4 Kỹ thuật rời rạc hoá và duyệt đồ thị đạt được
4.4 Thuật toán kiểm chứng LDI tổng quát
4.3.4 Kiểm chứng tính an toàn của hệ chắn tàu bằng rời rạc hoá
Trong phần này chúng tôi minh hoạ thuật toán kiểm chứng LDI bằng phương pháp rời rạc hoá đối với hệ chắn tàu được cho trong chương 3 (hình 3.1). Hệ gồm hai ôtômat chạy song song với phép chuyển (A,B) đồng bộ với phép chuyển (U,MD) và (MU,MD); (C,P) đồng bộ với (Dn,MU). Công thức LDI cần kiểm chứng là D = 0 ≤ ≤ ∞ ⇒ C− Dn ≤0. Ôtômat đạt được của hệ gồm 2 đồng hồ x, y, 8 vịtrí và 11 phép chuyển như minh hoạ trong hình 4.8, trong đó ((A,U),(B,MD)), ((A,MU),(B,MD)) và ((C,Dn),(P,MU)) là các phép chuyển đồng bộ. Tập hợp gán trên các phép chuyển là tập đồng hồ đặt về 0. Như vậy bài toán kiểm chứng công thức D trên hệ chắn tàu được đưa về kiểm chứng công thức D = 0 ≤≤ ∞ ⇒(C, MD)−(B, Dn) ≤ 0.
Hình 4.8: Ôtômat đạt được của hệ chắn tàu.
Với a = b = c = 1 (các hệ số ràng buộc thời gian trong ôtômat), đồ thị vùng đạt được nguyên có 19 đỉnh và 35 cung, đồ thịtrọng số Gphục vụ kiểm chứng LDI có 27 đỉnh và 43 cung. Do kích thước lớn nên các đồ thịvà kết quả bài toán kiểm chứng được chúng tôi trình bày trong phần phụ lục. Kết quả cho thấy hệ chắn tàu với a=b =c= 1 là đúng đắn. Một số kết quả với a, b, c
Kết luận
Trong luận án này chúng tôi đã trình bày bài toán kiểm chứng mô hình đối với một số lớp tính chất biểu diễn được bằng các công thức khoảng tuyến tính trong lôgic khoảng.
Một cách trực giác có thể thấy việc kiểm chứng các tính chất khoảng là khó hơn rất nhiều so với tính chất thời điểm bởi hai lý do: thứ nhất đối với tính chất thời điểm chỉ cần tiến hành kiểm chứng trên các quan sát bắt đầu và kết thúc tại các thời điểm hệ chuyển trạng thái, trong khi ngữ nghĩa của các tính chất thời khoảng đòi hỏi các quan sát phải được bắt đầu và kết thúc tại những thời điểm bất kỳ. Lý do thứ hai đến từ việc phải tính khoảng thời gian xuất hiện của các vịtrí, do vậy cần quan tâm đến lịch sử của các vịtrí này trong dáng điệu của ôtômat. Mặt khác thời gian được lấy trên tập trù mật R
nên việc tính toán chúng cũng trở nên phức tạp hơn. Điểm khác biệt này lý giải vì sao phần lớn công thức khoảng là không quyết định được và các kết quả kiểm chứng tính chất thời khoảng cho đến hiện nay vẫn còn khiêm tốn. Hầu như các thuật toán được xây dựng thường chỉ hạn chế trên các lớp con của lớp ôtômat thời gian và các tính chất tuyến tính trong DC, cuối cùng thường là chúng có độ phức tạp rất cao. Có thể kể đến một số kết quả đã có như:
• Kiểm chứng công thức hội của các LDP hệ số nguyên đối với lớp ôtômat thời gian hữu hạn (Finite Timed Automata) bằng phương pháp giải bài toán qui hoạch tuyến tính nguyên ([45]).
• Kiểm chứng công thức LDI đối với các lớp con của ôtômat thời gian bằng phương pháp giải bài toán qui hoạch tuyến tính ([19, 28, 29, 17])
• Kiểm chứng công thức LDP, TDP đối với lớp ôtômat thời gian bằng phương pháp duyệt đồ thịvùng nguyên ([44, 63])
Các kết quả trên hoặc chỉ xét với các lớp con của ôtômat thời gian hoặc với ôtômat thời gian tổng quát [44, 63] nhưng về ngữ nghĩa của công thức vẫn chỉ được xét trên lớp mô hình M0(A).
