1.2.1.Lịch sử phát triển
Phương pháp Monte Carlo là phương pháp đánh giá các đại lượng có tính chất xác suất của các quá trình ngẫu nhiên, thường được dùng để mô phỏng các quá trình vận chuyển phức tạp và rất khó mô hình hoá bằng các phương pháp
* Có nhiều khái niệm khác nhau về hiệu suất ghi bức xạ của detector [85], trong luận án này thuật ngữ "hiệu suất detector" dùng để chỉ hiệu suất tuyệt đối của detector là tỉ số giữa số xung được tạo ra bởi detector và số photon từ nguồn phát ra theo mọi hướng.
toán học giải tích. Cơ sở toán học của phương pháp Monte Carlo dựa trên hai tính chất quan trọng của lý thuyết xác suất và thống kê đó là luật số lớn đối với các đại lượng ngẫu nhiên và định lý giới hạn trung tâm [16]. Các biến cố riêng biệt có tính chất xác suất xảy ra trong một quá trình ngẫu nhiên sẽ được mô phỏng một cách tuần tự. Do số phép thử cần phải khá lớn cho nên quá trình mô phỏng được thực hiện bằng máy tính. Vì vậy phương pháp Monte Carlo* còn được gọi là công cụ toán học định hướng máy tính, rất hữu hiệu trong việc mô phỏng các quá trình tương tác hạt nhân, từ lúc hạt sinh ra cho đến khi kết thúc.
Năm 1772, Georges Louis Leclerc và Comte de Buffon đã sử dụng phương pháp Monte Carlo để tính số π bằng cách gieo ngẫu nhiên một cái kim khâu có độ dài
2
w trên một mặt phẳng có vạch các đường thẳng song song cách đều nhau
một khoảng w, được gọi là bài toán "cái kim khâu Buffon", khi đó xác suất để cái kim khâu nằm gọn trong rãnh giữa các đường thẳng song song là
π
1 [80, 81].
Năm 1850 tại Zurich, dựa theo mô tả bài toán "cái kim khâu Buffon" Wolff đã tiến hành thí nghiệm 50 lần, mỗi lần với 100 phép thử và đã xác định giá trị của số π là 3,1596 ± 0,0524 [24]. Đây chính là một trong những ứng dụng đầu tiên của phương pháp Monte Carlo, tuy nhiên sau đó nó ít được sử dụng vì phương pháp này đòi hỏi nhiều công sức và thời gian tính toán. Năm 1944, Enrico Fermi và John von Neumann đã áp dụng kỹ thuật lấy mẫu ngẫu nhiên để giải bài toán
* Thuật ngữ "phương pháp Monte Carlo" bắt đầu xuất hiện vào năm 1946 liên quan đến câu chuyện Nicholas Constantine Metropolis đề nghị đặt tên cho kỹ thuật lấy mẫu ngẫu nhiên đang sử dụng phổ biến lúc bấy giờ và cũng chính ông đã thông báo cho Stanislaw Marcin Ulam rằng người chú của Ulam đã mượn tiền từ những người bà con để đi Monte Carlo (Monaco), nơi có nhiều casino nổi tiếng, và kỹ thuật lấy mẫu ngẫu nhiên được đặt tên là phương pháp Monte Carlo kể từ đó. Tuy nhiên Emilio Segre cho rằng chính Enrico Fermi mới là người đầu tiên đưa ra dạng thức phương pháp Monte Carlo và áp dụng để nghiên cứu hiện tượng khuếch tán neutron trong thời gian làm việc tại Rome [99].
khuếch tán neutron bên trong các vật liệu phân hạch trong thời gian triển khai dự án Manhattan chế tạo bom nguyên tử. Với nhu cầu tính toán ngày càng tăng, các thế hệ máy tính điện tử mới ra đời thay cho loại máy tính cơ điện trước đó, kỹ thuật lấy mẫu ngẫu nhiên bằng máy tính điện tử trở nên thực tế hơn. Năm 1946, Stanislaw Marcin Ulam đã ứng dụng phương pháp Monte Carlo để giải các bài toán về hiện tượng khuếch tán neutron bên trong các vật liệu nhiệt hạch và phân hạch hoặc tính tích phân bằng phương pháp số trên máy tính điện tử [71, 99]. Cho đến nay phương pháp Monte Carlo đã và đang được sử dụng rộng rãi để giải quyết nhiều bài toán khoa học và kỹ thuật khác nhau [68]. Trong vật lý hạt nhân phương pháp Monte Carlo đã được sử dụng rộng rãi để mô hình hoá các cấu hình phức tạp nhằm mục đích giải các bài toán tương tác [40, 84, 100, 116].
