Trước hết, chúng ta nhắc lại khái niệm rút gọn trong vành và môđun phân bậc. Giả sửS =⊕n≥0Sn là một đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên vành địa phương NoetherAvàJlà một iđêan thuần nhất củaSđược sinh bởi hữu hạn phần tử bậc 1. Giả sử M = ⊕n≥0Mn là một S-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Đặt S+ =⊕n>0Sn. Ta gọi
J là một rút gọn củaS+ theoM nếu(J M)n =Mn hayJ1Mn−1=Mn với mọin 0.
Dễ thấy rằng vì J được sinh bởi những phần tử bậc 1 nên J = J1S và Jn = J1Sn−1
với mọi n ≥ 1. Do đó đối với trường hợp M = S, định nghĩa trên tương đương với
S+n = J S+n−1 với mọi n 0. Số nguyên nhỏ nhất n sao cho (J M)m+1 = Mm+1 với mọi m ≥ n được gọi là số rút gọn của S+ theo J và M. Kí hiệu số nguyên này là
rJ(S+;M). Một rút gọn J của S+ theo M được gọi là cực tiểu nếu nó không thực sự chứa bất kì một rút gọn nào khác của S+ theo M. Số rút gọn của S+ theo M được
xác định bởi
r(S+;M) = min{rJ(S+;M)|J là một rút gọn cực tiểu của S+ theo M}.
Tương tự như đối với vành và môđun thông thường, ở đây chúng ta cũng đưa ra khái niệm rút gọn nối trong các vành và môđun đa phân bậc. ChoS =Ln
1,...,nd≥0S(n1,...,nd)
là một đại sốd-phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether A; M =
L
n1,...,nd≥0M(n1,...,nd) là một S-môđun d-phân bậc hữu hạn sinh sao cho S(1,1,...,1) *
√
AnnSM. Giả sửJ1, . . . , Jd là những iđêan thuần nhất lần lượt sinh bởi hữu hạn phần tử trongS1, . . . , Sd.Khi đóJ1, . . . , Jd được gọi là một rút gọn nối củaS++theoM nếu
[ d X i=1 JiM](n1,...,nd) =M(n1,...,nd) hay d X i=1 (Ji)(0,..., 1 |{z} i ,...,0)M(n1,...,ni−1,...,nd) =M(n1,...,nd)
với mọi n1, . . . , nd 0. Rõ ràng khái niệm rút gọn là một trường hợp riêng của rút gọn nối và khi xét trong các lớp vành Rees, môđun Rees phân bậc hoặc đa phân bậc thì chúng ta sẽ thu được các khái niệm rút gọn, rút gọn nối thông thường như đã từng được đề cập trong [37, 38].
Mệnh đề sau sẽ cho chúng ta biết mỗi dãy lọc chính quy cực đại (nếu có) đối với các lớp vành và môđun đa phân bậc đều sinh ra một rút gọn nối.
Mệnh đề 1.8.1. Cho S = L
n1,...,nd≥0S(n1,...,nd) là một đại số d-phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên vành địa phương NoetherA;M =Ln
1,...,nd≥0M(n1,...,nd)là mộtS-môđun
d-phân bậc hữu hạn sinh sao cho S(1,1,...,1) * √
AnnSM. Giả sử xi1, . . . , xiti ∈ Si (i= 1, . . . , d)sao cho khi sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó ta được một dãy lọc chính quy cực đại. Khi đó(xi1, . . . , xiti) (i= 1, . . . , d) là rút gọn nối củaS++ theo M. Chứng minh. Do định nghĩa của dãy lọc chính quy cực đại, ta có
S++⊆ s AnnS M (x11, . . . , x1t1, x21, . . . , x2t2, . . . , xd1, . . . , xdtd)M . Do đó S++n M ⊆(x11, . . . , x1t1, x21, . . . , x2t2, . . . , xd1, . . . , xdtd)M
với mọin 0.Suy ra
S(n,...,n)M(n1,...,nd) ⊆ d X i=1 (xi1, . . . , xiti)(0,..., 1 |{z} i ,...,0)M(n1+n,...,ni+n−1,...,nd+n)
= d X i=1 ti X j=1 xijM(n1+n,...,ni+n−1,...,nd+n)
với mọin 0và với mọi n1, . . . , nd ≥0.Bởi Định lí 1.6.1, ta luôn có
S(n,...,n)M(n1,...,nd) =M(n1+n,...,nd+n)
khin1, . . . , nd 0.Từ những lập luận trên ta có
M(n1+n,...,nd+n) ⊆ d X i=1 ti X j=1 xijM(n1+n,...,ni+n−1,...,nd+n)
với mọin, n1, . . . , nd 0. Bao hàm thức ngược lại là hiển nhiên. Vậy ta được
M(n1+n,...,nd+n) = d X i=1 ti X j=1 xijM(n1+n,...,ni+n−1,...,nd+n)
với mọin, n1, . . . , nd 0. Mệnh đề đã được chứng minh.
