 ã ã ãtns s , N[J t, I1t1, . . . , Ists] =Ln,n 1,...,ns≥0JnIn1 1 ã ã ãIns s N tntn1 1 ã ã ãtns s .
Ta cóF là một đại số(s+ 1)-phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên vành địa phương Artin
A/J và FN là một F-môđun (s+ 1)-phân bậc hữu hạn sinh. Đặt I = I1ã ã ãIs, ` = dimFN4.Theo [1, Mệnh đề 2.2.3(i)], ` = dimN/(0N :I∞).Ta có
e(FN;k0, k1, . . . , ks) = eA(J[k0+1], I[k1]
1 , . . . , I[ks]
s ;N)
với mọik0+k1+ã ã ã+ks =`−1.Như vậy trong trường hợp này bội trộn của môđun nón thớ đa phân bậc đã cho chính là bội trộn của các iđêanJ, I1, . . . , Is theo N. Tính
dương và mối quan hệ của các số bội trộn này đã được nghiên cứu trong [32] dưới ngôn ngữ dãy (FC). Theo [1, Bổ đề 2.4.3], nếu I =I1ã ã ãIs *√
AnnN thì ta có
eA(J[k0+1], I1[0], . . . , Is[0];N) =e(J;N/(0N :I∞)).
Theo Mệnh đề 3.2.1, eA(J[k0+1], I[k1]
1 , . . . , I[ks]
s ;N)6= 0 nếu và chỉ nếu tồn tại một dãy siêu bề mặt x1, . . . , xn của (J, I1, . . . , Is) theo J và N gồm k1 phần tử của I1, . . . , ks
phần tử củaIs sao cho
dim N (x1, . . . , xn)N :I∞ = dimN/(0N :I∞)−n vàeA(J[k0+1], I1[0], . . . , Is[0];N)6= 0, ở đây N =N/(x1, . . . , xn)N. Vì n <dimN/(0N :I∞) nêndim N (x1, . . . , xn)N :I∞ >0. Vậy I * √ AnnN. Do đó eA(J[k0+1], I1[0], . . . , Is[0];N) =eAJ; N (x1, . . . , xn)N :I∞ 6 = 0. Vậy eA(J[k0+1], I[k1] 1 , . . . , I[ks]
s ;N) 6= 0 nếu và chỉ nếu tồn tại một dãy siêu bề mặt
x1, . . . , xn của (J, I1, . . . , Is)theo J vàN gồmk1 phần tử củaI1, . . . , ks phần tử củaIs
sao cho dim N (x1, . . . , xn)N :I∞ = dimN/(0N :I∞)−n.
Từ những điều này và Mệnh đề 3.2.1, ta thu được định lí sau đây.
Định lí 3.3.1. Cho J là một iđêan m-nguyên sơ và I1, . . . , Is là các iđêan sao cho
I =I1ã ã ãIs *√
AnnN. Khi đó, ta có các khẳng định sau. (i) eA(J[k0+1], I[k1]
1 , . . . , I[ks]
s ;N) 6= 0 nếu và chỉ nếu tồn tại một dãy siêu bề mặt
x1, . . . , xt của (J, I1, . . . , Is) theo J và N gồm k1 phần tử của I1, . . . , ks phần tử của Is và dim N (x1, . . . , xt)N :I∞ = dimN/(0N :I∞)−t. (ii) Giả sử eA(J[k0+1], I[k1] 1 , . . . , I[ks]
s ;N)6= 0 và x1, . . . , xt là một dãy siêu bề mặt của
(J, I1, . . . , Is) theo J và N gồm k1 phần tử của I1, . . . , ki phần tử của Ii, . . . , ks
phần tử của Is. ĐặtN = N
(x1, . . . , xt)N :I∞. Khi đó
eA(J[k0+1], I[k1]
1 , . . . , I[ks]
Chú ý 3.3.2. Dễ thấy khái niệm dãy siêu bề mặt được đề cập đến trong [1, Định nghĩa 4.3.2] là một trường hợp riêng của khái niệm dãy siêu bề mặt trong Định nghĩa 3.1.3. Theo [1, Chú ý 4.3.6], từ Định lí 3.3.1, ta nhận được Định lí 1.4 của Ngô Việt Trung và Verma [49]. Ngoài ra cũng theo [1, Chú ý 4.3.8], từ Định lí 3.3.1, ta cũng nhận lại được khẳng định trong [63, Chương 0, Mệnh đề 2.1] do Risler và Teissier chỉ ra năm 1973.
Do mối quan hệ giữa khái niệm dãy (FC) với khái niệm dãy siêu bề mặt được chỉ ra trong Mệnh đề 3.1.5 và các khẳng định trên, Định lí 3.3.1 cũng cho phép chúng ta nhận lại một số kết quả sau.
