4 Kỹ thuật rời rạc hoá và duyệt đồ thị đạt được
4.6 thịtrọng số G từ đồ thịvùng đạt được RG
Định nghĩa 4.9. Lấy p=v1v2. . .vm là một đường đi trong G. Khi đó độ dài
l(p) và giá θ(p) của p được định nghĩa:
l(p) = m−1 i=1 ω(vi,vi+1), θ(p) = m−1 i=1 ω(vi)ω(vi,vi+1).
Một đường đi p gọi là thoả LDI nếu và chỉnếu A≤ l(p) ≤B ⇒ θ(p) ≤M.
Bổ đề 4.11. Mỗi thể hiện trọng số nguyên ℘ = p(d1, d2, . . . , dm−1) (di ∈ N,
i = 1..m− 1) của RG tương ứng với một đường đi p nối 2 đỉnh mẹ nào đó
trong G sao cho l(℘) = l(p), θ(℘) = θ(p) và ngược lại.
Chứng minh. Từ cách xây dựngGta dễ dàng thấy rằng với mỗi cung(vi,vj,[l,u]) của RG và một số nguyên d∈[l,u] có tồn tại đường đi p=viv1
ij. . .vd
ijvj của G để l(p) = d, θ(p) = cvid và ngược lại (xem minh hoạ trong hình 4.6). Từ đó, tổng quát hoá đối với dãy các cung của RG ta nhận được kết quả bổ đề.
Kết hợp các bổ đề 4.8, 4.11 ta có thể kết luận nếu có một mô hình nguyên
σ ∈ Muv(A) không thoả LDI thì sẽ có một đường đi nối các đỉnh mẹ trong G cũng không thoả LDI và ngược lại. Một kết quả mở rộng là tương tự đối với mô hình nguyên bất kỳ của A và các đường đi bất kỳ của G được thể hiện bằng bổ đề sau đây.
Bổ đề 4.12. Cho ôtômat thời gianA, công thức LDI và G là đồ thị vùng trọng số được xây dựng như trên. Khi đó: nếu tồn tại đường đi p ∈ P(G) sao cho
79
p |= LDI thì cũng tồn tại mô hình nguyên σ ∈ MI(A) sao cho σ |= LDI và ngược lại.
Chứng minh. Giả sử tồn tại đường đi p ∈ P(G) và p |= LDI. Gọi vu và vv là các đỉnh mẹ xuất hiện đầu tiên và cuối cùng trong p. Khi đó về mặt tổng quát, một đường đi p bất kỳ có thể được viết dưới dạngp1p2p3 trong đó p1 là đường
đi chỉ gồm các đỉnh con nối đỉnh đầu của p với vu và thuộc cung (vu−1,vu) trong G1, p2 là đường đi từvu đến vv và p3 là đường đi nối vv với đỉnh cuối của p và thuộc cung (vv,vv+1) trong G1 (hình 4.7). Từ các bổ đề 4.11, 4.8, đối với
p2 có tồn tại mô hình nguyên σ = (s, t,[tu, tv])∈ MI(A), sao cho l(σ) = l(p2) và θ(σ) = θ(p2).