Các tính chất của chuyển động trượt được thể hiện và ứng dụng trong các công trình nghiên cứu về lý thuyết biến đổi cấu trúc, được khởi xướng đầu tiên bởi S.V. Emelianov, Utkin V.I...[91], [102]. Hiện nay lý thuyết hệ thống cấu trúc biến đổi được xem như một bộ phận độc lập trong lý thuyết điều khiển phi tuyến.
Để nghiên cứu tính chất động học của hệ thống cấu trúc biến đổi chúng ta xem xét hệ thống sau. Giả sử hệ thống được tạo nên bởi một số hệ nhỏ liên tục, sau đây chúng ta gọi chúng là các cấu trúc, một trong số chúng có thể làm cho hệ thống không hoạt động bình thường theo quan điểm về chất lượng điều khiển. Bài toán tổng hợp bộ điều khiển được đặt ra ở đây là tìm các tham số
cho các cấu trúc và trình tự tác động của chúng làm sao để hệ thống đạt được các chỉ tiêu mong muốn. Trong qúa trình thay đổi cấu trúc, hệ thống sẽ bị gián đoạn trong một bề mặt nào đó của không gian trạng thái. Bởi vậy trong hệ thống cấu trúc biến đổi có thể phát sinh chuyển động trượt.
Ví dụ , chuyển động được mô tả bằng hệ phương trình: 1 2 2 2 2 1 1 . x x x a x a x u (3.1) 1, 2
x x – các biến trạng thái; a a1, 2 – hệ số cố định; u – hàm điều khiển. Lập hàm điều khiển theo x1 u x1 (3.2)
Xem xét hai cấu trúc tuyến tính trong hệ thống khi gán tương ứng với giá trị hoặc , trong đó là hằng số. Giả sử chọn sao cho khi gán
(câu trúc a) thì hệ có hai nghiệm phức và khi gán (cấu trúc b) thì hệ có hai nghiệm thực. Đồ thị chuyển động của hệ với cấu trúc (a) và (b) trên hình 3.1a, 3.1b, dễ thấy rằng hai hệ với cấu trúc (a) và (b) đều không ổn định, tuy nhiên hệ sẽ tiệm cận ổn định khi ta thay đổi cấu trúc (a) và (b) theo các đường thẳng: x1 0 và scx1 x2 0 (c0,cconst), (3.3) hệ số c lựa chọn sao cho đường thẳng s0 nằm giữa trục x1 0 và quỹ đạo hypecpol tương ứng với cấu trúc (hình 3.1b).
a) b)
Trên hình 3.2 là quỹ đạo chuyển động của hệ khi biến đổi cấu trúc (a) và (b) theo quy luật:
1 1 0 0 khi x s khi x s . (3.4) Từ quỹ đạo chuyển động ta thấy rằng nếu bắt đầu chuyển động từ một điểm bất kỳ trong không gian trạng thái sau một quá trình đều tiến đến đường thẳng s0. Tại lân cận đường thẳng này quỹ đạo của hai cấu trúc chuyển động gặp nhau, vì vậy tiếp theo sẽ dẫn đến trạng thái chuyển đổi liên tục hay gọi khác đi là trạng thái trượt dọc theo đường thẳng s0.
Hình 3.2. Quỹ đạo chuyển động của hệ khi biến đổi cấu trúc
Trong trạng thái trượt thì chuyển động không thể rời khỏi lân cận vô cùng bé của đường thẳng s0, chuyển động đó tương đương gán giá trị "0"cho đường thẳng cx1 x2. Theo (3.1) ta có x2 x1 , như vậy ta có phương trình vi phân: x1 cx1 0. (3.5)
Phương trình vi phân cấp một (3.5) thể hiện chất lượng của điều khiển trượt. Nghiệm của phương trình này ổn định như vậy hệ điều khiển biến đổi cấu trúc (3.1) – (3.4) cũng ổn định với mọi trạng thái khởi đầu bất kỳ nào. Qua đó ta thấy hệ ổn định với việc cấu trúc biến đổi sử dụng hai cấu trúc không ổn định và điều khiển trượt. Ý tưởng thiết kế hệ điều khiển này đã và
đang được ứng dụng, phát triển nhiều trong kỹ thuật hiện đại, có thể tham khảo trong các công trình khoa học [81], [82], [84].
Lý thuyết cấu trúc biến đổi ứng dụng nhiều cho hệ điều khiển phức tạp hơn đó là đối tượng biến thiên theo thời gian. Xét hai truờng hợp xảy ra, thứ nhất đối tượng có tham số biến thiên theo thời gian, thứ hai có tác động nhiễu từ bên ngoài hệ thống. Nghiên cứu đầu tiên về vấn đề này được đưa ra trong [95], đã chỉ ra rằng: nếu hàm số điều khiển được cấu tạo bởi biến trạng thái và vi phân của nó thì chuyển động trạng thái trượt không phụ thuộc vào tham số đối tượng cũng như nhiễu bên ngoài mà chỉ phụ thuộc vào tham số của mặt chuyển tiếp. Phân tích từ ví dụ trên nhận thấy nếu trong hệ (3.1) tham số
1, 2
a a biến đổi theo thời gian t có giới hạn. Ta chọn và c trong (3.3), (3.4) sao cho với các giá trị biến đổi của a1và a2 thì quỹ đạo chuyển động như trong hình 3.1b. Trong trường hợp này với các giá trị biến đổi của a1và a2
quỹ đạo luôn nằm trong lân cận đường thẳng s0 (hình 3.2) và trong hệ thống luôn phát sinh trạng thái trượt mà phương trình là (3.5). Dễ dàng nhận thấy (3.5) chỉ phụ thuộc vào tham số c chứng tỏ tồn tại chuyển động trượt trong hệ thống không phụ thuộc vào tính chất của đối tượng.