phân bậc
Đặt FJ(S)++ = L
n1,...,nd>0
S(n1,...,nd)
J S(n1,...,nd). Theo Định lí 1.9.1, ta thu được kết quả dưới đây.
Định lí 2.2.1. ChoS =Ln
1,...,nd≥0S(n1,...,nd) là một đại sốd-phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trênA;M =Ln
1,...,nd≥0M(n1,...,nd) là mộtS-môđund-phân bậc hữu hạn sinh sao cho S++ * √
AnnSM . Kí hiệu FJ(S) và FJ(M) lần lượt là vành nón thớ của S và môđun nón thớ của M theo J. Đặt ` = dimFm(M4). Khi đó, ta có các khẳng định sau.
(i) e(FJ(M);k1, . . . , kd)6= 0 nếu và chỉ nếu tồn tại một dãy FJ(S)++-lọc chính quy
x1, . . . , x`−1 theo FJ(M) gồm k1 phần tử của FJ(S)(1,0,...,0), . . . , ki phần tử của
FJ(S)(0,..., 1
|{z}
i
,...,0), . . . .kd phần tử của FJ(S)(0,...,0,1) và dimFJ(M)4 = 1, ở đây
FJ(M) = FJ(M)
(x1, . . . , x`−1)FJ(M).
(ii) e(FJ(M);k1, . . . , kd)= 06 nếu và chỉ nếu tồn tại một dãy y1, . . . , y`−1 gồmk1phần tử của S1, . . . , ki phần tử của Si, kd phần tử của Sd sao cho y¯1, . . . ,y¯`−1 là một dãy FJ(S)++-lọc chính quy theo FJ(M) và dimFJ(M)4 = 1, ở đây y¯1, . . . ,y¯`−1
lần lượt là ảnh củay1, . . . , y`−1 trong FJ(S)và
FJ(M) = FJ(M)
(y1, . . . , y`−1)FJ(M) =
FJ(M)
(¯y1, . . . ,y¯`−1)FJ(M).
(iii) Giả sửe(FJ(M);k1, . . . , kd)6= 0vàx1, . . . , x`−1là một dãyFJ(S)++-lọc chính quy theo FJ(M) gồmk1 phần tử của FJ(S)(1,0,...,0), . . . , kd phần tử của FJ(S)(0,...,0,1).
Đặt FJ(M) = FJ(M)
(x1, . . . , x`−1)FJ(M) và r=r(FJ(S)4+;FJ(M)4) là số rút gọn của
FJ(S)4+ theo FJ(M)4.Khi đó với mọi n≥r, ta có
e(FJ(M);k1, . . . , kd) = lA FJ(M)4n (0 FJ(M)4 :FJ(S)4∞+ )n .
(iv) Giả sử e(FJ(M);k1, . . . , kd) = 06 và y1, . . . , y`−1 là một dãy gồm k1 phần tử của
S1, . . . , kd phần tử củaSd sao cho y¯1, . . . ,y¯`−1 là một dãyFJ(S)++-lọc chính quy theoFJ(M).ĐặtFJ(M) = FJ(M)
(y1, . . . , y`−1)FJ(M) vàr=r(FJ(S)4+;FJ(M)4)là số rút gọn của FJ(S)4+ theo FJ(M)4.Khi đó với mọi n≥r, ta có
e(FJ(M);k1, . . . , kd) = lA FJ(M)4n (0 FJ(M)4 :FJ(S)4∞+ )n .
Chú ý 2.2.2. Chox∈S là một phần tử thuần nhất và gọix¯là ảnh của xtrongFJ(S).
Khi đó ta có: (i) FJ(M) xFJ(M) = FJ(M) ¯ xFJ(M). (ii) FJ(M) xFJ(M) = M/J M (xM +J M)/J M ∼ = M xM +J M ∼ = M/xM J(M/xM) =FJ(M/xM). (iii) FJ(M)4 =Ln≥0 M(n,...,n) J M(n,...,n) = M4 J M4 =FJ(M 4).
Giả sử I ⊂ J là hai iđêan của A vàN là một A-môđun. Gọi J¯là ảnh của J trong vành thươngA/I. Khi đó 0N/IN : ¯J = IN :J
IN . Chú ý 2.2.3. ta có(S/J S)+=S+/(J S)+=S+/J S+ = J⊕S+ J S . Điều này dẫn đến 0M/J M : (S/J S)∞+ = 0M/J M : J⊕S+ J S ∞ =S n≥0 0M/J SM : J⊕S+ J S n =Sn≥0 0M/J SM : (J⊕S+)n +J S J S =Sn≥0 J M : [(J⊕S+)n+J S] J M =Sn≥0J M : (J ⊕S+)n J M = S n≥0[J M : (J⊕S+)n] J M = S n≥0(J M :S+n) J M = J M :S+∞ J M . Vậy ta được FJ(M) 0FJ(M) :FJ(S)∞+ = M/J M 0M/J M : (S/J S)∞+ = M/J M J M :S+∞ J M ∼ = M J M :S+∞.