1.2.2.Phương pháp Monte Carlo trong mô phỏng tương tác của photon với vật chất của chương trình MCNP4C2
Phương pháp Monte Carlo cho phép mô phỏng lần lượt từng photon riêng biệt đi xuyên qua thể tích hoạt động của detector. Các đại lượng vật lý tuân theo qui luật thống kê được lấy mẫu tương ứng theo một hàm phân bố xác suất thích hợp. Chẳng hạn, trong trường hợp nguồn điểm, hướng và điểm tới của tia gamma trên bề mặt detector được xác định bằng cách lấy mẫu ngẫu nhiên từ phân bố đồng dạng. Điểm tương tác của tia gamma trong thể tích hoạt động của detector được xác định bằng cách lấy mẫu ngẫu nhiên từ phân bố hàm mũ theo cường độ tia gamma. Cường độ tia gamma trong môi trường được mô tả theo một hàm số phụ thuộc vào hệ số hấp thụ tuyến tính toàn phần µt và bề dày lớp vật chất r:
r 0 t e I I= −µ (1.1) t t =Nσ µ (1.2) production pair . scatt son hom T . scatt Compton ric photoelect t =σ +σ +σ +σ σ (1.3)
Trong đó:
- I là cường độ tia gamma tại độ sâu r bên trong thể tích hoạt động của detector;
- I0 là cường độ tia gamma tại bề mặt detector; - N là mật độ nguyên tử;
- σt là tiết diện tương tác hiệu dụng toàn phần.
Đặt R là số ngẫu nhiên thuộc khoảng (0, 1) và thoả mãn công thức:
∫ ∫ ∞ µ − µ − = 0 r 0 r 0 r 0 dr e I dr e I R t t (1.4) Suy ra: (1 R) ln 1 r t − µ − = (1.5)
Nếu r vượt quá kích thước giới hạn phần thể tích hoạt động của detector thì tia gamma được xem như không tương tác và thoát khỏi detector. Còn nếu r nhỏ hơn kích thước giới hạn thì tia gamma được xem như trải qua một tương tác. Sau đó bản chất của tương tác được xác định bằng cách lấy mẫu theo các tiết diện tương tác tương ứng với các quá trình tương tác như hấp thụ quang điện, tán xạ Compton, tán xạ Thomson, tạo cặp* ... Hướng và năng lượng của tia gamma tán xạ sau đó lại được xác định bằng việc lấy mẫu theo các hàm phân bố xác suất thích hợp. Các sản phẩm con cháu (quang electron, electron vỏ K, tia X của quá trình quang điện; electron và tia gamma tán xạ của quá trình tán xạ Compton; electron, positron và các photon huỷ cặp của quá trình tạo cặp ...) sẽ tiếp tục tương tác bên trong thể tích hoạt động của detector cho đến khi năng lượng tia
gamma tới được hấp thụ toàn bộ hoặc hấp thụ một phần và một phần thoát khỏi thể tích hoạt động của detector. Phần năng lượng hấp thụ này sẽ được chuyển đổi thành xung điện áp với độ cao xung tỉ lệ tương ứng. Phân bố độ cao xung (pulse height distribution) theo năng lượng hay còn gọi là phổ gamma mô phỏng được lấy ra bằng thẻ truy xuất kết quả F8 của chương trình MCNP4C2. Ngoài ra do ảnh hưởng của ba hiệu ứng là sự giãn rộng thống kê số lượng các hạt mang điện, hiệu suất tập hợp điện tích và đóng góp của các nhiễu điện tử [85] làm cho các quang đỉnh của phổ gamma thực nghiệm có dạng Gauss. Do đó trong quá trình mô phỏng phổ gamma còn sử dụng lựa chọn GEB (Gaussian Energy Broadening) của thẻ FT8 trong chương trình MCNP4C2. Khi đó phổ gamma mô phỏng phù hợp tốt hơn với phổ gamma thực nghiệm. Dựa trên cơ sở phổ gamma mô phỏng này hiệu suất tính toán của detector được xác định bằng cách lấy số photon đóng góp trong đỉnh năng lượng toàn phần chia cho số photon phát ra từ nguồn theo mọi hướng và được trình bày chi tiết trong phần 2.4.2.
1.2.2.1. Mô hình tán xạ Compton (tán xạ không kết hợp)
Để mô hình quá trình tán xạ Compton điều cần thiết là phải xác định góc tán xạ θ (góc giữa phương chuyển động của photon tới và photon thứ cấp), năng lượng của photon thứ cấp E’ và động năng giật lùi của electron E - E’. Trong MCNP4C2 [35, 124], tiết diện tán xạ vi phân được tính theo công thức:
( α ξ) ξ= ( ν) (α ξ) ξ σinc Z, , d I Z, K , d (1.6) ( ) ∫ − ξ ξ α σ = σ 1 1 inc scatt. Compton Z, , d (1.7) Trong đĩ: ( ) ξ − ξ + α′ α + α α′ α α′ π = ξ ξ α, d r 1 d K 2 2 2
0 - công thức Klein - Nishina,
α và α’ lần lượt là năng lượng của photon tới và photon thứ cấp tính bằng đơn vị 0,511 MeV ( 2 ec m E =
α ), me là khối lượng electron, c là vận tốc ánh sáng, α′=α (1+α(1−ξ)) và ξ=cosθ.
