phân bậc
Phần này sẽ đặc trưng tính dương và bội trộn của môđun nón thớ của các môđun Rees đa phân bậc theo ngôn ngữ dãy siêu bề mặt trong Địng nghĩa 3.1.3. Theo Phần 3.1, mỗi dãy (FC) yếu trong vành địa phương [31], [52] cũng là một dãy siêu bề mặt (Mệnh đề 3.1.5) và sự tồn tại của dãy siêu bề mặt là phổ biến. Ta lại thấy theo cách xây dựng, mỗi dãy siêu bề mặt sinh ra một dãy F++-lọc chính quy tương ứng theo
FN. Do đó ta có thể thay thế thuật ngữ "dãy lọc chính quy" trong Hệ quả 2.2.6 bằng thuật ngữ "dãy siêu bề mặt" (Định nghĩa 3.1.3) để thu được mệnh đề dưới đây. Mệnh đề 3.2.1. ChoJ là một iđêanm-nguyên sơ vàI1, . . . , Is là các iđêan củaAsao choI =I1ã ã ãIs *√
(i) NếuEJ(I[k1]
1 , . . . , I[ks]
s ;N)6= 0thì với mọi dãy siêu bề mặtx1, . . . , xncủa(I1, . . . , Is)
theo J vàN gồm m1 ≤k1 phần tử củaI1, . . . , ms ≤ks phần tử củaIs, ta luôn có
dimF4
N =`−nvà EJ(I[k1−m1]
1 , . . . , I[ks−ms]
s ;N)6= 0,ở đâyN =N/(x1, . . . , xn)N.
(ii) Nếu tồn tại một dãy siêu bề mặt x1, . . . , xn của (I1, . . . , Is) theo J và N gồm
m1 ≤k1 phần tử củaI1, . . . , ms ≤ ks phần tử củaIs sao cho dimF4
N =`−n và EJ(I[k1−m1] 1 , . . . , I[ks−ms] s ;N)6= 0 với N =N/(x1, . . . , xn)N,thì ta có EJ(I[k1] 1 , . . . , I[ks] s ;N)6= 0. (iii) Giả sửEJ(I[k1] 1 , . . . , I[ks]
s ;N)6= 0vàx1, . . . , xnlà một dãy siêu bề mặt của họ iđêan
(I1, . . . , Is)theo J vàN gồmm1≤k1 phần tử củaI1, . . . , ms ≤ks phần tử củaIs. Đặt N =N/(x1, . . . , xn)N. Khi đó EJ(I[k1] 1 , . . . , I[ks] s ;N) = EJ(I[k1−m1] 1 , . . . , I[ks−ms] s ;N) và dimF4 N =`−n.
Định lí sau sẽ đặc trưng cho tính dương và quy bội trộn của môđun nón thớ của các môđun Rees đa phân bậc về độ dài môđun.
Định lí 3.2.2. Cho J là một iđêan m-nguyên sơ và I1, . . . , Is là các iđêan của A sao choI =I1ã ã ãIs *√
AnnN. Khi đó, ta có các khẳng định sau đây. (i) EJ(I[k1]
1 , . . . , I[ks]
s ;N)6= 0 nếu và chỉ nếu tồn tại một dãy siêu bề mặtx1, . . . , x`−1
của(I1, . . . , Is)theo J và N gồmk1 phần tử củaI1, . . . , ks phần tử củaIs sao cho
dimF4
N = 1,ở đây N =N/(x1, . . . , x`−1)N.
(ii) Giả sử EJ(I[k1]
1 , . . . , I[ks]
s ;N) 6= 0 và x1, . . . , x`−1 là một dãy siêu bề mặt của
(I1, . . . , Is) theo J và N gồm k1 phần tử của I1, . . . , ks phần tử của Is. Đặt
¯
A = A/(x1, . . . , x`−1),J¯ = JA, N¯ = N/(x1, . . . , x`−1)N,I¯= IA, r¯ = r( ¯I;N) là số rút gọn của I¯theo N .Khi đó
EJ(I[k1] 1 , . . . , I[ks] s ;N) =`A InN (0N :I∞)TInN+J InN với mọi n ≥r.
Từ định lí này và Mệnh đề 3.1.5 cùng với sự tồn tại phổ biến của dãy (FC) yếu, chúng ta nhận lại được kết quả của Nguyễn Tiến Mạnh và Dương Quốc Việt đưa ra năm 2008 [32].
Định lí 3.2.3. [32, Phần 3, Định lí 3.5] ChoJ là một iđêan m-nguyên sơ và I1, . . . , Is
là các iđêan củaAsao cho I =I1ã ã ãIs *√
AnnN. Khi đó, ta có các khẳng định sau đây.