Định lí 2.2.4. ChoS =L
n1,...,nd≥0S(n1,...,nd) là một đại sốd-phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trênA;M =L
n1,...,nd≥0M(n1,...,nd) là mộtS-môđund-phân bậc hữu hạn sinh sao cho S++ * √
AnnSM . Kí hiệu FJ(S) và FJ(M) lần lượt là vành nón thớ của S và môđun nón thớ củaM theo J. Đặt ` = dimFm(M4). Giả sử e(FJ(M);k1, . . . , kd)6= 0
và x1, . . . , x`−1 là một dãy gồm k1 phần tử của S1, . . . , kd phần tử của Sd sao cho
¯
x1, . . . ,x¯`−1 là một dãy FJ(S)++-lọc chính quy theoFJ(M).Đặt
FJ(M) = FJ(M)
(x1, . . . , x`−1)FJ(M)
và r = r(FJ(S)4+;FJ(M)4) là số rút gọn của FJ(S)4+ theo FJ(M)4. Khi đó với mọi
n≥r: e(FJ(M);k1, . . . , kd) =lA M4n (J M4 :S+∞)n , ở đây M = M (x1, . . . , x`−1)M.
Hoàn toàn tương tự như đối với bội trộn của môđun đa phân bậc trên vành Artin đã trình bày trong Phần 1.9, ta có hệ quả sau.
Hệ quả 2.2.5. ChoS =L
n1,...,nd≥0S(n1,...,nd) là một đại sốd-phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trênA;M =L
n1,...,nd≥0M(n1,...,nd) là mộtS-môđund-phân bậc hữu hạn sinh sao cho S++ *
√
AnnSM . Kí hiệu FJ(S) và FJ(M) lần lượt là vành nón thớ của S và môđun nón thớ của M theo J. Đặt ` = dimFm(M4). Khi đó, ta có các khẳng định sau.
(i) Nếue(FJ(M);k1, . . . , kd)6= 0 thì với bất kì dãyFJ(S)++-lọc chính quyx1, . . . , xn
theo FJ(M) gồm m1 ≤ k1 phần tử của FJ(S)(1,0,...,0), . . . , md ≤ kd phần tử của
FJ(S)(0,...,0,1),ta luôn có dimFJ(M)4 =`−n và
e(FJ(M);k1−m1, . . . , kd−md)6= 0,
ở đây FJ(M) = FJ(M)
(x1, . . . , xn)FJ(M).
(ii) Nếu tồn tại một dãy FJ(S)++-lọc chính quy x1, . . . , xn theo FJ(M) bao gồm
m1 ≤ k1 phần tử của FJ(S)(1,0,...,0), . . . , md ≤ kd phần tử của FJ(S)(0,...,0,1) sao chodimFJ(M)4 =`−n vàe(FJ(M);k1−m1, . . . , kd−md)6= 0,ở đâyFJ(M) =
FJ(M)
(x1, . . . , xn)FJ(M),thìe(FJ(M);k1, . . . , kd)6= 0.
(iii) Giả sử e(FJ(M);k1, . . . , kd) = 06 và x1, . . . , xn là một dãy FJ(S)++-lọc chính quy theo FJ(M) bao gồm m1 ≤ k1 phần tử của FJ(S)(1,0,...,0), . . . , md ≤ kd phần tử
của FJ(S)(0,...,0,1). Khi đó
e(FJ(M);k1, . . . , kd) = e(FJ(M);k1−m1, . . . , kd−md)
và dimFJ(M)4 =`−n, ở đây FJ(M) = FJ(M)
(x1, . . . , xn)FJ(M).
Từ hệ quả này và theo Chú ý 2.2.2, ta được. Hệ quả 2.2.6. ChoS =Ln
1,...,nd≥0S(n1,...,nd) là một đại sốd-phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trênA;M =L
n1,...,nd≥0M(n1,...,nd) là mộtS-môđund-phân bậc hữu hạn sinh sao cho S++ * √
AnnSM . Kí hiệu FJ(S) và FJ(M) lần lượt là vành nón thớ của S và môđun nón thớ của M theo J. Đặt ` = dimFm(M4). Khi đó, ta có các khẳng định sau.
(i) Nếu e(FJ(M);k1, . . . , kd) 6= 0 thì với bất kì dãy phần tử x1, . . . , xn ∈ S gồm
m1 ≤k1 phần tử của S1, . . . , md ≤kd phần tử của Sd sao cho dãy ảnh tương ứng của chúngx¯1, . . . ,x¯n trongFJ(S)là một dãyFJ(S)++-lọc chính quy theoFJ(M),
ta luôn có dimFJ(M4) = `−n và e(FJ(M);k1 −m1, . . . , kd −md) 6= 0, ở đây
M = M
(x1, . . . , xn)M.
(ii) Nếu tồn tại một dãy phần tửx1, . . . , xn ∈Sgồmm1≤k1phần tử củaS1, . . . , md ≤
kd phần tử của Sd sao cho dãy ảnh tương ứng của chúngx¯1, . . . ,x¯n trong FJ(S)
là một dãyFJ(S)++-lọc chính quy theoFJ(M)đồng thờidimFJ(M4) = `−n và
e(FJ(M);k1−m1, . . . , kd−md)6= 0,ở đây M = M
(x1, . . . , xn)M,thì
e(FJ(M);k1, . . . , kd)6= 0.
(iii) Giả sửe(FJ(M);k1, . . . , kd)= 06 vàx1, . . . , xn ∈Slà một dãy phần tử gồmm1 ≤k1
phần tử củaS1, . . . , md ≤kd phần tử củaSdsao cho dãy ảnh tương ứng của chúng
¯
x1, . . . ,x¯n trong FJ(S) là một dãy FJ(S)++-lọc chính quy theoFJ(M), Khi đó
e(FJ(M);k1, . . . , kd) = e(FJ(M);k1−m1, . . . , kd−md)
và dimFJ(M4) =`−n, ở đây M = M
(x1, . . . , xn)M.