Thừa số hiệu chỉnh I(Z,ν) sẽ làm giảm tiết diện tán xạ vi phân Klein- Nishina (tính cho một electron) theo hướng về phía trước đối với photon có E thấp và vật liệu có Z cao. Đối với vật liệu có Z bất kỳ, thừa số hiệu chỉnh I(Z,ν)
sẽ tăng từ I(Z,0)=0 đến I(Z,∞)=Z. Trong đó: θ =κα −ξ λ = ν 1 2 sin 1 , 2 h c m 10−8 e = κ = 29,1445 cm-1 (h là hằng số Planck). ξ=−1 → ν=νmax =κα 2 = 41,2166α. 1.2.2.2. Mô hình tán xạ Thomson (tán xạ kết hợp)
Trong tán xạ Thomson, chỉ có hướng của photon tới thay đổi, còn năng lượng của nó không thay đổi. Để mô hình tán xạ Thomson người ta chỉ tính góc tán xạ θ và quá trình vận chuyển tiếp theo của photon tán xạ. Trong MCNP4C2 [35, 124], tiết diện tán xạ vi phân được tính theo công thức:
( α ξ) ξ= ( ν) ( )ξ ξ σcoh Z, , d C2 Z, T d (1.8) ( ) ∫ − ξ ξ α σ = σ 1 1 coh scatt. son hom T Z, , d (1.9) Trong đĩ: ( )ξdξ=πr (1+ξ )dξ T 2 2
0 độc lập với năng lượng photon tới.
Thừa số hiệu chỉnh C2(Z,ν) sẽ làm giảm tiết diện tán xạ vi phân Thomson theo hướng tán xạ ngược đối với photon có E cao và vật liệu có Z thấp. Đối với vật liệu có Z bất kỳ, thừa số hiệu chỉnh C(Z,ν) sẽ giảm từ C(Z,0)=Z đến
(Z, ) 0
( i) 2
, Z
C ν có trong thư viện tiết diện tương tác của chương trình MCNP4C2. Trong
đó: θ =κα −ξ λ = ν 1 2 sin 1 , 2 h c m 10−8 e = κ = 29,1445 cm-1 (h là hằng số Planck). 1 − = ξ → ν=νmax =κα 2 = 41,2166α. 1.2.2.3. Hấp thụ quang điện
Trong hiệu ứng quang điện, năng lượng E của photon tới bị hấp thụ, phát ra một vài photon huỳnh quang và làm bật ra một electron quỹ đạo có năng lượng liên kết e < E và truyền cho electron động năng E−e. Trong MCNP4C2 [35, 124], hiệu ứng quang điện được mô tả theo một trong ba trường hợp như sau:
(1) Không có photon huỳnh quang nào năng lượng lớn hơn 1 keV được phát ra. Trong trường hợp này chỉ có hiện tượng các electron chuyển mức liên tiếp (cascade) để lấp đầy lỗ trống do electron quỹ đạo bị bật ra từ hiệu ứng quang điện hoặc hiệu ứng Auger. Vì không có photon huỳnh quang phát ra cho nên quá trình vận chuyển của photon được xem như kết thúc.
(2) Có một photon huỳnh quang năng lượng lớn hơn 1 keV được phát ra. Ở đây năng lượng photon huỳnh quang E′=E−(E−e)−e′=e−e′, E là năng lượng photon tới, E−e là động năng electron thoát, e’ là phần năng lượng kích thích dư sẽ bị tiêu tán bởi các quá trình Auger tiếp theo và được mô hình hoá bằng mode p e của chương trình MCNP4C2. Các chuyển đổi trạng thái sơ cấp nhờ năng lượng kích thích dư e’ sẽ đóng góp vào hiệu suất huỳnh quang toàn phần và phát ra các tia X như Kα1, (L3→K); Kα2, (L3→K); Kβ’1, (M→K); Kβ’2, (N→K).