Từ đó luận án này quan tâm đến lớp hệ thống tổng quát hơn đó là ôtômat thời gian và ngữ nghĩa của công thức được xét trên tập mô hình M(A). Trên cơ sở đó luận án đã đạt được một số kết quả sau :
• Đề xuất toán tử ⊗ dùng để biểu diễn tính đồng bộ hoá của hệ thống (định nghĩa 3.1 trang 29, định nghĩa 3.2 trang 32) thông qua biểu thức chính quy thời gian TRE.
• Trên cơ sở biểu thức chính quy thời gian, đề nghịthuật toán kiểm chứng lớp hệ thống biểu diễn được bởi hợp song song các ôtômat thời gian thực bằng phương pháp đưa về giải bài toán qui hoạch tuyến tính (định lý 3.3 trang 36). Phân tích ưu khuyết điểm của phương pháp.
• Chứng minh công thức LDP, LDI là rời rạc hoá được (định lý 4.1 trang 60).
• Mở rộng đồ thịđạt được nguyên của ôtômat thời gian bằng cách trang bịcác cận thời gian cho đồ thị. Trên cơ sở đó xây dựng đồ thịtrọng số phục vụ kiểm chứng công thức LDP (thuật toán Checking-LDP trang 71).
• Xây dựng đồ thịtrọng số là "rời rạc hóa" của đồ thịvùng nguyên, đề nghịthuật toán duyệt đồ thịđể kiểm chứng công thức LDI (thuật toán
Traverse(vstart) và Checking-LDI trang 83).
Ngoài những kết quả đã đạt được, trong thời gian tới đề tài của luận án có thể được tiếp tục với các hướng nghiên cứu sau:
87
• Giảm độ phức tạp của thuật toán bằng cách tìm thêm mối quan hệ tương đương giữa các lớp mô hình.
• Cải tiến thuật toán kiểm chứng LDI trên cơ sở nhận xét đồ thịphục vụ kiểm chứng rất thưa cung (và chỉ có trọng số 0/1).
• Mở rộng kết quả kiểm chứng trên cho một số công thức rời rạc hoá được có liên quan đến công thức khoảng tuyến tính.
1. D.V. Hung and P.H. Thai (1998), "On Checking Parallel Real-Time Systems for Linear Duration Invariants", In Proceedings of International Symposium on Software Engineering for Parallel and Distributed Systems. Kyoto, Japan, April 1998. Bernd Kramer, Naoshi Uchihira, Peter Croll, Stefano Russo (eds.), IEEE Computer Society Press, pages 61-71.
2. Phạm Hồng Thái (2002), "Kiểm tra mô hình lưới ôtômat thời gian", Kỷ yếu hội thảo quốc gia: Một số vấn đề chọn lọc của Công nghệ thông tin. Nha Trang, 6-2002, trang 278–287, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội, 9-2003.
3. Pham Hong Thai (2003), "Checking Parallel Real-Time Systems for Temporal Duration Properties by Linear Programming",Journal of Sciences, VNU, Vol. 19, No. 4, 2003. pp. 49–72.
4. Phạm Hồng Thái, Mai Tuấn Linh (2003), "Khảo sát tính rời rạc hoá được của bất biến khoảng tuyến tính", Báo cáo tại hội thảo quốc gia: Một số vấn đề chọn lọc của Công nghệ thông tin, Thái Nguyên, 8-2003, trang 364-374, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội, 1-2005.
5. Pham Hong Thai (2004), "On Discretisable Formulas in Duration Calculus",
Journal of Sciences, VNU, Vol. 20, No. 1, 2004, pp. 53–66.
6. Phạm Hồng Thái, Mai Tuấn Linh (2004), "Về bài toán kiểm chứng tính chất khoảng tuyến tính", Báo cáo tại hội thảo quốc gia: Một số vấn đề chọn lọc của Công nghệ thông tin, Đà nẵng, 8-2004.
7. Pham Hong Thai and Dang Van Hung (2004), "Verifying Linear Duration Constrains of Timed Automata", Presented at and published in the proceed- ings of First International Colloqium on Theoretical Aspects of Computing ICTAC’04, Gui Yang, China, 22-24, September, 2004, LNCS 3407, pp. 295- 309, Springer-Verlag, 2005.
