1.4.1. Nội dung kiến thức của chương trỡnh giải bất phương trỡnh trong chương trỡnh toỏn nõng cao trung học phổ thụng.
Chƣơng trỡnh toỏn nõng cao trung học phổ thụng về bất phƣơng trỡnh gồm cỏc kiến thức:
1) Đại cƣơng về bất phƣơng trỡnh.
2) Bất phƣơng trỡnh và hệ bất phƣơng trỡnh bậc nhất một ẩn. 3) Bất phƣơng trỡnh và hệ bất phƣơng trỡnh bậc nhất hai ẩn. 4) Bất phƣơng trỡnh bậc hai.
5) Một số phƣơng trỡnh và bất phƣơng trỡnh quy về bậc hai. 6) Bất phƣơng trỡnh mũ và lụgarit.
1.4.2. Mục tiờu của từng chủ đề về bất phương trỡnh trong chương trỡnh toỏn nõng cao trung học phổ thụng.
Từ nội dung kiến thức của chƣơng trỡnh giải bất phƣơng trỡnh trong chƣơng trỡnh toỏn nõng cao trung học phổ thụng đó trỡnh bày ở trờn, học xong phần này, học sinh phải đạt những yờu cầu sau đõy:
Chủ đề Mức độ cần đạt 1) Đại cƣơng về bất phƣơng trỡnh (1 tiết ) 2) Bất phƣơng trỡnh và hệ bất phƣơng trỡnh bậc nhất một ẩn ( 2 tiết) 3) Bất phƣơng trỡnh và hệ bất phƣơng trỡnh bậc nhất hai ẩn ( 2 tiết) Về kiến thức:
- Hiểu khỏi niệm bất phƣơng trỡnh.
- Hiểu khỏi niệm hai bất phƣơng trỡnh tƣơng đƣơng.
Về kỹ năng:
- Nờu đƣợc điều kiện xỏc định của bất phƣơng trỡnh đó cho.
- Biết cỏch xem xột hai bất phƣơng trỡnh cho trƣớc cú tƣơng đƣơng với nhau hay khụng.
Về kiến thức:
- Hiểu khỏi niệm bất phƣơng trỡnh bậc nhất một ẩn
Về kỹ năng:
-Biết cỏch giải và biện luận bất phƣơng trỡnh dạng
- Cú kĩ năng thành thạo trong việc biểu diễn tập
nghiệm của bất phƣơng trỡnh bậc nhất một ẩn trờn trục số và giải hệ bất phƣơng trỡnh bậc nhất một ẩn.
Về kiến thức:
- Hiểu khỏi niệm bất phƣơng trỡnh, hệ bất phƣơng trỡnh bậc nhất hai ẩn, nghiệm và miền nghiệm của nú.
Về kỹ năng:
- Biết cỏch xỏc định miền nghiệm của bất phƣơng trỡnh và hệ bất phƣơng trỡnh bậc nhất hai ẩn.
4) Bất phƣơng trỡnh bậc hai ( 2 tiết) 5) Một số bất phƣơng trỡnh quy về bậc hai ( 2 tiết) 6) Bất phƣơng trỡnh mũ và lụgarit (1 tiết )
- Biết cỏch giải cỏc bài toỏn quy hoạch tuyến tớnh đơn giản.
Về kiến thức:
Nắm vững cỏch giải bất phƣơng trỡnh bậc hai một ẩn, bất phƣơng trỡnh tớch, bất phƣơng trỡnh chứa ẩn ở mẫu thức và hệ bất phƣơng trỡnh bậc hai.
Về kỹ năng:
Giải thành thạo cỏc bất phƣơng trỡnh và hệ bất phƣơng trỡnh đó nờu ở trờn và giải một số bất phƣơng trỡnh đơn giản cú chứa tham số.
Về kiến thức:
Nắm vững cỏch giải cỏc bất phƣơng trỡnh(quy về bậc hai) chứa ẩn trong dấu giỏ trị tuyệt đối và một số bất phƣơng trỡnh chứa ẩn trong dấu căn bậc hai.
Về kỹ năng:
Giải thành thạo cỏc bất phƣơng trỡnh chứa ẩn trong dấu giỏ trị tuyệt đối và một số bất phƣơng trỡnh chứa ẩn trong dấu căn bậc hai.
Về kiến thức:
- Nắm vững cỏch giải cỏc bất phƣơng trỡnh mũ và lụgarit.
- Nắm vững cỏc tớnh chất của của hàm số mũ và hàm số lụgarit
của lụgarit.
