Sau khi tỡm hiểu và phõn tớch nội dung chƣơng trỡnh, chỳng tụi nhận thấy rằng học sinh hay mắc phải cỏc sai lầm trờn là do cỏc nguyờn nhõn sau:
- Khụng đủ thời gian để thực hiện nội dung bài giảng trong phạm vi số tiết học quy định, chƣơng trỡnh quỏ nặng so với thời lƣợng cho phộp.
- Một số giỏo viờn dạy học chƣa cú hệ thống cõu hỏi sỏt với nội dung bài học, cõu hỏi chƣa chớnh xỏc, chƣa chuẩn, chƣa tận dụng đƣợc kiến thức cũ để xõy dựng cỏc kiến thức mới để giỳp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản một cỏch hệ thống, theo mạch tƣ duy tốt để tạo tiền đề cho học sinh tớch cực hoạt động.
- Một số giỏo viờn dạy học chƣa tạo cỏc tỡnh huống cú vấn đề trong dạy học, khi học sinh giải bài tập sai nhƣng giỏo viờn chƣa thực sự xuất phỏt từ sai lầm của học sinh, để từ đú hƣớng dẫn, tổ chức đƣợc hoạt động, để từng bƣớc giỳp cỏc em vƣợt qua cỏc sai lầm khi giải một bài tập, giỳp cỏc em tớch lũy kinh nghiệm để trỏnh khụng mắc lại sai lầm, tự tin hơn trong học tập và cuộc sống sau này từ đú hỡnh thành nhõn cỏch sống.
- Việc tạo ra một tỡnh huống gợi vấn đề khụng phải là dễ dàng. Chớnh vỡ thế, trong thực tế dạy học ở trƣờng phổ thụng, giỏo viờn thƣờng chỉ mới dừng lại ở mức độ tạo ra tỡnh huống cú vấn đề chứ chƣa phải là tỡnh huống gợi vấn đề cho nờn chƣa phỏt huy tớnh tớch cực khắc sõu những sai lầm mà học sinh hay mắc phải.
- Chƣa cú kinh nghiệm điều khiển học sinh tự thực hiện hoặc hũa nhập vào quỏ trỡnh phỏt hiện và giải quyết vấn đề.
- Học sinh chƣa chủ động tỡm tũi, khỏm phỏ, nếu gặp dạng toỏn hơi lạ, đầu bài phức tạp thỡ bỏ, khụng làm, tạo thúi quen khụng tốt, mất sự tự tin vào năng lực của bản thõn.
- Học sinh cú thúi quen làm theo mẫu, theo cỏc dạng bài đó học và phƣơng phỏp đó tổng kết, cũn học thụ động, chƣa lĩnh hội kiến thức một cỏch tớch cực.
Qua nghiờn cứu cơ sở lớ luận, thực tiễn của để tài, tụi nhận thấy rằng việc giỳp học sinh phỏt hiện và giải quyết vấn đề theo hƣớng tớch cực húa trong giải bài tập bất phƣơng trỡnh là một việc làm hết sức quan trọng và cần thiết. Việc này đũi hỏi phải cú quỏ trỡnh lõu dài và tiến hành trong tất cả cỏc giờ dạy và học Toỏn, trong kiểm tra, đỏnh giỏ,… đúng vai trũ quan trọng trong đặc thự của bộ mụn Toỏn để hỡnh thành nhõn cỏch học sinh.
Vỡ vậy, cần vận dụng phƣơng phỏp phỏt hiện và giải quyết vấn đề trong dạy giải bất phƣơng trỡnh theo hƣớng tớch cực húa cho học sinh trung học phổ thụng là một việc làm rất cần thiết. Đõy là vấn đề mà tụi khụng chỉ giải quyết trong luận văn này mà cũn phải giải quyết trong thực tế giảng dạy.
Chƣơng 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TRONG DẠY HỌC “GIẢI BẤT PHƢƠNG TRèNH” THEO HƢỚNG TÍCH CỰC HểA HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THễNG.
