Phần này xây dựng định nghĩa của khái niệm dãy (FC) yếu đối với các môđun đa phân bậc và chỉ ra một số tính chất của nó.
Nhắc lại rằng(A,m)là một vành địa phương Noether với iđêan cực đạimvà trường thặng vô hạn k = A/m. Gọi S = Ln
bậc chuẩn hữu hạn sinh trên A, M = Ln
1,...,nd≥0M(n1,...,nd) là một S-môđun d-phân bậc hữu hạn sinh sao choS++*pAnnS(M).Kí hiệu a:b∞=S∞n=0(a:bn),
S+ =Ln
1+ããã+nd>0S(n1,...,nd), Si =S(0,...,1
(i),...,0), S++ =Ln
1,...,nd>0S(n1,...,nd) =S(1,...,1)S.
Định nghĩa 2.3.1. (xem [59, Phần 2, Định nghĩa] hoặc [61, Định nghĩa 2.1]) Phần tử thuần nhất x ∈ S được gọi là một phần tử (FC) yếu của M theo I nếu tồn tại
i∈ {1,2, . . . , d} sao cho x∈Si và
(FC1): xM(n1,...,ni−1,...,nd) ∩In0M(n1,...,nd) = xIn0M(n1,...,ni−1,...,nd) khi n1, . . . , nd đủ lớn và với mọi số nguyên không âm n0.
(FC2): x là một phần tử lọc chính quy theoS++, nghĩa là0M :x⊆0M :S++∞ .
Chox1, . . . , xt là một dãy phần tử trong S. Ta nói rằngx1, . . . , xt là một dãy (FC) yếu của M theo I nếu x¯i+1 là một phần tử (FC) yếu của M/(x1, . . . , xi)M theo I với mọi
i= 0,1, . . . , t−1, ở đây x¯i+1 là ảnh của xi+1 trong S/(x1, . . . , xi)S.
Ví dụ 2.3.2. [61, Ví dụ 2.2] Cho R = A[X1, X2, . . . , Xt] là vành đa thức của t biến độc lậpX1, X2, . . . , Xt với hệ số trongA(dimA=d >0). Kí hiệuRm là tập tất cả các đa thức thuần nhất bậcm và đa thức 0. ĐặtR =L
m≥0Rm.Dễ thấy R là một đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên A và X1, X2, . . . , Xt là một dãy lọc chính quy của
R. Khi đó với mọi iđêan tùy ý I của A, X1, X2, . . . , Xt luôn là một dãy (FC) yếu của
R theo I.
Bây giờ, chúng ta sẽ chỉ ra một số tính chất của dãy (FC) yếu trong các đại số đa phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trênA qua chú ý dưới đây.
Chú ý 2.3.3. (i) Trong trường hợp s = 1 và M = S, điều kiện (FC1) trong Định nghĩa 2.3.1 cũng chính là điều kiện (FC1) trong [59, Phần 2, Định nghĩa] cho các đại số phân bậc và mạnh hơn điều kiện (FC1) trong [61, Định nghĩa 2.1].
(ii) Chox1, . . . , xt∈S là một dãyS++-lọc chính quy theo theo M trongSs
i=1Si. Khi đó x1, . . . , xt là một dãy (FC) yếu của M theo iđêan 0.
(iii) NếuS++⊆√AnnSM thì rõ ràngM(n1,...,ns) = 0khin1, . . . , ns đủ lớn. Do đó, mọi phần tửx∈Si và mọi iđêanI củaA,ta luôn cóxlà một phần tử (FC) yếu củaM
theoI.Điều này là tầm thường và không mang lại những ứng dụng. Đó là lí do tại sao trong Định nghĩa 2.3.1, chúng ta phải loại bỏ đi trường hợpS++⊆√AnnSM.
(iv) ChoI là một iđêan củaAvà một dãy (FC) yếux1, . . . , xttrongSs i=1Sitheo iđêan I. Đặt S(t−1) = S (x1, . . . , xt−1)S, S (t) = S (x1, . . . , xt)S, M(t−1) = M (x1, . . . , xt−1)M, S (t) = M (x1, . . . , xt)M.
Khi đó x1, . . . , xt được gọi là một dãy (FC) yếu cực đại nếu
S(++t−1) * q Ann S(t−1)M(t−1) vàS(++t) * q Ann S(t)M(t).
Bổ đề sau đóng một vai trò quan trọng trong việc chỉ ra sự tồn tại của các dãy (FC) yếu [61, Bổ đề 2.4].
Bổ đề 2.3.4. (Bổ đề Rees mở rộng lần 1) Cho(A,m)là một vành địa phương Noether với iđêan cực đại m, trường thặng dư vô hạn k = A/m, I là một iđêan của A. Cho
S =L
n1,...,ns≥0S(n1,...,ns) là một đại số s-phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên A;M =
L
n1,...,ns≥0M(n1,...,ns) là mộtS-môđun s-phân bậc hữu hạn sinh sao choM(n1,...,ns) = S(n1,...,ns)M(0,0,...,0) với mọin1, . . . , ns.Giả sửΣlà một họ hữu hạn những iđêan nguyên tố của S không chứa S(1,...,1). Khi đó với mỗi i = 1, . . . , s, luôn tồn tại một phần tử
xi ∈ Si\mSi, xi không chứa trong bất kì một iđêan nguyên tố nào của Σ, và một số nguyên dươngki sao cho
xiM(n1,...,ni−1,...,ns)∩In0M(n1,...,ns) =xiIn0M(n1,...,ni−1,...,ns)
khini > ki và với mọi số nguyên không âmn0, n1, . . . , ni−1, ni+1, . . . , ns.
Theo Định lí 1.6.1, tồn tại các số nguyên không âmu1, . . . , ud sao choM(n1,...,nd) = S(n1−u1,...,nd−ud)M(u1,...,ud)với mọin1 ≥u1, . . . , nd ≥ud.ĐặtN =L
n1,...,nd≥0N(n1,...,nd)
với N(n1,...,nd) =Mn1+u1,...,nd+ud,nghĩa là N =L
n1≥u1,...,nd≥udM(n1,...,nd).Do đó
N(n1,...,nd) =Mn1+u1,...,nd+ud =S(n1,...,nd)M(u1,...,ud) =S(n1,...,nd)N(0,...,0)
với mọin1, . . . , nd. Theo Bổ đề ??, áp dụng cho môđun d-phân bậc N ta được bổ đề sau.
Bổ đề 2.3.5. (Bổ đề Rees mở rộng lần 2) Cho(A,m)là một vành địa phương Noether với iđêan cực đại m, trường thặng dư vô hạn k = A/m, I là một iđêan của A. Cho
S =L
n1,...,nd≥0S(n1,...,nd) là một đại sốd-phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên A, M =
L
n1,...,nd≥0M(n1,...,nd) là một S-môđun d-phân bậc hữu hạn sinh. Giả sử Σ là một họ hữu hạn những iđêan nguyên tố củaS không chứaS(1,...,1). Khi đó với mỗii= 1, . . . , d, luôn tồn tại một phần tửxi∈Si\mSi, xikhông chứa trong bất kì một iđêan nguyên tố nào củaΣ, sao cho
xiM(n1,...,ni−1,...,nd)∩In0M(n1,...,nd) =xiIn0M(n1,...,ni−1,...,nd)
với mọi số nguyên không âmn0 và khin1, . . . , ni, . . . , nd đủ lớn.