Về kỹ năng:
- Giải thành thạo cỏc phƣơng phỏp giải bất phƣơng trỡnh mũ và lụgarit .
-Vận dụng đỳng, chớnh xỏc cỏc tớnh chất của của lũy thừa, tớnh chất của lụgarit vào giải bất phƣơng trỡnh mũ và lụgarit.
Bảng 1.1 Những điều cần lƣu ý:
- Củng cố kỹ năng xỏc định hợp và giao của cỏc khoảng, đoạn, nửa khoảng đó cho một cỏch thành thạo. Khi biểu diễn tập nghiệm của bất phƣơng trỡnh trờn trục số, thứ tự của cỏc điểm biếu diễn cỏc số là quan trọng,cũn khoảng cỏch giữa cỏc điểm ấy cú thể khụng nhất thiết phải theo một tỉ lệ nhất định.
- Định nghĩa bất phƣơng trỡnh tƣơng đƣơng: Hai bất phƣơng trỡnh (cựng ẩn) đƣợc gọi là tƣơng đƣơng nếu chỳng cú cựng tập nghiệm.
- Biến đổi tƣơng đƣơng cỏc bất phƣơng trỡnh. Cho bất phƣơng trỡnh f(x) < g(x) cú tập xỏc định D y =h(x) là một hàm số xỏc định trờn D.
Khi đú, trờn D bất phƣơng trỡnh f(x) < g(x) tƣơng đƣơng với mỗi bất phƣơng trỡnh.
+) f(x) + h(x) < g(x) + h(x)
+) f(x) . h(x) < g(x) . h(x) nếu h(x) > 0, với mọi x thuộc D +) f(x) . h(x) > g(x) . h(x) nếu h(x) < 0, với mọi x thuộc D
- Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất:
Nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b cựng dấu với hệ số a thỡ x lớn hơn nghiệm và trỏi dấu với hệ số a khi x nhỏ hơn nghiệm của nú.
- Định lý về dấu của tam thất bậc hai.
Cho tam thức bậc hai f(x) = a + bx + c ( a khỏc 0) Nếu <0 thỡ f(x) cựng dấu với hệ số a với mọi x thuộc R Nếu =0 thỡ f(x) cựng dấu với hệ số a với mọi x
Nếu >0 thỡ f(x) cú hai nghiệm ( ).Khi đú f(x) trỏi dấu với hệ số a với mọi x nằm trong khoảng( và f(x) cựng dấu với hệ số a với mọi x nằm ngoài đoạn [
* Vậy ta cú: Cho tam thức bậc hai: +). af(x) > 0 với mọi x 2
x b 4ac 0
. +). af(x) 0 với mọi x 2
x b 4ac 0
. - Cỏch giải bất phƣơng trỡnh cơ bản: +) +) hoặc +) hoặc +) |A| = |B| +) |A| + B < 0 hoặc - Ghi nhớ : +) Hàm số y=ax. (a>0 ,a )
* Cú tập xỏc định là R
* Tập giỏ trị là khoảng (0, )
* Đồng biến trờn R khi a>1, nghịch biến trờn R khi 0 < a < 1. * Cú đồ thị:
- Đi qua điểm (0;1)
- Nằm ở phớa trờn trục hoành
- Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang +) Cụng thức giải bất phƣơng trỡnh mũ : Nếu a>1 thỡ Nếu 0<a<1 thỡ +) Hàm số y= . (a>0 ,a ) * Cú tập xỏc định là (0, ) * Tập giỏ trị là khoảng R
* Đồng biến trờn (0, ) khi a>1, nghịch biến trờn (0, ) khi 0 < a < 1.
* Cú đồ thị:
- Đi qua điểm (1;0)
- Nằm ở bờn phải trục tung.
- Nhận trục tung làm tiệm cận đứng. +) Cụng thức giải bất phƣơng trỡnh lụgarit :
Nếu a>1 thỡ 0< .
Nếu 0<a<1 thỡ
1.4.3. Thực trạng dạy và học giải bất phương trỡnh ở trung học phổ thụng hiện nay.
1.4.3.1. Mục đớch điều tra.
- Tỡm hiểu phƣơng phỏp dạy của giỏo viờn, phƣơng phỏp học của học sinh trong dạy học giải bất phƣơng trỡnh trong chƣơng trỡnh toỏn nõng cao ở trung học phổ thụng.
- Tỡm hiểu những khú khăn của giỏo viờn và học sinh trong quỏ trỡnh dạy học giải bất phƣơng trỡnh trong chƣơng trỡnh toỏn nõng cao ở trung học phổ thụng.