2.1. Biện phỏp 1: Tạo tỡnh huống gợi vấn đề trong dạy học giải bất phƣơng trỡnh.
Cốt lừi của phƣơng phỏp dạy học phỏt hiện và giải quyết vấn đề là tạo ra tỡnh huống gợi vấn đề. Một số giỏo viờn nghĩ rằng dạy học phỏt hiện và giải quyết vấn đề tuy hay nhƣng dƣờng nhƣ cú ớt cơ hội thức hiện do khú tạo đƣợc những tỡnh huống gợi vấn đề. Để xúa bỏ những ấn tƣợng khụng đỳng đú, cú thể nờu lờn một số tỡnh huống gợi vấn đề một cỏch phổ biến, rất dễ gặp và dễ thiết lập. Để chỳng trở thành cỏc tỡnh huống “gợi vấn đề” thỡ, nhƣ đó núi trờn, cần phải đảm bảo rằng chỳng gợi ra ở học sinh nhu cầu nhận thức và niềm tin ở khả năng giải quyết vấn đề.
Chẳng hạn cú thể tạo ra những tỡnh huống gợi vấn đề theo cỏc cỏch sau đõy:
2.1.1. Dự đoỏn nhờ nhận xột trực quan và thực nghiệm.
Thật sai lầm nếu nghĩ rằng kiểu hoạt động quan sỏt, thực nghiệm chỉ phự hợp với học sinh Tiểu học và cỏc lớp đầu cấp Trung học cơ sở, cũn đối với bậc Trung học phổ thụng thỡ dạy học toỏn chỉ chỳ trọng vào việc rốn luyện khả năng suy luận và phƣơng phỏp tƣ duy cho họ.
Khụng ai phủ nhận rằng quỏ trỡnh dạy học toỏn qua từng bậc học phải từng bƣớc nõng cao yờu cầu về khả năng suy luận diễn dịch, từ đú phỏt triển tƣ duy logic cho học sinh. Thế nhƣng, đối với học sinh Trung học phổ thụng ta vẫn cú thể dựa vào cỏc hoạt động quan sỏt, thực nghiệm, quy nạp, vỡ hai lý do sau:
- Thứ nhất, về mặt sƣ phạm, cần tận dụng những hoạt động này vào mục đớch tạo ra tỡnh huống cú vấn đề, giỳp học sinh thấy đƣợc mối liờn hệ giữa toỏn học với thực tiễn, nắm đƣợc nghĩa của tri thức mà việc dạy học nhắm đến.
- Thứ hai, nếu nhỡn nhận bản chất của hoạt động toỏn học một cỏch toàn diện, thỡ quan sỏt, thực nghiệm, quy nạp, kiểm chứng, … cũng gúp phần quan trọng vào việc phỏt triển năng lực tƣ duy cho học sinh. Thật vậy, hoạt động toỏn học đũi hỏi nhiều năng lực: Xỏc định vấn đề cần giải quyết, phỏng đoỏn kết quả, kiểm chứng trờn cỏc vớ dụ, lập luận, trỡnh bày lời giải, kiểm tra kết quả nhận đƣợc, đỏnh giỏ tớnh thỏa đỏng của nú tựy theo vấn đề cần nghiờn cứu, v.v. Pha chứng minh, dự là pha cơ bản, ở chỗ nú đảm bảo tớnh chớnh xỏc cho kết quả, khụng phải là pha duy nhất của hoạt động toỏn học. Ngay cả với cỏc nhà toỏn học, hầu nhƣ trong mọi nghiờn cứu đều cú một pha thực nghiệm cho phộp hỡnh thành cỏc phỏn đoỏn, sau đú xem xột việc bỏc bỏ chỳng – bằng suy luận, mà cũng cú thể bằng thực nghiệm để tỡm một phản vớ dụ, nếu khụng thành cụng trong việc bỏc bỏ thỡ mới tỡm cỏch chứng minh. Nhƣ thế thỡ pha phỏng đoỏn, bỏc bỏ này cũng cần cú mặt trong hoạt động của học sinh, dự ở lứa tuổi nào, nếu ta mong muốn đào tạo năng lực khoa học, năng lực tự học cho họ.
Vớ dụ : Cỏc khẳng định sau đõy đỳng hay sai? Vỡ sao?
a)x + x > 0.
b) x – 1
Bằng quan sỏt và kiểm chứng giỳp học sinh nắm đƣợc định nghĩa hai bất phƣơng trỡnh tƣơng đƣơng. Hoạt động này giỳp học sinh thấy khi biến đổi một bất phƣơng trỡnh cần chỳ ý đến điều kiện xỏc định của bất phƣơng trỡnh đú.
