Để tìm hiểu ý nghĩa của sĩng vật chất chúng ta hãy so sánh nĩ với sĩng ánh sáng. Chúng ta xem lại hai bức tranh nhiễu xạ, một là của tia X và một là của electron, cả hai cĩ cùng bước sĩng. Trong ảnh nhiễu xạ tia X, những vân sáng ứng với vị trí cĩ cường độ ánh sáng đạt cực đại, những vân tối ứng với cường độ ánh sáng đạt cực tiểu. Cường độ ánh sáng tỉ lệ với bình phương vectơ cường độ điện trường: I 2. Cịn bản thân vectơ cường độ điện trường là một hàm của tọa độ khơng gian và thời gian: =(x,,z,t).
Trong bức tranh nhiễu xạ của electron. Những vân sáng ứng với vị trí cĩ số electron đến là cực đại, cịn những vân tối ứng với vị trí cĩ số electron đến là cực tiểu. Gọi No là tổng số electron đến màn và N(r) là số lượng electron ứng với bán kính r tính từ tâm của hình trịn. Ta thấy N(r) cĩ những cực đại và cực tiểu xen kẽ nhau. Khi số lượng electron được phát ra trong một giây càng nhiều và thời gian làm thí nghiệm càng dài thì tổng số electron đến màn No càng lớn và số electron đến tại vị trí r là N(r) cũng càng lớn. Nhưng tỉ số n(r) = N(r)/No gần như khơng phụ thuộc vào tổng số electron đến màn. Tỉ số này cho biết khả năng để electron đến vị trí ứng với bán kính r là lớn hay bé. Trong tốn học người ta gọi khả năng này là xác suất. Như vậy, vân sáng ứng với vị trí cĩ xác suất electron đến là cực đại, cịn những vân tối ứng với vị trí cĩ xác suất electron đến là cực tiểu.
Vì bức tranh mơ tả xác suất xuất hiện electron hồn tồn giống bức tranh mơ tả cường độ ánh sáng, nên ta phải nghĩ rằng chúng cĩ tuân theo cùng một qui luật. Vì cường độ ánh sáng tỉ lệ với bình phương vectơ cường độ điện trường, nên xác suất cĩ electron cũng phải là bình phương của một đại lượng nào đĩ, mà ta gọi là hàm sĩng. Tương tự như vectơ cường độ điện trường , hàm sĩng cũng là một hàm của các tọa độ khơng gian và thời gian, nên người ta thường viết (x,y,z,t). Đặc biệt, những nghiên cứu tiếp theo cho thấy khác với các loại sĩng thơng thường, hàm sĩng nĩi chung là một hàm số phức. Do đĩ xác suất phải được tính bằng bình phương của trị tuyệt đối của hàm sĩng |(x,y,z,t)|2.
Như vậy sĩng vật chất de Broglie là sĩng xác suất. Nĩ khơng như sĩng ánh sáng hay sĩng nước thơng thường mà ta cĩ thể cảm nhận trực tiếp được. Tuy nhiên sĩng xác suất này cũng tuân theo các qui luật giao thoa, phản xạ như sĩng ánh sáng, như chúng ta đã thấy qua các thí nghiệm nĩi trên.
Ý nghĩa xác suất của sĩng vật chất đã được Max Born giải thích lần đầu tiên. Theo ơng, bản thân hàm sĩng (x,y,z,t) khơng cĩ ý nghĩa vật lý trực tiếp, mà chỉ bình phương của trị tuyệt đối của nĩ, |(x,y,z,t)|2 mới là một đại lượng vật lý mà chúng ta cĩ thể đo được. |(x,y,z,t)|2 cho biết xác suất để hạt nằm trong một đơn vị thể tích bao quanh điểm (x,y,z) tại thời điểm t. Do đĩ người ta gọi |(x,y,z,t)|2
là mật độ xác suất.
Như vậy |(x,y,z,t)|2.dV = |(x,y,z,t)|2.dxdydz là xác suất để hạt nằm trong thể tích vi phân dV = dxdydz bao quanh điểm (x,y,z) đĩ tại thời điểm t.