- Tỡm hiểu những sai lầm phổ biến của học sinh khi giải cỏc bài tập bất phƣơng trỡnh.
- Trờn cơ sở đú tụi đề xuất nguyờn nhõn của cỏc khú khăn, sai lầm để làm cơ sở cho việc soạn một số bài dạy giải bài tập bất phƣơng trỡnh bằng việc vận dụng phƣơng phỏp phỏt hiện và giải quyết vấn đề theo hƣớng tớch cực húa.
1.4.3.2. Phương phỏp điều tra.
Để thực hiện mục đớch trờn, chỳng tụi đó tiến hành :
- Điều tra giỏo viờn: Trao đổi trực tiếp với giỏo viờn, dự giờ dạy thực của giỏo viờn .
+ Trao đổi với cỏc giỏo viờn THPT Lờ Quý Đụn-Hải phũng.
+ Dự cỏc tiết dạy mụn Toỏn kiểm tra chuyờn mụn, dạy cỏc bài khú, dự giờ hàng tuần theo qui định của Bộ giỏo dục và đào tạo của cỏc giỏo viờn ở trƣờng THPT Lờ Quý Đụn - Hải Phũng.
- Điều tra học sinh: Trao đổi trực tiếp với cỏc học sinh khối 10, khối 11, khối 12 của trƣờng Lờ Quý Đụn - Thành phố Hải Phũng.
1.4.3.3 Kết quả điều tra
- Tỡnh hỡnh dạy học của giỏo viờn trƣờng THPT Lờ Qỳy Đụn + Ƣu điểm:
* Trƣờng nằm trong quận Hải An, thành phố Hải Phũng cho nờn cú điều kiện về cơ sở vật chất, trang thiết bị dạy học, cú đủ phũng học mỗi lớp một lớp: Học chớnh khúa buổi sỏng, buổi chiều học sinh học phụ đạo và sinh hoạt tập thể, tạo điều kiện mụi trƣờng tốt cho hoạt động dạy và học.
* Phũng học trang bị mỏy chiếu tạo điều kiện cho giỏo viờn giảng dạy giỏo ỏn điện tử, nối mạng Internet giỳp giỏo viờn và học sinh học tập và chia sẻ thụng tin, kinh nghiệm và học sinh tiếp cận với trang thiết bị hiện đại để cú nhiều cỏch học.
* Nhà trƣờng đạt chuẩn quốc gia, cú nề nếp dạy và học, tập thể nhà trƣờng đoàn kết.
* Hiệu trƣởng, ban giỏm hiệu trẻ nhiệt tỡnh, quản lý tốt.
* Trƣờng tham gia đầy đủ cuộc thi chọn học sinh giỏi cấp thành phố và đạt giải cao mụn Toỏn trong cuộc thi học sinh giỏi thành phố.
* Cỏc thầy, cụ giỏo dạy bộ mụn Toỏn cú trỡnh độ đạt chuẩn và trờn chuẩn. Đƣợc tập huấn nõng cao trỡnh độ hàng năm theo chủ trƣơng của Bộ giỏo dục và đào tạo. Cú nhiều giỏo viờn cú kinh nghiệm lõu năm, cú năng lực, yờu nghề, hằng năm cú nhiều giỏo viờn đạt dạy giỏi cấp thành phố.
* Cỏc thầy, cụ giỏo cú nghiệp vụ sƣ phạm tốt, theo phƣơng hƣớng gợi mở vấn đề cựng giỳp học sinh biết sửa chữa sai lầm khi ỏp dụng cỏc kiến thức ấy. Cựng với đặc thự của mụn Toỏn, hầu hết giỏo viờn cú hệ thống bài tập phỏt triển tƣ duy tốt, sử dụng phƣơng tiện dạy học hợp lý để túm tắt ý chớnh, mụ tả, giỳp học sinh định hƣớng, phỏt huy đƣợc tớnh tớch cực của học sinh, khụng lạm dụng trỡnh chiếu giỳp học sinh biết phỏt hiện lời giải và giải quyết bài toỏn, động viờn học sinh tớch cực học tập .