(i) EJ(I[k1]
1 , . . . , I[ks]
s ;N) 6= 0 nếu và chỉ nếu tồn tại một dãy (FC) yếu x1, . . . , x`−1
theo (J, I1, . . . , Is) của N gồm k1 phần tử của I1, . . . , ks phần tử của Is sao cho
dimF4
N = 1,ở đây N =N/(x1, . . . , x`−1)N.
(ii) Giả sửEJ(I[k1]
1 , . . . , I[ks]
s ;N)6= 0vàx1, . . . , x`−1là dãy (FC) yếu theo(J, I1, . . . , Is)
củaN gồmk1phần tử củaI1, . . . , ksphần tử củaIs.ĐặtA¯=A/(x1, . . . , x
`−1),J¯= JA, N¯ =N/(x1, . . . , x`−1)N,I¯=IA, r¯ =r( ¯I;N) là số rút gọn củaI¯theo N .Khi đó EJ(I[k1] 1 , . . . , I[ks] s ;N) =`A InN (0N :I∞)T InN+J InN với mọi n ≥r.
Cho N là một A-môđun hữu hạn sinh. Kí hiệu à(N) là số phần tử sinh cực tiểu củaN. Dễ thấyà(N) =lA(N/mN). Trong trường hợp chỉ một iđêan, áp dụng Định lí 3.2.2 ta thu được kết quả sau đây về bội của lớp vành nón thớ đơn phân bậc. Kết quả này có thể xem như một phiên bản mà Dương Quốc Việt đã đưa ra năm 2008 [58, Định lí 2.3(i)].
Hệ quả 3.2.4. ChoI là một iđêan của A với ` = dim
⊕n≥0 I nN mInN >0 và J là một rút gọn cực tiểu của I. Giả sử x1, . . . , x` là một dãy siêu bề mặt của I theo m và N.
Đặt FN(I) = ⊕n≥0
InN
mInN, r =r(I;N), Q = (x1, . . . , x`−1)N.Khi đó với mọi n ≥ r, ta có e(FN(I)) =à InN +Q:I∞ Q:I∞ .
Ví dụ 3.2.5. Cho k là một trường vô hạn và A = k[[x, y, z, t]],m = (x, y, z, t). Đặt
I1 = (x, y, z), I2= (x, y), U = (m, I1, I2). Bằng tính toán trực tiếp, ta được
lA (I1I2)n m(I1I2)n = Card{xαyβzγ|α, β, γ ∈Z, α, β, γ ≥0, α+β+γ = 2n, γ ≤n} =Pn γ=0Card{(α, β)|α, β ∈Z, α, β ≥0, α+β = 2n−γ} =Pnγ=0(2n−γ+ 1) = 3 2n 2+5 2n+ 1
là một đa thức bậc 2. Vậy theo Hệ quả 1.3.4,` = dim
L n≥0 (I1I2)n m(I1I2)n = 3.Dễ thấy rằng một mặt z, x là một dãy (FC) yếu theo U gồm 2 phần tử của I1, mặt khác z, x
cũng là một dãy (FC) yếu theoU gồm 1 phần tử của I1 và 1 phần tử của I2. Đặt
¯
A=A/(x, z),I¯1=I1A,¯ I¯2 =I2A.¯
Dễ thấy A¯ ∼= k[[y, t]], hơn nữa đẳng cấu này lần lượt biến I¯1,I¯2 trong A¯ thành iđêan
(y)trong k[[y, t]]. Do đó
`( ¯I1I¯2) = dim M n≥0 ( ¯I1I¯2)n m( ¯I1I¯2)n = dim M n≥0 (y2n) (y, t)(y2n) = 1. Theo Định lí 3.2.3(i), Em(I1[2], I2[0];A) 6= 0 và Em(I1[1], I2[1];A) 6= 0. Đặt I¯= ¯I1I¯2. Vì
r( ¯I) = r((y2)) = 0 ((y2) là iđêan trong k[[y, t]]). Vậy theo Định lí 3.2.3(ii),
Em(I1[2], I2[0];A) =Em(I1[1], I2[1];A) =Em(I1[0], I2[0]; ¯A) =lA (I1I2)rA¯ m(I1I2)rA¯ =lA (I1I2)0A¯ m(I1I2)0A¯ = 1.
Xét Em(I1[0], I2[2];A). Dễ thấyx, y là một dãy (FC) yếu theo U gồm 2 phần tử của I2.
ĐặtA0 =A/(x, y), I10 =I1A0, I20 =I2A0.Khi đó, vì I20 = 0 nên độ trải giải tích củaI10I20
là`(I10I20) = −1.Vậy theo Định lí 3.2.3(i), Em(I1[0], I2[2];A) = 0.