(*)
Ta sẽ chứng minh bằng phƣơng phỏp quy nạp.
Với n=3 , ta cú =8 và 2n+1=2.3 +1=7. Rừ ràng 8>7, và do đú (*) đỳng khi n=3.
Giả sử (*) đỳng khi n=k , k nguyờn dƣơng, k , tức là ta sẽ chứng minh (*) cũng đỳng khi n=k+1 , tức là
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta cú
Vậy (*) đỳng với mọi số nguyờn dƣơng n
Qua bài tập này bằng phƣơng phỏp chứng minh quy nạp học sinh nhận thấy (*) đỳng với n=3 sẽ đỳng với n=4 sẽ đỳng với n=5 ...
Vớ dụ: Nhận xột lời giải Giải bất phƣơng trỡnh: Giải: x<
Nhận xột: Lời giải bài toỏn sai vỡ
- Học sinh quờn đặt điều kiện thỡ sẽ lấy nghiệm sai
- Cơ số 0<a= Bất phƣơng trỡnh đổi chiều . Lời giải đỳng:
Điều kiện:
Với điều kiện (*) ta đƣa bất phƣơng trỡnh về dạng:
17 Kết hợp với (*) ta cú nghiệm 1
Thụng thƣờng việc dạy học dựa vào pha quan sỏt, thực nghiệm đũi hỏi nhiều thời gian nờn khú thực hiện nú thƣờng xuyờn. Nhƣng để khắc phục điều này, cú thể tận dụng một số phần mềm dạy học.
2.1.2. Lật ngược vấn đề.
Vớ dụ: Tỡm để: thỏa
món
:
- Khụng yờu cầu giải và biện luận bất phƣơng trỡnh, lật ngƣợc vấn đề làm phong phỳ dạng bài tập
-
Điều kiện cần để bất phƣơng trỡnh thỏa mónvới mọi
+) bất phƣơng trỡnh ⇒ vụ nghiệm (khụng thỏa món mọi )
+) : bất phƣơng trỡnh ⇒ (thỏa món mọi )
Vậy với thỡ bất phƣơng trỡnh cú tập nghiệm là R
Vớ dụ : Tỡm để phƣơng trỡnh sau vụ nghiệm:
Giải:
- Khụng yờu cầu giải và biện luận bất phƣơng trỡnh, lật ngƣợc vấn đề làm phong phỳ dạng bài tập.
- Củng cố kiến thức cơ bản.
- Học sinh phỏt hiện nhiều cỏch giải hay. Cỏch 1:
(*)
(2) (1) :Vậy: (2) - <m<1 Kết luận : - <m<1 Cỏch 2: (*) 2m (1-t)=2- +) Nếu t=1 .PT (*) 0m=1 (Vụ lý) +) Nếu t 1 .PT (*) 2m= . Xột hai hàm số y=2m , y= . Cú ý= 1+ >0 Ta cú bảng biến thiờn: y
Dựa vào bảng biến thiờn để phƣơng trỡnh vụ nghiệm: : <m<1
2.1.3. Khỏi quỏt húa.
Vớ dụ: Sau khi học sinh cú khỏi niệm:Bất đẳng thức Cụ-Si đối với hai số khụng õm a và b
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b
t -2 2
ý + +
Giỏo viờn đặt vấn đề: “Liệu bất đẳng thức cú thể ỏp dụng trong trƣờng hợp khụng chỉ hai số khụng õm mà đối với n số khụng õm đƣợc khụng ? Tức là nếu cho n số khụng õm
thỡ cú đỳng khụng ?
Đẳng thức xảy ra khi nào ?”
Vớ dụ : Giải bất phƣơng trỡnh: (1) Giải: Tập xỏc định: D=R (1) + Nhận xột: Hàm số y=f(x)= là một hàm số đồng biến trờn R Vế phải: y= 1 là hàm số khụng đổi Mà f( )= Vậy bất phƣơng trỡnh:
Vậy bất phƣơng trỡnh cú nghiệm: N= [
Khỏt quỏt húa: Khi gặp bất phƣơng trỡnh dạng:
A + B + C (1) mà: (A, B, C R và Ta đặt ẩn phụ t= ⇒ và đƣa bất phƣơng trỡnh (1) về bất phƣơng trỡnh bậc hai đối với biến t .