+ Nhƣợc điểm:
* Theo tinh thần phõn ban ở bậc phổ thụng trung học, thỡ nội dung chƣơng trỡnh mụn Toỏn nõng cao nhằm mục đớch cung cấp cho học sinh cỏc kiến thức thiết yếu, phục vụ cho việc học tập cỏc mụn khoa học tự nhiờn ở bậc phổ thụng trung học, cựng việc định hƣớng lựa chọn ngành nghề hẹp khi tiếp tục ở bậc đại học, cao đẳng. Nhƣ vậy, tốt nghiệp trung học phổ thụng, học sinh cú thể tiếp tục theo học cỏc ngành kĩ thuật, y học, húa học,… Dĩ nhiờn cú cỏc học sinh sẽ học ngành Toỏn học, Vật lý lý thuyết,… Nhƣng số đú chỉ chiếm một tỉ lệ rất nhỏ. Nhƣng một số thầy, cụ giỏo lý tƣởng húa về năng lực, trỡnh độ của học sinh (Ban nõng cao) đặt một yờu cầu quỏ cao so với yờu cầu mức độ của chƣơng trỡnh.
* Cũn cú nhiều giỏo viờn trẻ, kinh nghiệm cũn ớt, khả năng phản ứng sƣ phạm xử lý trong giờ dạy chƣa tốt, hệ thống cõu hỏi chƣa rừ, chƣa chuẩn xỏc, chƣa cú điểm dừng để học sinh tƣ duy, chƣa cú kinh nghiệm sửa sai lầm cho học sinh khi học sinh làm sai bài tập, chỉ ra kiến thức sai và giỳp học sinh rỳt kinh nghiệm lần sau, nhƣng cỏc đồng chớ đú cú sức khỏe, nhiệt tỡnh, cú năng lực, cú tinh thần tự học, trau dồi kiến thức và cú năng lực sử dụng cụng nghệ, kỹ thuật hiện đại trong dạy học: Nhƣ giỏo ỏn điện tử, sử dụng PowerPoint để giảng dạy.
* Bài soạn của giỏo viờn đều cú sự phõn loại cỏc dạng bài tập, từ dễ đến khú, phõn chia cỏc loại bài tập để ỏp dụng cỏc phƣơng phỏp khỏc nhau. Qua việc xem giỏo ỏn giảng dạy của cỏc giỏo viờn, chỳng tụi nhận thấy hầu hết cỏc giỏo viờn chỉ giải túm tắt bài tập mà khụng cú phần hƣớng dẫn hoạt động giải bài tập cho học sinh. Chƣa soạn dự đoỏn một số cỏch giải của học sinh, chƣa soạn dự đoỏn
những sai lầm mà học sinh sẽ mắc phải, cho nờn chƣa thật chủ động trong quỏ trỡnh lờn lớp.
- Tỡnh hỡnh học tập của học sinh. + Ƣu điểm:
* Học sinh cú xu hƣớng theo học những mụn tự nhiờn, do vậy khụng quỏ mự mờ về mụn Toỏn, tức là đó nắm đƣợc cỏc kiến thức Toỏn học trong chƣơng trỡnh trung học cơ sở.
* Do cú nhu cầu thi đại học nờn học sinh rất chỳ trọng, tập trung thời gian và cụng sức vào bộ mụn Toỏn.
* Đƣợc tạo điều kiện học tập, gia đỡnh quan tõm, chăm súc.
* Nhanh nhẹn, thớch ứng nhanh với sự phỏt triển của khoa học kỹ thuật.
* Cú sức khỏe.
* Trong cỏc kỳ kiểm tra 45 phỳt, học kỳ mụn Toỏn đều đạt 95 trờn trung bỡnh.
* Học sinh đạt giải cao trong cỏc kỳ thi học sinh giỏi cấp thành phố.
* Cú ý thức học tập, xỏc định đƣợc mục tiờu học tập. + Nhƣợc điểm:
* Đa số học sinh cú phƣơng phỏp suy nghĩ chớnh xỏc và linh hoạt, tuy nhiờn cú học sinh học thụ động, lƣời suy nghĩ, thƣờng đợi giỏo viờn gợi ý, dẫn dắt cỏch giải rồi mới trỡnh bày từng bƣớc theo hƣớng dẫn của thầy cụ.
* Một số học sinh cũn khú khăn khi làm bài tập, khụng biết bắt đầu từ đõu, khụng phõn biệt đƣợc giả thiết và kết luận, phƣơng hƣớng giải quyết bài tập mặc dự cú sự gợi ý của giỏo viờn nhƣng chƣa liờn hệ kiến thức đó cú với kiến thức cần giải quyết.
* Một số học sinh cú làm bài tập nhƣng làm sai do cũn mắc những sai lầm cơ bản về kiến thức và kỹ năng .
