Chỉ trong những trường hợp đơn giản nhất, phương trình Schroedinger mới cĩ nghiệm chính xác, cịn trong đa số trường hợp người ta phải giải bằng phương pháp gần đúng. Sau đây chúng ta sẽ giải phương trình Schroedinger cho trường hợp đơn giản, khi hạt nằm trong một hố thế U(x) một chiều cĩ dạng
khi x < 0 U(x) = 0 khi 0 < x < a,
khi x > a
Hình 3.1: Hình ảnh một hố thế một chiều
Một hố thế như vậy cĩ được minh họa trên hình Hình 3.1. Khi hạt ở bên trong hố thế, thế năng của nĩ bằng 0, do đĩ hạt chuyển động hồn tồn tự do. Nhưng hạt khơng thể thốt khỏi hố thế. Do đĩ (x) phải bằng khơng khi x < 0 hay x > a. Chúng ta sẽ áp dụng các điều kiện này khi giải phương trình Schroedinger.
Phương trình Schroedinger cho chuyển động của hạt trong hố thế như vậy cĩ dạng
(2/2m)d2/dx2 = E.
Ta biến đổi nĩ về dạng đơn giản hơn. Nhân chéo (2/2m) qua vế sau và đặt 2mE/2 = k2, ta được
d2/dx2 + k2 = 0,
Phương trình vi phân bậc hai này cĩ nghiệm tổng quát là
0 a x U(x)
trong đĩ A, B là những hằng số tích phân, được xác định từ điều kiện của bài tốn.
Ở trên ta thấy( x < 0) = ( x > 0) = 0. Nhưng do tính liên tục của hàm sĩng, ta cũng phải cĩ
(0) =(a) = 0,
các điều kiện này xác định các hệ số A và B. Áp dụng các điều kiện trên cho hàm sĩng (3.9) ta suy ra
(0) = B = 0, (a) = Asinka = 0.
Vì B = 0 nên khơng thể lấy A = 0 (khi đĩ 0 là một nghiệm tầm thường). Do đĩ phải cĩ
sinka = 0,
k = n/a (n = 1,2,..).
Như vậy, điều kiện hàm sĩng triệt tiêu tại biên của hố thế đã dẫn đến việc xuất hiện các số nguyên n = 1,2,….
Hằng số A cĩ thể được xác định từ điều kiện chuẩn hĩa (2.6). Vì chỉ khác khơng trong miền 0 < x < a nên ta cĩ
a 2 0 (x) dx 1 a 0 2 2 1 dx ) a / x . . n ( sin A (Chú ý rằng: sin (n. .x/a)dx a2 asin[4n2n ] a 0 2 ) A 2/a Vậy hàm sĩng được xác định hồn tồn
) a / x . . n sin( a / 2 n (3.10)
Bây giờ ta xác định năng lượng của hạt. Từ biểu thức 2mE/2 = k2 và k =n/a ta suy ra năng lượng của hạt
En =22n2/(2ma2) (n=1,2,3,...) (3.11) Như vậy, năng lượng của hạt đã bị lượng tử hĩa. Hạt chỉ cĩ thể cĩ những năng lượng xác định chứ khơng thể cĩ mọi năng lượng tùy ý. Các mức năng lượng của hạt được biểu diễn trên Hình H.3-2, khoảng cách giữa 2 mức liên tiếp là
E = En+1- En = 22(2n+1)/(2ma2).
Ta thấy khi năng lượng càng lớn khoảng cách này càng xa nhau.
Với n = 1 ta cĩ giá trị năng lượng bé nhất mà hạt cĩ thể cĩ là khác khơng E1 =22/(2ma2).
Nghĩa là hạt luơn luơn chuyển động chứ khơng thể đứng yên. Đây là một hệ quả của nguyên lý bất định. Thật vậy, độ bất định về vị trí của hạt trong hố là x a, vì xung lượng của hạt p1 = 2mE1 = /a nên cĩ thể lấy p1 /a xp1 . Nếu hạt cĩ E = 0 thì xung lượng của nĩ cũng = 0, điều này trái với nguyên lý bất định. Mật độ xác suất tìm thấy hạt trong hố thế ứng với hàm sĩng n là
|n(x)|2 = (2/a)sin2(nx/a), Mật độ này được biểu diễn trên Hình 3.3.
Hình 3.2. Các mức năng lượng của hạt Hình 3.3. Mật độ xác suất tìm thấy hạt ứng vớin
Ta thấy ứng với n = 1, xác suất tìm thấy hạt tại tâm hố là cực đại. Điều này khác với tiên đốn của lý thuyết cổ điển, theo đĩ xác suất tìm thấy hạt là đồng đều trên tồn hố. Tuy nhiên khi n lớn, cĩ thể thấy xác suất tìm thấy hạt trung bình theo lý thuyết lượng tử đồng đều hơn và trùng với lý thuyết cổ điển. Đây là một ví dụ về nguyên lý tương ứng đã được đề cập tới trong chương 2.