Đối với nhiều hệ thống phức hợp được tạo thành từ các hệ thống đơn, chúng ta có thể sử dụng tích đồng bộ của các ôtômat thời gian để biểu diễn chúng. Lấy
Ai =Si, s0i,Σi, Xi, Ii, Ei (i = 1,2) là hai ôtômat thời gian. Tích của A1,A2
(còn được gọi là hợp song song của A1,A2 và được ký hiệu bởi A1 A2) được
định nghĩa như sau.
Định nghĩa 2.3 (Hợp song song của ôtômat thời gian). Hợp song song của các ôtômat thời gian A1,A2 là ôtômat A =S, s0,Σ, X, I, E, ở đây:
S = S1×S2, s0 = (s01, s02), Σ = Σ1∪Σ2, X =X1∪X2, I =I1∪I2. Tập phép
chuyển E được xây dựng như sau : lấy ei = si, ϕi, ai, λi, si ∈ Ei (i = 1,2). Khi đó nếu a1 = a2 thì (s1, s2), ϕ1∧ϕ2, a, λ1∪λ2,(s1, s2) ∈ E, trong đó
21
a = a1 = a2. Nếu a1 ∈ Σ1 \Σ2 thì (s1, s2), ϕ1, a1, λ1,(s1, s2) ∈ E, và nếu
a2 ∈ Σ1\Σ2 thì (s1, s2), ϕ2, a2, λ2,(s1, s2) ∈E.
Các ôtômat A1 và A2 là hoạt động đồng bộ thông qua tập nhãn chung của
Σ1 và Σ2. Điều này có nghĩa một phép chuyển với nhãn a ∈ Σ1 ∩Σ2 xảy ra
trong A1 khi và chỉ khi nó cũng xảy ra đồng thời trong A2. Ta gọi các phép
chuyển này là đồng bộ, các phép chuyển còn lại được gọi là đan xen. Đối với các hệ thống là hợp song song bởi nhiều hơn hai thành phần, định nghĩa cũng được mở rộng một cách tương tự.
Trước khi kết thúc phần này, chúng tôi có một lưu ý nhỏ về từ trạng thái
trong luận án. Đối với hệ thống nói chung (hệ chuyển trạng thái, ôtômat không thời gian) đỉnh s trong các đồ thịbiểu diễn hệ thống được gọi làtrạng thái và tập S chứa các đỉnh này được gọi là tập trạng thái. Tuy nhiên, đối với ôtômat thời gian, các đỉnh s này sẽ được gọi là vịtrí, khi đó trạng thái của hệ thống sẽ là cặp (s, ν) (ν là một thể hiện đồng hồ) và được kí hiệu bởi q, q, q1, . . ..
Do định nghĩa tổng quát của ôtômat thời gian cho phép có thể có vô hạn trạng thái xảy ra trong một khoảng thời gian hữu hạn, nên để phù hợp với thực tế, luận án này chỉ xét đến lớp các ôtômat nonZeno ([7, 8]), tức trong một khoảng thời gian hữu hạn bất kỳ chỉ có một số hữu hạn phép chuyển được phép xảy ra. Qui ước này được sử dụng hầu hết trong các công trình liên quan đến hệ thống thực tế, trừ phi trong một số công trình nghiên cứu về khả năng (lý thuyết) nội tại của ôtômat thời gian.
Để thuận tiện cho trình bày, kí hiệu∞ cũng được xem như một số thực và là số lớn nhất trong tập hợp các số thực. Trên cơ sở đó các phép toán số học cộng, nhân và các quan hệ cũng được mở rộng đến giá trịsố này.