- Khú khăn và sai lầm của học sinh gặp phải khi giải bài tập bất phƣơng trỡnh.
Thụng qua kết quả tỡm hiểu tỡnh hỡnh dạy học cụ thể ở trƣờng phổ thụng và kinh nghiệm dạy học của nhiều giỏo viờn, tụi thấy học sinh thƣờng mắc phải cỏc khú khăn và sai lầm khi giải cỏc bài tập bất phƣơng trỡnh nhƣ sau:
+ Chƣa nắm vững cỏc kiến thức cơ bản.
Một số học sinh đƣợc hỏi đều cho rằng đõy là phần khú nhất, với cỏc ký hiệu đó đƣợc học ở trung học cơ sở, nhƣng cú một số học sinh chƣa nắm vững cỏc quy tắc biến đổi bất phƣơng trỡnh .
Vớ dụ: Với quy tắc
nhiều học sinh núi rằng
Đú là một sai lầm về lụgic, sai lầm về nhận thức.
Vớ dụ: Khi cho học sinh lớp 12A4 trƣờng PTTH Lờ Quý Đụn làm bài kiểm tra sau:
Đề bài
Giải bất phƣơng trỡnh sau:
Lớp Sĩ số Số học sinh khụng làm đƣợc Tỷ lệ %
12A4 46 10 21,7
Phõn tớch : Bất phƣơng trỡnh cú TXĐ : D= học sinh chƣa nắm vững kiến thức cơ bản, cú những sai lầm :
Thứ nhất:
nhƣng nhiều học sinh trỡnh bày . Thứ hai:
nhƣng nhiều học sinh trỡnh bày . + Khụng tỡm đƣợc lời giải bài toỏn.
Vớ dụ: Khi cho học sinh lớp 12A13, trƣờng PTTH Lờ Quý Đụn làm bài kiểm tra sau:
Đề bài
Giải bất phƣơng trỡnh sau: <
Lớp Sĩ số Số học sinh khụng làm đƣợc Tỷ lệ %
12A13 46 9 19,5
Bảng 1.3
Học sinh khụng phỏt hiện cỏch giải, mối liờn hệ giữa hai cơ số
. Từ đú đƣa bất phƣơng trỡnh về cựng cơ số, suy ra cỏch giải.
Tuy nhiờn cú những học sinh phỏt hiện cỏch giải nhƣng giải quyết bài toỏn sai
< là sai vỡ cơ số 0< .
Vớ dụ: Khi cho học sinh lớp 12A7, trƣờng PTTH Lờ Quý Đụn làm bài kiểm tra sau:
Đề bài
+ 1) + ( + 1)
Lớp Sĩ số Số học sinh khụng làm đƣợc Tỷ lệ %
12A7 46 21 45,6
Bảng 1.4
Khi trụng thấy đề bài học sinh cảm thấy phức tạp, rắc rối và ngại làm nờn bỏ qua, rất nhiều học sinh khụng làm bài tập này. Nhƣng bài tập này khụng khú, theo trỡnh tự ta tỡm.
TXĐ D=
Kiểm tra x=1 , x=3 cú thỏa món bất phƣơng trỡnh khụng ? suy ra kết luận.
Vớ dụ: Khi cho học sinh lớp 12A5, trƣờng PTTH Lờ Quý Đụn làm bài kiểm tra sau:
Đề bài: Cho bất phƣơng trỡnh :
-2(m+1) -2m -3 > 0 (*) trong đú m là tham số thực Tỡm m để bất phƣơng trỡnh (*) luụn luụn đỳng với mọi số thực x
Giải
Tập xỏc định: D= .
Đặt =t (t>0) bất phƣơng trỡnh (*) m< . Để bất phƣơng trỡnh (*) luụn luụn đỳng với mọi số thực x cần m
Vậy với m bất phƣơng trỡnh (*) luụn luụn đỳng với mọi số thực x Lớp Sĩ số Số học sinh khụng làm đƣợc Tỷ lệ %
12A5 46 40 86,9
Học sinh chƣa tỡm hiểu nội dung đề bài. * Đõu là cỏi phải tỡm?
* Cỏi đó cho?
Học sinh chƣa tỡm cỏch giải.
* Học sinh chƣa tự trả lời cõu hỏi: Đó gặp bài toỏn này lần nào hay chƣa? Hay đó gặp bài toỏn này ở một dạng hơi khỏc? Cú phƣơng phỏp nào để giải quyết vấn đề này khụng?
* Học sinh chƣa nhớ lại một bài toỏn quen thuộc cú cựng cỏi chƣa