Hệ quả 3.3.3. [1, Định lí 2.4.5] ChoJ là một iđêanm-nguyên sơ vàI1, . . . , Is là các iđêan của A sao cho I =I1ã ã ãIs * √
AnnM . Đặt U = (J, I1, . . . , Is), M∗ = M/(0M : I∞) và q = dimM∗. Giả sửk0, . . . , ks là các số nguyên không âm có tổng bằng q−1. Khi đó, ta có các khẳng định sau.
(i) eA(J[k0+1], I[k1]
1 , . . . , I[ks]
s ;M) =eA(J;M∗)với mọi dãy (FC)x1, . . . , xt củaM theo
U gồm t = k1 +ã ã ã+ks phần tử, trong đó có k1 phần tử của I1, . . . , ks phần tử của Is, ở đâyM∗= M
(x1, . . . , xt)M :I∞. (ii) eA(J[k0+1], I[k1]
1 , . . . , I[ks]
s ;M)6= 0nếu và chỉ nếu tồn tại một dãy (FC) củaM theo
U gồmk1+ã ã ã+ks phần tử, trong đó cók1 phần tử củaI1, . . . , ks phần tử củaIs. Hệ quả 3.3.4. [52, Phần 3, Định lí 3.4] ChoJ là một iđêanm-nguyên sơ và I1, . . . , Is
là các iđêan củaAsao choI =I1ã ã ãIs *không luỹ linh. ĐặtU = (J, I1, . . . , Is), A∗ = /(0 : I∞) và q = dimA∗. Giả sử k0, . . . , ks là các số nguyên không âm có tổng bằng
q−1. Khi đó, ta có các khẳng định sau.
(i) eA(J[k0+1], I[k1]
1 , . . . , I[ks]
s ) = eA(J;A∗) với mọi dãy (FC) x1, . . . , xt của A theo U
gồm t=k1+ã ã ã+ks phần tử, trong đó có k1 phần tử của I1, . . . , ks phần tử của
Is, ở đâyA∗ = A
(x1, . . . , xt) :I∞. (ii) eA(J[k0+1], I[k1]
1 , . . . , I[ks]
s )6= 0 nếu và chỉ nếu tồn tại một dãy (FC) của A theo U
Kết luận
Đề tài tập trung nghiên cứu về bội trộn của môđun nón thớ đa phân bậc tổng quát và thu được một số kết quả sau đây.
Trước hết, đề tài đã đưa ra tiêu chuẩn cho tính dương và thiết lập công thức đối với bội trộn của môđun nón thớ đa phân bậc theo ngôn ngữ dãy lọc chính quy và độ dài môđun (Định lí 2.2.1, Định lí 2.2.4).
Tiếp theo, đề tài đã xây dựng khái niệm dãy (FC) của các môđun đa phân bậc, sau đó sử dụng khái niệm này để đặc trưng tính dương cho bội trộn của môđun nón thớ đa phân bậc và biểu diễn các số bội trộn này theo độ dài môđun (Định lí 2.4.4). Bên cạnh đó đề tài cũng phân tích để chỉ ra mối quan hệ giữa các kết quả trong Định lí 2.2.1 và Định lí 2.4.4.
Cuối cùng, trên cơ sở áp dụng những kết quả đã đạt được về bội trộn của môđun nón thớ đa phân bậc tổng quát, đề tài đã đặc trưng tính dương và thiết lập công thức cho bội trộn của môđun nón thớ của các môđun Rees đa phân bậc, bội trộn của tập iđêan trong vành địa phương theo các dãy siêu bề mặt (Định lí 3.2.2, Định lí 3.3.1). Từ kết quả này, chúng ta có thể nhận lại được nhiều kết quả đã biết trước đó đối với vấn đề tính dương và bài toán quy bội trộn về bội thường hoặc độ dài môđun.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] N. T. Mạnh (2010), Về bội trộn của môđun đa phân bậc, Luận án tiến sĩ Toán học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội.
[2] D. Q. Viet (2008), Lí thuyết chiều, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm.
Tiếng Anh
[3] Auslander, M. and Buchbaum, D. A. (1958), "Codimention and multiplicity", Ann. Math. 68, pp. 625-657.
[4] Bhattacharya, P. B. (1957), "The Hilbert function of two ideals", Proc. Cam- bridge. Philos. Soc. 53, pp. 568-575.
[5] Brodmann, M. and Sharp, R. Y. (1998), Local cohomology: an algebraic intro- duction with geometric applications, Cambridge studies in advanced mathemat- ics, No 60, Cambridge University Press.
[6] Bruns, W. and Herzog, J. (1993), Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press, Cambridge, U. K.
[7] Corso, A., Ghezzi, L., Polini, C. and Ulrich, B. (2003), "Cohen-Macaulayness of special fiber rings", Comm. Algebra 31, pp. 3713-3734.