Tài liệu tham khảo
[1] Đoàn Văn Ban, Hồ Văn Hương (2001), "Tính khả tuần tự của giao thức điều khiển tương tranh khoá hai pha trong cơ sở dữ liệu thời gian thực", Tạp chí
Tin học và Điều khiển học, T.17, S.3 (2001), Hà Nội 2001, trang 25-32.
[2] Phạm Hồng Thái (2002), "Kiểm tra mô hình lưới ôtômat thời gian", Kỷ yếu hội thảo quốc gia:Một số vấn đề chọn lọc của Công nghệ thông tin. Nha Trang, 6-2002, trang 278–287, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội, 9-2003.
[3] Phạm Hồng Thái, Mai Tuấn Linh (2003), "Khảo sát tính rời rạc hoá được của bất biến khoảng tuyến tính", Báo cáo tại hội thảo quốc gia:Một số vấn đề chọn lọc của Công nghệ thông tin, Thái Nguyên, 8-2003, trang 364-374, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội, 1-2005.
[4] Phạm Hồng Thái, Mai Tuấn Linh (2004), "Về bài toán kiểm chứng tính chất khoảng tuyến tính", Báo cáo tại hội thảo quốc gia:Một số vấn đề chọn lọc của Công nghệ thông tin. Đà nẵng, 8-2004.
[5] R. Alur, C. Courcoubetis, and D.L. Dill (1990), "Model checking for real-time systems", Proceedings of the Fifth Annual Symposium on Logic in Computer Science, pp. 414– 425. IEEE Computer Society Press, 1990.
[6] R. Alur, C. Courcoubetis, T.A. Henzinger (1993), "Computing accumulated delays in real-time systems", Proceedings ofthe Fifth Conference on Computer- Aided Verification, LNCS 818, pp. 181–197, 1993.
[7] R. Alur and D.L. Dill (1994), "A Theory of Timed Automata", Theoretical Computer Science, pp. 183–235, 1994.
[8] Rajeev Alur (1999), "Timed Automata", Proceedings of 11th International Conference on Computer-Aided Verification, LNCS 1633, pp. 1–22, Springer- Verlag, 1999.
[9] R. Alur, L. Fix, and T.A. Henzinger (1999), "Event-clock automata: A deter- minizable class of timed automata",Theoretical Computer Science211:213–273, 1999.
[10] E. Asarin, O. Maler, P. Caspi (1997) "A Kleene Theorem for Timed Automata", G. Winskel (Eds.), In Proceedings LICS’97, 1997.
[11] E. Asarin, O. Maler, A. Pnueli (1998), "On Discretization of Delays in Timed Automata and Digital Circuits", R. de Simone and D. Sangiorgi (Eds.), In Proceedings Concur’98, 470–484, LNCS 1466, Springer-Verlag, 1998.
[12] G. Behrmank, A. Fehnker, T. Hune, K. Larsen, P. Petersson, J. Romijn and F. Vaandrager (2001), "Minimum-Cost Reachability for Priced Timed Automata",
LNCS, Vol. 2034, pp. 147–162, 2001.
[13] J. Bengtsson, K. Larsen, F. Larson, P. Pettersson, W. Yi and C. Weise (1998), "New generation of UPPAAL", Proceedings of the International Workshop on Software Tools for Technology Transfer, Aalborg, Denmark, July 1998.
[14] A. Bouajjani, S.Tripakis, S.Yovine (1997), "On-the-fly symbolic model-checking for real-time systems", Proceedings of the 18th IEEE Real Time Systems Sym- posium, RTSS’97, San Francisco, CA, USA, December 1997. IEEE Computer Society Press 1997.
[15] Patricia Bouyer (2002), "Timed Automata May Cause Some Troubles", Re- search Report LSV-02-9, July 2002.
[16] M. Bozga, C. Daws, O. Maler, A. Olivero, S. Tripakis, S. Yovine (1998), "Kro- nos: A Model-Checking Tool for Real-Time Systems", Proceedings of 10th In- ternational Conference on Computer Aided Verification, Vancouver, Canada", Vol. 1427, Springer-Verlag, A. J. Hu and M. Y. Vardi eds., pp. 596–600, 1998.