(3) Có hai photon huỳnh quang có thể được phát ra nếu năng lượng kích thích dư e’ trong trường hợp (2) lớn hơn 1 keV. Electron có năng lượng liên kết e’’ có thể lấp đầy lỗ trống trên quỹ đạo của electron có năng lượng liên kết e’ và làm phát ra photon huỳnh quang thứ hai với năng lượng E′′=e′−e′′. Đến lượt
mình năng lượng kích thích dư e’’cũng sẽ bị tiêu tán bởi các quá trình Auger tiếp theo và được mô hình hoá bằng mode p e của chương trình MCNP4C2. Các chuyển đổi trạng thái thứ cấp này xảy ra khi các electron ở những lớp cao hơn chuyển về lớp L. Do đó các chuyển đổi trạng thái sơ cấp Kα1 hoặc Kα2 sẽ để lại một lỗ trống ở lớp L.
Mỗi photon huỳnh quang phát ra trong các trường hợp (2) và (3) được giả thiết là đẳng hướng và tiếp tục vận chuyển nếu E’, E’’ > 1 keV. Các năng lượng liên kết e, e’ và e’’ phải rất gần với mép hấp thụ tia X bởi vì tiết diện hấp thụ tia X thay đổi đột ngột tại các mép này.
1.2.2.4. Tạo cặp
Hiệu ứng tạo cặp xảy ra khi photon có năng lượng E > 1,022 MeV đi ngang qua trường lực hạt nhân. Trong MCNP4C2 [35, 124], hiệu ứng tạo cặp được mô tả theo một trong ba trường hợp như sau:
(1) Cặp electron - positron tạo thành sẽø tiếp tục di chuyển và mất dần năng lượng nhưng không phát ra các photon huỷ.
(2) Cặp electron - positron tạo thành với positron có động năng nhỏ hơn năng lượng kết thúc của electron sẽ không di chuyển và phát ra các photon huỷ.
(3) Cặp electron - positron tạo thành và phần năng lượng còn lại 2
0c m 2 E−
biến thành động năng cặp electron - positron được giữ lại tại điểm tương tác. Positron huỷ với electron tại điểm tương tác và tạo ra hai photon có cùng năng lượng 0,511 MeV nhưng có hướng ngược nhau.
1.2.3.Phương pháp Monte Carlo trong nghiên cứu hệ phổ kế gamma và các đặc trưng của detector
Trong nghiên cứu hệ phổ kế gamma và các đặc trưng của detector đã có nhiều công trình ứng dụng phương pháp Monte Carlo để mô phỏng và tính toán
phổ gamma đo trên các hệ phổ kế dùng detector nhấp nháy và detector bán dẫn*. Ban đầu các tác giả thường xây dựng chương trình máy tính riêng để tính toán đối với bài toán cụ thể của mình. Cho đến nay đã có nhiều chương trình máy tính đáng tin cậy dựa vào phương pháp Monte Carlo để tính toán hầu hết các tính chất đặc trưng của detector, thậm chí cho phép tiên đoán những thay đổi của các tính chất đặc trưng này, nổi bật trong số đó là các chương trình mô phỏng Monte Carlo như MCNP, DETEFF, GEANT, GESPECOR, CYLTRAN, EGS, PHOTON ... Ngày càng có nhiều công trình nghiên cứu ứng dụng các chương trình mô phỏng Monte Carlo nói trên để đánh giá các thông số đặc trưng của detector như xác suất hấp thụ photon toàn phần, hiệu suất tuyệt đối, hiệu suất đỉnh năng lượng toàn phần, hiệu suất đỉnh thoát kép, phân bố năng lượng theo độ cao xung, xác suất hấp thụ toàn phần do hiệu ứng quang điện sơ cấp, xác suất hấp thụ toàn phần của electron thứ cấp, năng lượng mất trung bình của electron thứ cấp, đánh giá sự thay đổi các thông số vật lý của detector ... Vấn đề quan trọng là khi ứng dụng các chương trình mô phỏng Monte Carlo này phải có bộ số liệu đầu vào về kích thước hình học cũng như cấu trúc và thành phần vật liệu được mô tả càng giống như thực tế càng tốt. Sự đúng đắn này được kiểm chứng bằng cách so sánh kết quả tính toán và số liệu thực nghiệm của các nguồn phóng xạ chuẩn. Sau đây là phần trình bày tóm tắt một số công trình khoa học tiêu biểu trên thế giới trong những năm gần đây ứng dụng phương pháp mô phỏng Monte Carlo để nghiên cứu detector nhấp nháy và bán dẫn, đáng chú ý là detector bán dẫn germanium siêu tinh khiết.
*Chúng tôi cũng đã xây dựng một chương trình mô phỏng Monte Carlo về tương tác của photon với vật chất bằng ngôn ngữ lập trình Turbo Pascal 7.0 để mô phỏng phổ gamma và nghiên cứu các đặc trưng của detector Ge(Li) [1].
a) Đối với detector nhấp nháy: Năm 1966, Snyder và Knoll [115] đã tính toán tỉ số photon hấp thụ toàn phần trong detector nhấp nháy hình giếng đối với