Trong trường hợp vành và môđun phân bậc, từ mệnh đề này chúng ta thu được hệ quả sau.
Hệ quả 1.8.2. Cho S = L
n≥0Sn là một đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên vành địa phương NoetherA; M =L
n≥0Mn là mộtS-môđun phân bậc hữu hạn sinh sao choS1 *
√
AnnSM. Khi đó mỗi dãy S++-lọc chính quy cực đại theoM gồm các phần tử bậc 1 đều sinh ra một rút gọn củaS++theo M.
Chú ý 1.8.3. Cho S = ⊕n≥0Sn là một đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên một vành địa phương ArtinA; M =⊕n≥0Mn là một S-môđun phân bậc hữu hạn sinh sao choS1 *√
AnnSM và` = dimM.
(i) Giả sửMn =SnM0với mọin ≥0,nghĩa làM =SM0và ta cũng cóSiMj =Mi+j
với mọi i, j ≥ 0. Khi đó `A
S+nM S+n+1M
là một đa thức bậc `−1 với mọi n 0.
Dễ thấy S+nM S+n+1M 'Mn nên `A S+nM S+n+1M =`A(Mn). Vây `A(Mn) là một đa thức bậc `−1với mọi n 0và nếu giả thiết ` >1thì ta được
e(M) = lim n→∞
(`−1)!`A(Mn) n`−1 .
(ii) Bây giờ chúng ta xét trường hợp tổng quát, bởi Định lí 1.6.1, tồn tại số nguyên không âmusao choMn =Sn−uMuvới mọin≥u.ĐặtN =L
0≤n≤u−1Mn, M[u] =
L
n≥uMn. VìN có độ dài hữu hạn nêndimN = 0. Xét dãy khớp
Vì dimN = 0 < dimM = dimM[u], nên e(M) = e(M[u]). Theo lập luận trên,
`A(Mn[u])là một đa thức bậc`−1với mọi n0.VìMn[u] =Mn+u với mọin ≥0
nên `A(Mn) cũng là một đa thức bậc`−1 với mọi n 0 và có cùng hệ số cao nhất với đa thức ứng với hàm `A(Mn[u]). Nếu giả thiết` >1 thì ta được
e(M) = e(M[u]) = lim n→∞ (`−1)!`A(Mn[u]) n`−1 = lim n→∞ (`−1)!`A(Mn) n`−1 .
Bây giờ giả sử x ∈ S1 là một phần tử S+-lọc chính quy theo M. Theo Chú ý 1.7.6(ii), ta có`A[(M/xM)n] =`A(Mn)−`A(Mn−1)với mọin0.GọiP(n), P(n)
lần lượt là hai đa thức thỏa mãn P(n) = `A(Mn), P(n) = `A[(M/xM)n] với mọi
n 0.Từ lập luận trên, ta có degP(n) = dim(M/xM)−1,degP(n) = dimM−1
vàdegP(n) = degP(n)−1.Vậy dim(M/xM) = dimM−1.
Bổ đề sau cho biết mối quan hệ giữa dãy lọc chính quy và rút gọn cực tiểu trong vành và môđun phân bậc trên vành địa phương Artin.