[17] Victor A. Braberman and Dang Van Hung (1998), "On Checking Timed Automata for Linear Duration Invariants" Technical Report 135, UNU/IIST, P.O.Box 3058, Macau, February 1998. Proceedings of the 19th Real-Time Sys- tems Symposium RTSS’98, December 22, 1998, Madrid, Spain, IEEE Computer Society Press 1998, pp. 264–273.
[18] Z. Chaochen, C.A.R. Hoare, and A.P. Ravn (1994), "A calculus of durations",
Information Processing Letters, 40(5):269–276, 1994.
[19] Zhou Chaochen, Zhang Jingzhong, Yang Lu, and Li Xiaoshan (1994), "Linear Duration Invariants", Research Report 11, UNU/IIST, P.O.Box 3088, Macau, July 1994. Published in Formal Techniques in Real-Time and Fault-Tolerant systems, LNCS 863, 1994.
[20] C. Choffrut and M. Goldwurm (2000), "Timed Automata with Periodic Clock Constraints", Journal of Automata, Languages and Combinatorics, vol. 5(4):371–404, 2000.
[21] Kim Yong Chun and Dang Van Hung (2004), "Verifying Real-Time Systems Us- ing Untimed Model Checking Tools", Technical Report 302,UNU-IIST, P.O.Box 3058, Macau, June 2004.
[22] E.M. Clarke and E.A. Emerson (1981), "Synthesis of Synchronization Skele- tons for Branching Time Temporal Logic", In Logic of Programs: Workshop, Yorktown Heights, NY, May 1981, Vol. 131, LNCS, Springer-Verlag, 1981.
91
[23] E.M. Clarke et al (1996), "Formal methods: state of the art and future direc- tions", ACM Computing Surveys, Vol. 28, No. 4, pp. 026–643, 1996.
[24] E.M Clarke, O. Grumberg, and D. Peled (1999), Model Checking, The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1999.
[25] Z. Dang, P.S. Pietro and R.A. Kemmerer (2001), "On Presburger Liveness of Discrete Timed Automata", LNCS, Vol. 2010, pp. 132–139, 2001.
[26] C. Daws, A. Olivero, S. Tripakis and S. Yovine (1996), "The tool KRONOS" In Hybrid System III: Verification and Control. LNCS 1066, Springer-Verlag, 1996, pp. 208–219.
[27] C. Daws, S. Tripakis (1998), "Model-Checking of Real-Time Reachability Prop- erties using Abstractions", Proceedings of 4th Int. Conf. Tools and Algorithms for the Construction and Analysis of Systems (TACAS’98), vol. 1384 of LNCS, Springer-Verlag, 1998, pp. 313–329.
[28] Li Xuan Dong and Dang Van Hung (1996), "Checking Linear Duration Invari- ants by Linear Prograzming", Research Report 70, UNU/IIST, P.O.Box 3058, Macau, May 1996. Published in Concurrency and Parallelism, Programming, Networking, and Security, Joxan Jaffar and Roland H. C. Yap (Eds.), LNCS 1179, Springer-Verlag, Dec 1996, pp. 321–332.
[29] Li Xuan Dong, Dang Van Hung and Zeng Tao (1997), "Checking Hybrid Au- tomata for Linear Duration", Research Report 109, UNU/IIST, P.O.Box 3058, Macau, June 1997. Published in R.K. Shamasundar, K. Ueda (Eds.) Advanced in Computing Sciences, LNCS 1345, Springer-Verlag, 1997, pp. 166–180.
[30] F. Demichelis and W. Zielonka (1998), "Controlled Timed Automata", Pro- ceedings of 9th Int. Conf. Concurrency Theory (CONCUR’98). LNCS 1466, Springer-Verlag, 1998, pp. 455–469.
[31] Do Tien Dung, Chris George, Hoang Xuan Huan, and Phung Phuong Nam (1998), "A Financial Information System", Technical Report 115, UNU-IIST, P.O.Box 3058, Macau, July 1997. Partly published in Requirements Targeting Software and Systems Engineering, LNCS 1526, Springer-Verlag, 1998.
[32] D. Garmaa and D. Van Hung (2000), "A Technique for Improvement of Model checking Linear Duration Invariants", Technical Report 191,UNU/IIST, P.O.Box 3058, Macau, March 2000.
[33] Q. Gollu, A. Puri and D. Varaiya (1994), "Discretization of timed automata", Proceedings of the 33rd IEEE conference on decision and control, pp. 957–958, 1994.