Ngƣời học cú thể đứng trƣớc một tỡnh huống vấn đề nếu đƣợc yờu cầu giải một bài tập mà ngƣời đú chƣa biết thuật giải để giải trực tiếp. Vỡ khi học sinh đƣợc giao một bài tập mà ngƣời đú chƣa biết thuật giải để giải trực tiếp một vấn đề thỡ tức là tỡnh huống cú bao hàm một vấn đề. Vấn đề này gợi nhu cầu nhận thức và khơi dậy họ niềm tin vào khả năng huy động tri thức, kỹ năng vào bản thõn để giải quyết vấn đề, bởi vỡ kinh nghiệm từ quỏ trỡnh học tập cho họ thấy rằng, mỗi bài tập thầy ra đều dẫn đến một tri thức bổ ớch, hoặc giỳp củng cố một tri thức đó học hay rốn luyện một kỹ năng nào đú, và họ cũng thấy rằng khi giải những bài tập nhƣ vậy chỉ cần sử dụng những tri thức đó đƣợc học.
Tuy nhiờn, tỡnh huống này cú một số hạn chế sau đõy:
Thứ nhất, việc gợi nhu cầu giải quyết vấn đề và khơi dậy ở học sinh niềm tin vào khả năng huy động tri thức, kỹ năng của bản thõn cũn phụ thuộc vào quỏ trỡnh làm việc của thầy giỏo. Trong quỏ trỡnh dạy học, nếu thầy đó ra quỏ nhiều bài tập xa lạ đối với yờu cầu của chƣơng trỡnh, quỏ khú đối với đa số học sinh thỡ tỏc dụng gợi nhu cầu của và khơi dậy niềm tin vào khả năng huy động tri thức, kỹ năng của bản thõn học sinh trong tỡnh huống bài tập núi chung sẽ bị giảm sỳt hoặc khụng cũn. Trong trƣờng hợp đú, tỡnh huống này chƣa chắc đó là tỡnh huống gợi vấn đề.
Thứ hai, trong tỡnh huống này, núi chung vấn đề đƣợc nờu sẵn trong bài toỏn, học sinh ớt cú điều kiện rốn luyện khả năng phỏt hiện vấn đề.
Chớnh vỡ những hạn chế núi trờn, tỡnh huống này cần đƣợc sử dụng phối hợp cựng với cỏch tạo tỡnh huống khỏc nữa, và núi chung khụng thể tuyệt đối húa chỉ một cỏch tạo tỡnh huống nào đú để thực hiện dạy học phỏt hiện và giải quyết vấn đề.
Vớ dụ: Giải bất phƣơng trỡnh:
Giải:
Phƣơng phỏp: Phỏt hiện lời giải bài toỏn
Điều kiện để cỏc căn thức cú nghĩa: 0
Đặt x= với 0 . Ta cú: sin5t + t Do sin5t ≤ sin2t
t ≤ cos2t
nờn sin5t + t ≤ sin2t + cos2t = 1 với mọi t nờn bất phƣơng trỡnh cú nghiệm là mọi x .
Nghiờn cứu sõu phƣơng phỏp. Khỏc với cỏc biểu thức đại số bậc nguyờn khi mọi thừa số khỏc khụng, ta cú thể giảm ƣớc hoặc đặt thừa thừa số chung. Đối với biểu thức chứa căn, đặt biệt lƣu ý với biểu thức cú nghĩa.
Vớ dụ: Giải cỏc bất phƣơng trỡnh sau: -1>0
- Dựng định nghĩa phỏ dấu giỏ trị tuyệt đối đƣợc khụng ?
- Nhận xột bất phƣơng trỡnh đó cho , đề xuất phƣơng ỏn giải quyết (Dựng phƣơng phỏp đặt ẩn phụ ).
Giải:
Đặt
Bất phƣơng trỡnh và
Kết hợp với điều kiện ta đƣợc
Trong quỏ trỡnh tỡm lời giải bài toỏn ,thậm chớ trong quỏ trỡnh thực hiện giải bài toỏn ,ta cũng cú thể cú những phỏt hiện mới làm cho lời giải bài toỏn hay hơn
Vớ dụ : Giải bất phƣơng trỡnh : +
Giải:
Trong quỏ trỡnh tỡm lời giải bài toỏn, cú những phỏt hiện mới tạo ra nhiều cỏch giải bài toỏn.