[8] Corso, A., Polini, C. and Vasconcelos, W. V. (2006), "Multiplicity of special fiber ring of blowups", Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 140, pp. 207-219.
[9] Cortadellas, T. and Zarzuela S. (1997), "On the depth of the fiber cone of filtra- tions", J. Algebra 198, pp. 428-445.
[10] Cortadellas, T. and Zarzuela S. (2006), "On the structure of the fiber cone of ideals with analytic spread one", arXiv: math.AC/0603042v1.
[11] D'Cruz, C., Raghavan, K. N. and Verma, J. K. (2002), "Cohen-Macaulay fiber cones", arXiv: math.AC/0212119v1.
[12] D'Cruz, C. (2003), "A formula for the multiplicity of the multi-graded extended Rees algebras", Comm. Algebra 31(6), pp. 2573-2585.
[13] L. V. Dinh and N. T. Manh (2008), "On filter-regular sequences of multi-graded modules", J. Sci. of Hanoi National Uni. of Edu., Natural Sci. 53 (5), pp. 3-8. [14] L. V. Dinh and D. Q. Viet (2012), "On mixed multiplicities of good filtrations",
accepted by Algebra Colloqium.
[15] L. V. Dinh, N. T. Manh and T. T. H. Thanh (2013), "On some superficial se- quences", accepted for publication in Southeast Asian Bulletin of Mathematics. [16] Gopalakrishnan, N. S. (1984), Commutative algebra, Oxonian Press.
[17] Herrmann, M., Hyry, E., Ribbe, J. and Tang, Z. (1997), "Reduction numbers and multiplicities of multigraded structures", J. Algebra 197, pp. 311-341.
[18] Hỹbl, R. and Huneke, C. (2001), "Fiber cones and the integral closure of ideals", Collect. Math. 52, pp. 85-100.
[19] Huneke, C. and Sally, J. D. (1988), "Birational extensions in dimension two and integrally closed ideals", J. Algebra 115, pp. 481-500.
[20] Huneke, C. and Swanson, I. (2006), Integral Closure of Ideals, Rings, and Mod- ules, London Mathematical Lecture Note Series 336, Cambridge University Press. [21] Hyry, E. (1999), "The diagonal subring and the Cohen-Macaulay property of a
multigraded ring", Trans. Amer. Math. Soc. 351, pp. 2213-2232.
[22] Jayanthan, A. V. and Verma, J. K. (2005), "Hilbert coefficients and depth of fiber cones", J. Pure Appl. Algebra 201, pp. 97-115.
[23] Jayanthan, A. V. and Verma, J. K. (2005), "Fiber cones of ideals with almost minimal multiplicity", Nagoya Math. J. 177, pp. 155-179.
[24] Jayanthan, A. V. Puthenpurakal, T. J. and Verma, J. K. (2007), "On fiber cones ofm-primary ideals", Canad. J. Math. 59, pp. 109-126.
[25] Katz, D. and Verma, J. K. (1989), "Extended Rees algebras and mixed multiplic- ities", Math. Z. 202, pp. 111-28.
[26] Kirby, D. (1963), "A note on superficial elements of an ideal in a local ring", Quart. J. Math. Oxford, 14 (2), pp. 21-28.
[27] Kirby, D. and Rees, D. (1994), "Multiplicities in graded rings I: the general theory", Contemporary Mathematics 159, pp. 209-267.
[28] Kirby, D. and Rees, D. (1996), "Multiplicities in graded rings II: integral equiva- lence and the Buchsbaum - Rim multiplicity", Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 119, pp. 425-445.
[29] Kleiman, S. and Thorup, A. (1994), "A geometric theory of the Buchsbaum - Rim multiplicity", J. Algebra 167, pp. 168-231.
[30] Kleiman, S. and Thorup, A. (1996), "Mixed Buchsbaum - Rim multiplicities", Amer. J. Math. 118, pp. 529-569.
[31] N. T. Manh and D. Q. Viet (2006), "Mixed multiplicities of modules over Noethe- rian local rings", Tokyo J. Math. 29 (2), pp. 325-345.
[32] N. T. Manh and D. Q. Viet (2008), "On the mixed multiplicities of multi-graded fiber cones", Tokyo J. Math. 31 (2), pp. 399-414.
[33] N. T. Manh and D. Q. Viet (2010), "On the multiplicity of multigraded modules over Artinian local rings", Tokyo J. Math. Vol. 33. No. 2, pp. 341-360.
[34] N. T. Manh and D. Q. Viet (2013), " Mixed multiplicities of multigraded mod- ules", Forum Math. 25 (2013), pp. 337-361.
[35] N. T. Manh (2013), "On (FC)-sequences and mixed multiplicities of fiber cones of multigraded algebras", submitted to Tokyo J. Math..
[36] Matsumura, H. (1986), Commutative ring theory, Cambridge University Prees, Cambridge.