[34] R. Gerth, D. Peled, M.Y. Vardi, and P. Wolper (1995), "Simple on-the-fly automatic verification on linear temporal logic", Proc.IFIP/WG6.1 Symposium on Protocol Specfication, Testing, and Verification, Warsava, June 1995.
[35] M.R. Hansen and Z. Chaochen (1997), "Duration Calculus: Logical Founda- tions", Formal Aspects of Computing, 3:1-000, pp. 1-49, 1997.
[36] T. Henzinger, Z. Manna and A. Pnueli (1992), "What good are digital clock ?"
LNCS, vol. 623, Springer-Verlag, 1992, pp. 545–558.
[37] T. Henzinger, Z. Manna and A. Pnueli (1993), "Towards Refining Temporal Specications into Hybrid Systems",Hybrid Systems I, LNCS, vol. 736, Springer- Verlag, 1993.
[38] T.A. Henzinger, P.H. Ho and H. Wong-toi (1997), "HyTech: A Model Checker for Hybrid Systems", Journal of Software Tools for Technology Transfer, vol. 1(1–2):110–122, Oct. 1997.
[39] T.A. Henzinger, P.W. Kopke and H. Wong-toi (1995), "The Expressive Power of Clocks", Proceedings of22nd Int. Coll. Automata, Languages, and Program- ming (ICALP’95). LNCS 944, Springer-Verlag, 1995, pp. 335–346.
[40] T.A. Henzinger, O. Kupferman and M.Y. Vardi (1996), "A space-efficient on- the-fly algorithm for real-time model checking", Proceedings of the Seventh International Conference on Concurrency Theory (CONCUR), LNCS 1314, Springer-Verlag, 1996, pp. 814–529.
[41] T.A. Henzinger, J.F. Raskin, and P.Y. Bchobbens (1998), "The regular real- time languages", Proceedings of the 25th International Colloquium on Au- tomata, Languages, and Programming (IYALP), LNCS 1493, Springer-Verlag, 1998, pp. 580–591.
[42] J.E. Hopcroff and J.D. Ullman (1979), Introduction to Automata Theory, Lan- guages, and Computation, Addison-Wesley, 1979.
[43] Ho Van Huong and Dang Van Hung (2004), "Modelling Real-time Database Systems in Duration Calculus" Technical Report 260, UNU-IIST, P.O. Box 3058, Macau, September 2002. In the proceedings ofthe IASTED International Conference on Databases and Applications (DBA 2004), February 17–19, 2004, Innsbruck, Austria, M.H. Hamza (ed.), ACTA Press, pp. 37–42.
[44] Zhao Jianhua and Dang Van Hung (2000), "Checking Timed Automata for Some Discretisable Duration Properties", Technical Report 145, UNU/IIST, P.O.Box 3058, Macau, August 1998. Published in Journal of Computer Sci- ence and Technology, Vol. 15, No. 5, Sep. 2000, pp. 423–429.
[45] Y. Kesten, A. Pnueli, J. Sifakis, and S. Yovine (1994), "Integration Graphs: A Class of Decidable Hybrid Systems", Published in Hybrid Systems, LNCS 736, Springer Verlag, 1994, pp. 179–208.
[46] R.P. Kurshan (1994), "Computer-Aided Verification of Coordinating Pro- cesses", Princeton University Press, 1994.
93
[47] K.G. Larsen, F. Larsson, P. Pettersson and Wang Yi (2002), "Compact Data Structure and State-Space Reduction for Model Checking Real Time Systems",
Real-Time Systems - Kluwer Academic Publisher, 2002.
[48] K.L. McMillan (1993). Symbolic Model Checking: An Approach to the State Explosion Problem, Kluwer Academic, 1993.
[49] Florence Pagani (1996), "Partial orders and verification of real-time systems", In Bengt Jonsson and Joachim Parrow (Eds.). In Proc. Formal Techniques in Real-Time and Fault-Tolerante Systems, LNCS 1135, Springer-Verlag, 1996, pp. 327–346.
[50] J.P. Quille and J. Sifakis (1981), "Specification and Verification of Concurent System in CESAR", Proceedings of the 5th International Symposium on Pro- gramming, 1981, pp. 337–350.
