Ở phần II, chúng ta đã nói đến kiểm định giả thuyết về các đặc trưng - trung bình, tỷ lệ, phương sai - của tổng thể và thường giả định tổng thể phân phối chuẩn. Trong phần này, cũng với giả thuyết H0 về tham số tổng thể, chúng ta sẽ đề cập đến các kiểm định mà phần lớn không gắn liền tới tham số nào đó của mẫu, và vì vậy, chúng được gọi là kiểm định phi tham số. Kiểm định phi tham số thường không yêu cầu điều kiện giả định phân phối chuẩn của tổng thể, do đó có nhiều ứng dụng hơn. Tuy nhiên, phương pháp kiểm định phi tham số khó mở rộng và kém chắnh xác hơn so với kiểm định tham số.
1. Kiểm định Willcoxon (Kiểm định T)
Kiểm định Wilcoxon được áp dụng trong trường hợp chúng ta kiểm định về sự bằng nhau của hai trung bình tổng thể đối với mẫu phối hợp từng cặp.
Trước khi đi vào phương pháp giải quyết ta định nghĩa hạng (rank) của phần tử. Giả sử ta có một dãy các số thực được xếp theo thứ tự tăng dần, trong dãy này không có giá trị nào bằng nhau:
x1 < x2 < ... < xn
Khi đó rank(x1) = 1, rank(x2) = 2, ..., rank(xn) = n
Trong trường hợp các phần tử có giá trị bằng nhau thì hạng của nó là hạng trung bình của các hạng liên tiếp.
a) Trường hợp mẫu nhỏ (n ≤20):
Chọn ngẫu nhiên n cặp quan sát (xi,yi) từ hai tổng thể X, Y. Với mức ý nghĩa α ta có các bước kiểm định sau:
(1). Đặt giả thuyết: H0 : ộx - ộy = 0
H0 : ộx - ộy ≠ 0 (2). Giá trị kiểm định:
- Tắnh các chênh lệch giữa các cặp: di = xi - yi
- Xếp hạng giá trị tuyệt đối các chênh lệch theo thứ tự tăng dần, các giá trị bằng nhau sẽ nhận hạng trung bình, bỏ qua trường hợp chênh lệch bằng 0.
http://www.vn-zoom.com/5599236-ngphutien/
http://facebook.com/ngphutien/ 68
- Tìm tổng các hạng được xếp của di mang dấu dương
http://www.vn-zoom.com/5599236-ngphutien/
http://facebook.com/ngphutien/ 69 - Kiểm định T=min(T+, T-)
(3). Qui tắc quyết định: Ở mức ý nghĩa α, bác bỏ H0 nếu ; với là giá trị của kiểm định Wilcoxon, n+ là số cặp quan sát có di≠0.
Vắ dụ 5.9: Mẫu 9 khách hàng được chọn ngẫu nhiên và yêu cầu họ cho biết sở thắch về 2 sản phẩm cùng loại A, B thông qua thang điểm từ 1 (thấp nhất) đến 5 (cao nhất). Giả thuyết cho rằng không có xu hướng nghiên về loại nào trong sở thắch của 2 loại sản phẩm A, B với α=5%.
Kết quả thu thập số liệu như sau:
Khách hàng 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Sản phẩm A 4 5 2 3 3 1 3 2 2 Sản phẩm B 3 5 5 2 5 5 3 5 5 (1). Đặt giả thuyết: H0 : ộx - ộy = 0 H0 : ộx - ộy ≠ 0 (2). Giá trị kiểm định: Khách hàng 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Tổng A 4 5 2 3 3 1 3 2 2 B 3 5 5 2 5 5 3 5 5 Chênh lệch 1 0 -3 1 -2 -4 0 -3 -3 Hạng + 1,5 1,5 3 Hạng - 5 3 7 5 5 25 T = min ( T+, T-) = 3. n+ = 7
(3). Quyết định: T = 3< T7,5% = 4: Bác bỏ giả thuyết H0
(4). Kết luận: Với α = 5%, có thể kết luận rằng có sự khác biệt trong việc ưa chuộng hai sản phẩm.
b, Trường hợp mẫu lớn
Nếu n lớn thì phân phối Wilconxon gần như phân phối chuẩn, lúc này trung bình và phương sai được tắnh như sau:
http://www.vn-zoom.com/5599236-ngphutien/
http://facebook.com/ngphutien/ 70 Trung bình:
Phương sai:
2. Kiểm định Mann Ờ Whitney (Kiểm định U)
Cũng như kiểm định T nhưng kiểm định U xét trường hợp mẫu độc lập.
Chọn 2 mẫu ngẫu nhiên độc lập có n1, n2 quan sát từ hai tổng thể có trung bình là ộ1, ộ2. Với mức ý nghĩa σ, các bước kiểm định:
(1). Đặt giả thuyết: H0 : ộ1 - ộ2 = 0
H0 : ộ1 - ộ2 ≠ 0 (2). Giá trị kiểm định:
- Xếp các hạng tất cả các giá trị của mẫu theo thứ tự tăng dần. Những giá trị bằng nhau sẽ nhận hạng trung bình hai hạng kế tiếp.
- Cộng các hạng của tất cả các giá trị ở mẫu thứ nhất. Khắ hiệu R1 - Giá trị kiểm định:
* Khi cỡ mẫu lớn (n1, n2 ≥ 10) phân phối U được xem là phân phối chuẩn Giá trị kiểm định:
http://www.vn-zoom.com/5599236-ngphutien/