Bổ đề 1.8.4. [46] Cho S = ⊕n≥0Sn là một đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên một vành địa phương ArtinA; M =⊕n≥0Mn là mộtS-môđun phân bậc hữu hạn sinh sao choS1 *
√
AnnSM. Đặt`= dimM. Giả sửJ là một rút gọn cực tiểu của S+ theo
M. Khi đó, J được sinh bởi một dãy S+-lọc chính quy theo M gồm ` phần tử thuần nhất bậc 1.
Chứng minh. Dưới đây chúng tôi xin đưa ra một chứng minh khác với chứng minh trong [46]. Giả sử J là một rút gọn cực tiểu của S+ theo M như đã biết. Gọi u là số nguyên không âm sao cho Mn = Sn−uMu với mọi n ≥ u (theo Định lí 1.6.1). Đặt
N =L
0≤n≤u−1Mn, M[u] =L
n≥uMn. VìN có độ dài hữu hạn nên dimN = 0 và do đó
AssSN ⊆ {M},M⊆√AnnN ,
với M =mL
S1LS2Lã ã ã = mL
S+ là iđêan cực đại thuần nhất của S. Từ định nghĩa của rút gọn, ta cóS+nM[u]=J S+n−1M[u]với mọin0.ĐặtM∗ =M/(0M :S+∞).
Khi đó X = AssS(M∗) = {P ∈AssS(M)|S+*P}. ĐặtP0 ={P ∈AssS(M)|J *P}. Dễ thấy P0 ⊆P
.Ngược lại, giả sử P ∈P
.Xét dãy khớp
0→N →M →M[u] →0.
Ta sẽ chứng minh P ∈P0
. Giả sử không có điều này, khi đó P ⊇J. Ta có
VìS+ * P nên P /∈ SuppN do SuppN ⊆ {M}. Điều này dẫn đến P ∈ SuppM[u] và do đó P ⊇pAnnSM[u]. Vậy P ⊇pJ+ AnnSM[u].Từ hệ thức S+nM[u]=J S+n−1M[u]
với mọin 0,suy ra
p
J+ AnnSM[u] =pS++ AnnSM[u].
Từ những lập luận trên, ta được
P ⊇pJ+ AnnSM[u] =pS++ AnnSM[u] ⊇S+
trái giả thiếtP ∈P
.Do đó theo định lí tránh nguyên tố, tồn tạix∈J1 sao chox /∈P
với mọiP ∈P
.Từ điều này và kết hợp với công thức sại phân:
`[(M/xM)n] =`(Mn)−`(Mn−1)
với mọi n 0, ta suy ra tồn tại dãy S+-lọc chính quy theo M trong J1 gồm ` phần tử. Ta đã biết rằng dãy phần tử này cũng sinh ra một iđêan rút gọn củaS+theo M, do tính cực tiểu của J dãy này sinh raJ.
Gọi r(S+;M) là số rút gọn của S+ theo M. Bổ đề sau đây đóng một vai trò quan trọng trong việc thiết lập mối quan hệ giữa bội trộn và độ dài của môđun.
Bổ đề 1.8.5. Cho S =⊕n≥0Sn là một đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên vành địa phương Artin A; M = ⊕n≥0Mn là một S-môđun phân bậc hữu hạn sinh sao cho
S1 * √
AnnSM và dimM = 1. Đặt r = r(S+;M) và M∗ = M
0M :S+∞. Khi đó, ta có các khẳng định sau.
(i) lA(Mn∗) =lA(Mr∗)với mọi n ≥r.
(ii) lA(Mn) = lA(Mr∗) với mọi n0. (iii) e(M) =lA(Mr∗). Chứng minh. Ta có lA(Mn∗) =lA Mn (0M :S+∞)n =lA(Mn)−lA((0M :S+∞)n).
Theo Chú ý 1.7.3, (0M :S+∞)n = 0 khi n0.Vậy lA(Mn∗) = lA(Mn)khi n0.
(i) VìdimM = 1,nên theo Bổ đề 1.8.4 tồn tại một phần tửS+-lọc chính quyx∈S1
theoM sao choxS là một rút gọn cực tiểu củaS+ theoM và hơn nữar=rxS(S+;M). Rõ ràng Mn∗ =xn−rMr∗ với mọi n≥r. Do đó,
với mọi n ≥ r. Vì x không là ước của không trong M∗, nên xn−rMr∗ ∼=M∗
r. Vậy với mọi n≥r, ta có
lA(Mn∗) = lA(xn−rMr∗) =lA(Mr∗).
(ii) TừlA(Mn∗) =lA(Mn)khi n0và bởi (i), ta được
lA(Mn) =lA(Mr∗)
với mọin 0.
(iii) Theo Chú ý 1.8.3, ta có e(M) = lA(Mn) với mọin 0. Vậy bởi (ii), ta được
e(M) =lA(Mr∗).