[51] Manoranjan Satpathy, Dang Van Hung, and Paritosh K. Pandya (1998), "Some Results on The Decidabisity of Duration Calculus under Synchronous Interpre- tation", Research Report 86,UNU/IIST, P.O.Box 3058, Macau, December 1996. Proceedings of the 5th International Symposium on Formal Techniques in Real- Time and Fault-Tolerant Systems (FTRTFT’98), Lyngby, Denmark, September 1998, LNCS 1486, Springer-Verlag 1998, pp. 186–197.
[52] A. Schrijver (1986).Theory of Linear and Integer Programming, John Wiley& Sons, Chichester, 1986.
[53] Jens Ulrik Skakkebaek (1994), "Liveness and Fairness in Duration Calculus", In CONCUR’94: Concurrency Theory, edited by B. Jonsson and J. Parrow, Springer, LNCS vol. 836, 1994, pp. 283–298.
[54] J.U. Skakkebaek and P. Sestoft (1994), "Checking Validity of Duration Calculus Formulas", Report ID/DTH JUS 3/1. ProCoS II Projects, 1994.
[55] S. Tasiran, R. Alur, R.P. Kurshan, and R.K. Brayton (1996), "Verifying abstrac- tions of timed systems", Proceedings ofthe Seventh Conference on Concurrency Theory, LNCS 1119, 1996.
[56] D.V. Hung and P.H. Thai (1998), "On Checking Parallel Real-Time Systems for Linear Duration Invariants", In Proceedings ofInternational Symposium on Software Engineering for Parallel and Distributed Systems. Kyoto, Japan, April 1998. Bernd Kramer, Naoshi Uchihira, Peter Croll, Stefano Russo (eds.), IEEE Computer Society Press, pages 61-71.
[57] Pham Hong Thai (2003), "Checking Parallel Real-Time Systems for Temporal Duration Properties by Linear Programming", Journal of Sciences, VNU, Vol. 19, No. 4, 2003. pp. 49–72.
[58] Pham Hong Thai (2004), "On Discretisable Formulas in Duration Calculus",
[59] Pham Hong Thai and Dang Van Hung (2004), "Verifying Linear Duration Con- strains of Timed Automata", Presented at and published in the proceedings of
First International Colloqium on Theoretical Aspects of Computing ICTAC’04, Gui Yang, China, 22-24, September, 2004, LNCS 3407, pp. 295-309, Springer- Verlag, 2005.
[60] Nguyen Quoc Toan (1996), "An Example for the RAISE Development method: University School Administration", Technical Report 84, UNU-IIST, P.O.Box 3058, Macau, September, 1996.
[61] S. Tripakis, S. Yovine (2001), "Analysis of timed systems based on time- abstracting bisimulations", Formal Methods in System Design, Vol. 18, 2001, pp. 25–68. Kluwer Academic Publishers, Boston.
[62] M. Yannakakis and D. Lee (1997), "An Efficient Algorithm for Minimizing Real- Time Transition Systems", Formal Methods in System Design, vol. 11(2):113– 136, 1997.
[63] Li Yong and Dang Van Hung (2002), "Checking Temporal Duration Properties of Timed Automata", Technical Report 210,UNU/IIST, P.O.Box 3058, Macau, October 2001. Published in Journal of Computer Science and Technology, Vol. 17, No. 6, Nov. 2002. pp. 689–698.
[64] S. Yovine (1998), "Model-checking timed automata", In Lectures on Embedded Systems, G. Rozenberg and F. Vaandrager (Eds.). LNCS 1494, Springer-Verlag, 1998.
[65] F. Wang, A. K. Mok, and E. A. Emerson (1993), "Distributed Real-Time Sys- tem Specification and Verification in APTL", ACM Transactions on Software Engineering and Methodology, 2(3), October 1993, pp. 346-378.
Phụ lục
Phụ lục A. Bộ kiểm chứng mô hình LDP, LDI
Với mục đích minh hoạ các kết quả (thuật toán) trong luận án, phụ lục này chúng tôi mô tả bộ chương trình viết trên ngôn ngữ lập trình C/C++, dùng để kiểm chứng các công thức LDP, LDI. Để đơn giản trong biểu diễn dữ liệu, ôtômat được hạn chế với 2 đồng hồ {x, y} và chỉ xét các ràng buộc thời gian sơ cấp dạngx≤c và c≤x. Từ đó một phép chuyển được gán tương ứng với 4 số nguyên xa, xb, ya, yb biểu thị