Định nghĩa 2.1. Ôtômat thời gian là một bộ A =S, s0,Σ, X, I, E, ở đây:
• S là tập hữu hạn các vị trí,
• s0 ∈S là vị trí ban đầu,
• Σ là tập hữu hạn các kí hiệu,
• I là một ánh xạ gán mỗi vị trí s ∈ S với một ràng buộc đồng hồ trong
Φ(X), còn gọi là bất biến của s,
• E ⊆ S×Φ(X)×Σ×2X ×S là tập hữu hạn các phép chuyển vị trí.
Một phép chuyển vịtrí e= s, ϕ, a, λ, s biểu diễn một hoạt động cơ bản của ôtômat bằng cách chuyển vịtrí từ stới s với nhãna nếu điều kiện ϕ được thoả mãn. Tập λ⊆ X qui định đồng hồ nào được khởi tạo lại giá trị về 0 ngay sau khi phép chuyển này thực hiện xong.
Như thông thường, chúng ta có thể sử dụng đồ thịđể biểu diễn ôtômat thời gian. Các đỉnh của đồ thịđược gọi là các vị trí (location) và được gán một ràng buộc đồng hồ I(s) ∈ φ(X) thể hiện việc hệ thống được phép hoặc bắt buộc nằm tại vịtrí đó trong bao lâu.
Trạng thái và phép chuyển trạng thái
Một trạng thái của ôtômat thời gian A là cặp (s, ν) trong đó s là một vịtrí của A và ν |=I(s). Trạng thái (s0, ν0) với s0 là vịtrí ban đầu và ν0(x) = 0 với mọi x được gọi là trạng thái ban đầu.
Các trạng thái của ôtômat là thay đổi nếu 1 trong 2 thành phần của nó thay đổi, điều này dẫn đến 2 loại phép chuyển trạng thái sau:
• Phép chuyển liên tục: Ta nói hệ chuyển trạng thái từ q = (s, ν) đến
q = (s, ν +δ) bằng một phép chuyển liên tục và được kí hiệu q →δ q, nếu ν+δ |=I(s), ∀δ : 0≤ δ ≤δ, tức thời gian được thác triển liên tục từ ν đến ν +δ trong khi hệ vẫn nằm cố định tại vị trí s.
• Phép chuyển rời rạc: Ta nói hệ chuyển trạng thái từ q = (s, ν) đến
q = (s, ν[λ:= 0]) bằng một phép chuyển rời rạc và được kí hiệu q →a q, nếu tồn tại phép chuyển e=s, ϕ, a, λ, s sao cho ν |=ϕ và ν[λ := 0]|=
I(s). Tức hệ thống chuyển từ vịtrí s đến vịtrí s và đặt đồng hồ về 0. Các phép chuyển liên tục có tính cộng tính, tức nếu q →δ q và q →δ q
19
thì q δ→+δ q và phép chuyển rời rạc là tức thời. Trường hợp hai phép chuyển này xảy ra liên tiếp, ta cũng có thể kí hiệu: q →δ →a q hoặc q →δ,a q, tức (s, ν) →δ,a (s, ν). Kí hiệu này minh hoạ hệ thống nằm tại vịtrí s với thể hiện
ν, thời gian trôi một khoảng từ 0 đến δ, đến thời điểm này nếu thể hiện ν +δ
thoả ràng buộc của phép chuyển vịtrí thì hệ chuyển đến trạng thái mới s và một số đồng hồ trong ν +δ được đặt về 0, ν +δ chuyển thành ν.
Hình 2.2: Ôtômat thời gian.
Ví dụ 2.2. Ôtômat thời gian A trong hình 2.2 có hai đồng hồ x và y. Tập hợp các vị trí là {s1, s2}, cùng với các bất biến gồm I(s1) = (y ≤ 5) và
I(s2) = (x ≤ 8∧y ≤ 10). A có hai phép chuyển vị trí {s1, y ≥3, a,{y}, s2,
s2, x ≥6∧y ≥4, b,{x}, s1}. Đồng hồ y được đặt về 0 mỗi khi hệ chuyển từ
s1 đến s2 và ngược lại khi chuyển từ vị trí s2 về s1 đồng hồ x sẽ được đặt về 0.