Cỏch 1: Điều kiện: 2 ≤ x ≤ 4 Đặt y= . Tớnh y= . Cho y= 0 x-2=4-x x=3 Bảng biến thiờn ý y Vậy: y Mặt khỏc: y= x2-6x+11 Cú y=2x-6 .Cho ý=0 x=3 Bảng biến thiờn: x - 2 3 4 + 2 3 + 2 2 4
ý + 0 -
y 3 1
2
ậy: vế trỏi ≤ 2 ≤ vế phải, mọi
Vậy bất phƣơng trỡnh (*) x=3
Kết luận: Vậy bất phƣơng trỡnh đó cho cú nghiệm x=3
Cỏch 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunnhia-cốp-xki đối với 4 số. ,1 , ,1
Ta cú:
Vế trỏi2 ≤ 4 ⇒ vế trỏi ≤ 2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi = x=3 Vậy bất phƣơng trỡnh (*) cú nghiệm x=3 .
Vớ dụ: Giải bất phƣơng trỡnh:
Giải:
- Khi làm bài giải bất phƣơng trỡnh mũ , ta cú những phƣơng phỏp
cơ bản nào?
- Áp dụng cỏc phƣơng phỏp đú vào bài tập cụ thể này nhƣ thế nào?
Tập xỏc định: D=R
Bất phƣơng trỡnh này là bất phƣơng trỡnh mũ cú 6 cơ số. ⇒ Khụng đƣa đƣợc về 1 cơ số.
⇒ Phƣơng phỏp đặt ẩn phụ (loại)
Vế phải và vế trỏi ở dạng tổng. ⇒ Phƣơng phỏp logarit (loại)
Nhận xột: Suy ra: 1) Khi thỡ
Cộng từng vế với vế của cỏc bất đẳng thức trờn ta đƣợc là nghiệm. 2) Khi thỡ do tớnh chất của bất đẳng thức suy ra:
Suy ra: vế trỏi lớn hơn vế phải. Vậy trong trƣờng hợp này bất phƣơng trỡnh vụ nghiệm.
Kết luận: Bất phƣơng trỡnh cú nghiệm N=[0,+)
Vớ dụ: Cho phƣơng trỡnh: (*)
Định để phƣơng trỡnh cú bốn nghiệm phõn biệt
Giải:
Cỏch 1:
Cỏch 2: Bảng biến thiờn:
Số giao điểm của đƣờng thẳng biểu diễn với là số giao điểm
của phƣơng trỡnh .
Vậy phƣơng trỡnh cú bốn nghiệm khi .
2.1.5. Tỡm sai lầm trong lời giải.
Tỡnh huống mà học sinh đƣợc yờu cầu tỡm những sai lầm, khiếm khuyết trong một lời giải (cú thật hoặc hƣ cấu) do thầy đƣa ra là tỡnh huống
cú vấn đề, vỡ núi chung khụng cú thuật giải để phỏt hiện sai lầm, khiếm
khuyết. Sau khi phỏt hiện thấy sai lầm, khiếm khuyết, học sinh đứng trƣớc một nhiệm vụ nhận thức: tỡm nguyờn nhõn sai lầm và sửa chữa. Tỡnh huống đú thƣờng gõy cho người học niềm tin ở khả năng huy động tri thức, kỹ
1 2
0
năng sẵn cú của mỡnh, vỡ họ hiểu lời giải cú sai lầm chỉ liờn quan tới tri thức đó học. Để cú một tỡnh huống gợi vấn đề, giỏo viờn cũn phải làm sao cho tỡnh huống gợi nhu cầu nhận thức, gõy hứng thỳ ở học sinh.
Vớ dụ: Một bạn giải bất phƣơng trỡnh nhƣ sau: Tập xỏc định D=R*
Vỡ nờn
Lời giải đú đỳng hay sai ?
Vớ dụ: Một bạn giải bất phƣơng trỡnh
Giải: Điều kiện để cỏc căn thức cú nghĩa: