Từ các mạch mã hoá mã xoắn, chúng ta nhận thấy rằng nếu thanh ghi dịch có m ô, thì số lượng trạng thái N=2m. Hơn nữa, cứ mỗi bit thông tin đi vào thì trạng thái các ô ghi dịch sẽ thay đổi và đưa ra n ký hiệu mã. Có thể biểu diễn mối quan hệ giữa trạng thái các ô ghi dịch với các ký hiệu mã đầu ra ở phương pháp sơ đồ trạng thái.
Chúng ta hãy bắt đầu từ trường hợp đơn giản nhất, với mạch mã hoá như hình 3.11b). Mạch này có hai ô ghi dịch, số lượng trạng thái N=22=4. Chúng ta ký hiệu trạng thái ấy là A, B, C và D, với:
A= 00 – ô 1 có trạng thái 0, ô 2 có trạng thái 0; B= 10 – ô 1 có trạng thái 1, ô 2 có trạng thái 0; C= 01 – ô 1 có trang thái 0, ô 2 có trạng thái 1; D=11 – ô 1 có trạng thái 1, ô 2 có trạng thái 1.
Trong phương pháp này, trạng thái các ô ghi dịch được biểu diễn là các hình tròn, bên trong ghi trạng thái tương ứng. Liên hệ giữa các trạng thái được biểu diễn bằng các mũi tên, chiều mũi tên chỉ chiều thay đổi trạng thái. Hơn nữa, quy định bit thông tin đầu vào là 1, mũi tên được vẽ bằng nét liền, còn ngược lại, khi bit thông tin đầu vào là 0, mũi tên được vẽ bằng nét đứt. Trên các mũi tên ghi cặp dấu mã đầu ra, gọi là từ mã nhánh. Sơ đồ trạng thái trong trường hợp này được biểu diễn trên hình 3.2. 10 00 01 11 00 11 10 11 01 00 01 10
Hình 3.2: Sơ đồ trạng thái
Từ sơ đồ trạng thái ở hình 3.2, nếu chúng ta biết chuỗi các bit thông tin đầu vào, chẳng hạn I=11011…, và chọn trạng thái đầu của các ô ghi dịch là A=00, thì xác dịnh được chuỗi các trạng thái như sau:
ABDCBD… Chuỗi ký hiệu mã đầu ra tương ứng là: V = 11-01-01-00- 01-… Nếu chúng ta chọn trạng thái ban đầu của các ô ghi dịch là D=11, thì xác định được chuỗi các trạng thái như sau:
DDDCBD… Chuỗi ký hiệu mã đầu ra tương ứng sẽ là: V= 10- 10- 01- 00- 01…
Từ sơ đồ trạng thái, chúng ta thấy rằng cấu trúc đặc trưng của các mã xoắn có tính chất lặp. Trạng thái của các ô ghi dịch, kéo theo chuỗi mã V có cấu trúc lặp. Chu kỳ lặp lại ngắn nhất là (m+1), với m là số lượng ô ghi dịch, tiếp theo là (m+2). Khi không để ý đến các trạng thái lặp trung gian (hoặc sự lặp của các từ mã nhánh trung gian), thì chu kỳ lặp còn dài hơn.
3.1.3.4. Phương pháp sơ đồ cây
Phương pháp sơ đồ trạng thái hoàn toàn có thể xác định được chuỗi các ký hiệu mã đầu ra, khi biết chuỗi bit thông tin đầu vào và trạng thái ban đầu của các ô ghi dịch. Tuy nhiên, phương pháp này chưa biểu diễn được chuỗi ký hiệu mã đầu ra như là hàm của mã thời gian t. Phương pháp sơ đồ cây bổ xung thêm tham số thời gian, để xác định thời gian xác lập các nút của cây (cũng có nghĩa là thời gian xác lập trạng thái các ô ghi dịch). Sơ đồ cây của mã X(2,1,2) được trình bày trên hình 3.3. Sơ đồ này được vẽ như sau: cây được vẽ từ trái sang phải, bắt đầu từ nút gốc, tương ứng với thời điểm t1, các nút tiếp theo tương ứng với thời điểm t2, t3,t4,… Từ nút gốc mọc ra 2 nhánh (vì mã cơ số 2), một nhánh đi lên, một nhánh đi xuống dưới. Quy ước nhánh đi lên trên tương ứng với bit thông tin vào là 0, ngược lại, nhánh đi xuống dưới tương ứng với bit thông tin vào là 1. Trên các nhánh ghi cặp dấu mã đầu ra tương ứng, gọi là “từ mã nhánh”. Cây tiếp tục mọc dài ra về bên trái, cho đến khi bit thông tin vào sau cùng.
Từ sơ đồ cây hình 3.3, nếu biết các bit thông tin đầu vào I=1101… Bắt đầu từ nút gốc (tương ứng vời trạng thái đầu các ô ghi dịch là A=00) đi theo đường mũi tên nét đứt trên hình vẽ, chúng ta xác định được chuỗi ký hiệu mã hoá đầu ra V=11-01-01-00-…
Số nhánh = k t t 12
Còn số nhánh có sau thời điểm có bit vào thứ k là 2k. Như vậy, cây mã càng phức tạp càng nhiều nhánh, khi số bit đầu vào tăng lên.
Một số đặc điểm khác của cây mã là tối tiểu sau m+1 lần phân nhánh (m – số ô ghi dịch) thì cấu trúc của cây lặp lại. Mã xoắn X(2,1,2) có m=2, nên tối thiểu sau ba lần phân nhánh, cấu trúc cây lặp lại (bắt đầu từ thời điểm t4).
Sơ đồ cây không chỉ sử dụng để biểu diễn đặc trưng mã khi mã hoá, mà còn dùng để giải mã.
Hình 3.3: Sơ đồ cây