[37] Northcott, D. G. and Rees, D. (1954), "Reduction of ideals in local rings", Proc. Cambridge. Philos. Soc. 50, pp. 145-158.
[38] Rees, D. (1984), "Generalizations of reductions and mixed multiplicities", J. London. Math. Soc. 29, pp. 397-414.
[39] Roberts, P. (1989), "Local Chern classes, multiplicities and perfect complexes", Memoire Soc. Math. France 38, pp. 145-161.
[40] Rossi, M. E and Valla, G. (2008), "Hilbert function of filtered modules", arXiv: 0710.2346.
[41] Sally, J. D. (1977), "On the associated graded ring of a local Cohen-Macaulay ring", J. Math. Kyoto 17, pp. 19-21.
[42] Samuel, P. and Zariski, O. (1960), Commutative Algebra, Vol II, Van Nostrand, New York.
[43] Shah, K. (1991), "On the Cohen-Macaulayness of the fiber cone of an ideal", J. Algebra 143, pp. 156-172.
[44] Stỹckrad, J. and Vogel, W. (1986), Buchsbaum rings and applications, VEB Deutscher Verlag der Wisssenschaften. Berlin.
[45] Swanson, I. (1993), "Mixed multiplicities, joint reductions and quasi-unmixed local rings", J. London Math. Soc. 48, pp. 1-14.
[46] N. V. Trung (1987), "Reduction exponents and degree bound for the defining equation of graded rings", Proc. Amer. Mat. Soc. 101, pp. 229-234.
[47] N. V. Trung (1993), "Filter-regular sequences and multiplicity of blow-up rings of ideals of the principal class", J. Math. Kyoto. Univ. 33, pp. 665-683.
[48] N. V. Trung (2001), "Positivity of mixed multiplicities", J. Math. Ann. 319, pp. 33-63.
[49] N. V. Trung and Verma, J. (2007), "Mixed multiplicities of ideals versus mixed volumes of polytopes", Trans. Amer. Math. Soc. 359, pp. 4711-4727.
[50] Verma, J. K. (1988), "Rees algebras and mixed multiplicities", Proc. Amer. Mat. Soc. 104, pp. 1036-1044.
[51] Verma, J. K. (1992) "Multigraded Rees algebras and mixed multiplicities", J. Pure and Appl. Algebra 77, pp. 219-228.
[52] D. Q. Việt (2000), "Mixed multiplicities of arbitrary ideals in local rings", Comm. Algebra 28 (8), pp. 3803-3821.
[53] D. Q. Việt (2003), "On some properties of (FC)-sequences of ideals in local rings", Proc. Amer. Math. Soc. 131 (1), pp. 45-53.
[54] D. Q. Việt (2003), "Sequences determining mixed multiplicities and reductions of ideals", Comm. Algebra 31 (10), pp. 5047-5069.
[55] D. Q. Việt (2003), "On the mixed multiplicity and the multiplicity of blow-up rings of equimultiple ideals", J. Pure Appl. Algebra 183, pp. 313-327.
[56] D. Q. Việt (2004), "Reductions and mixed multiplicities of ideals", Comm. Al- gebra 32 (11), pp. 4159-4178.
[57] D. Q. Viet (2006), "The multiplicity and the Cohen-Macaulayness of extended Rees algebras of equimultiple ideals", J. Pure Appl. Algebra (205), pp. 498-509. [58] D. Q. Viet (2008), "On the Cohen-Macaulayness of fiber cones", Proc. Amer.
Math. Soc. 136, pp. 4185-4195.
[59] D. Q. Viet (2009), "On the multiplicity and the Cohen-Macaulayness of fiber cones of graded algebras", J. Pure Appl. Algebra 213, pp. 2104-2116.
[60] D. Q. Viet and T. T. H. Thanh (2011), Multiplicity and Cohen - Macaulayness of fiber cones of good filtrations, Kyushu J. Math. 65 (1), pp. 1-13.
[61] D. Q. Viet and T. T. H. Thanh (2011), "On (FC)-sequences and mixed multiplic- ities of multi-graded algebras", Tokyo J. Math. Vol. 34. No. 1, pp. 185-202. [62] Van Der Waerden, B. L. (1928), "On Hilbert series of composition of ideals and
generalization of the Theorem of Bezout", Proc. K. Akad. Wet. Amst. 31, pp. 749-770.
Tiếng Pháp
[63] Teissier, B. (1973), "Cycles évanescents, sections planes et conditions de Whit- ney", Singularités à Cargèse, 1972. Astérisque, 7-8, Paris, Soc. Math. France, pp. 285-362.
Tiếng Đức
[64] N. T. Cuong, Schenzel, P. and N. V. Trung (1978), "Verallgemeinerte Cohen- Macaulay Moduln", Math. Nachr. 85, pp. 57-73.