V/ CÁC CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT: 1)Cơng thức cộng:
1) Theo bạn thì cơng thức nào đúng?
2) Hãy chứng minh cơng thức đúng 1 cách“đường đường, chính chính”, nghĩa là đúng cho “đường đường, chính chính”, nghĩa là đúng cho biến cố bất kỳ chứ hổng phải chỉ đúng qua 1 thí dụ cá biệt? 195 195 Giải: 1)= {1,2,3,4,5,6} A1= {1,2} , A2= {3,4,5,6}, B= {2,3,4}, C= {2} P(C)=1/6 P(A1/B)= P(A1B) / P(B)= (1/6) / (3/6)= 1/3 P(A2/B)= P(A2B) / P(B)= (2/6) / (3/6)= 2/3 P(C/A1B)= P(CA1B) / P(A1B)= (1/6) / (1/6)= 1 P(C/A2B)= P(CA2B) / P(A2B)= 0 / (2/6)= 0 Ta cĩ:P(A1/B)P(C/A1B)+P(A2/B)P(C/A2B) = (1/3)(1)+(2/3)(0)=1/3
P(C/B)= P(CB)/P(B)= (1/6) / (3/6)=1/3
2) Bạn hãy tự chứng minh, đây là 1 bài tập rất thi vị! 196196
TĨM LẠI:
Ta cĩ định nghĩa xác suất của biến cố theo cổ điển Các cơng thức tính xác suất:
Cơng thức cộng
Cơng thức xác suất cĩ điều kiện
Cơng thức nhân
Cơng thức xác suất đầy đủ
197197 197 Tuy nhiên trong bài tập người ta khơng nỡ để các dạng tốn này một cách “cơ đơn, buồn chán”. Thường người ta “hợp hơn” nhiều cơng thức tính xác suất trong một bài tốn. Điều này địi hỏi ta phải biết phân biệt khi nào thì nên dùng cơng thức nào, cách kết hợp các cơng thức này như thế nào, … và cịn hơn thế nữa!
Sự “hợp hơn” này cĩ “hồn hảo” hay khơng là do ta cĩ “khéo tay hay làm” khơng!
198198 198 BAØI TẬP
Bài tập 1:
Hộp cĩ 4 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng. Lấy ra 2 bi từ hộp. Tính xs lấy được 2 bi T trong 3 cách lấy sau:
a) C1: Lấy ngẫu nhiên 2 bi (lấy 1 lần 2 bi) b) C2: Lấy lần lượt 2 bi (khơng hồn lại) c) C3: Lấy cĩ hồn lại 2 bi 199 199 HDBT1: A= bc lấy được 2 bi T a) P(A)= C(2,3) / C(2,7)= 3/21 b) P(A)= P(T1.T2) = P(T2/T1)P(T1) = (3/7).(2/6) = 6/42 = 3/21 c) Do chọn cĩ hồn lại nên ở lần chọn thứ 2 ta cũng cĩ giả thiết y như ở lần chọn 1 (Hộp cĩ 7 bi , cĩ 4 bi đỏ, 3 bi trắng)T1 và T2 độc lập
P(A)= P(T1.T2) = P(T1).P(T2) = (3/7).(3/7)= 9/49 Nhận xét: câu a và b cĩ xác suất bằng nhau.
200200 200
Nhận xét BT1 (Dành cho Cao thủ nội cơng thâm hậu):
Ta tính xác suất P(A) theođịnh nghĩa cổ điển: Nếu lấy ngẫu nhiên 2 bi: P(A)= |A|/|| = 3/21 Nếu lấy lần lượt 2 bi: P(A)= |A|/|| = 6/42 = 3/21 Nếu lấy cĩ hồn lại 2 bi: P(A)= |A|/|| = 9/49
Với C1 và C2 thì mặc dù || khác nhau nhưng xác suất vẫn bằng nhau.
BT:
Với A là biến cố ngẫu nhiên bất kỳ, cmr P(A) theo C1 và C2 luơn bằng nhau.
BT1: TÍNH XS LẤY ĐƯỢC2 BI TRẮNG?
201
Lấy n bi trong N bi Cách 2 Cách 3 Sai số Lấy 2 bi trong 7 bi, trong 7
bi cĩ 3 bi T 0.142857 0.183673 -0.040816 Lấy 2 bi trong 70 bi, trong
70 bi cĩ 30 bi T 0.180124 0.183673 -0.003549 Lấy 2 bi trong 700 bi, trong
700 bi cĩ 300 bi T 0.183323 0.183673 -0.000350 Lấy 2 bi trong 7000 bi,
trong 7000 bi cĩ 3000 bi T 0.183638 0.183673 -0.000035
ỨNG DỤNG NHẬN XÉT BAØI TẬP1
Hộp cĩ 5 bi T, 3 bi X, 4 bi V. Lấy lần lượt 4 bitừ hộp. Tính xác suất lấy được 2 bi T, 1 bi X và từ hộp. Tính xác suất lấy được 2 bi T, 1 bi X và 1 bi V. Đáp số: 8/33 202 203 203 Bài tập 2 (Dành tặng chị em phụ nữ!):
Một người thỏa thuận vớivợ sắp cướinhư sau: Anh ta chỉ cần cĩ con trai, và nếu vợ anh sanh cho anh được 1 đứa con trai thì lập tức dừng lại liền, khơng sinh nữa. Giả sử 1 người phụ nữ cĩ thể sinh tối đa n lần, và xác suất sinh con trai ở mỗi lần sinh là ½ (khả năng sinh con trai ở các lần sinh khơng ảnh hưởng đến nhau).
a) Hỏi khả năng anh này cĩ con trai là bao nhiêu? b) Hỏi n phải là bao nhiêu để khả năng anh này cĩ
con trai >=99% ? 204204
a) Gọi Ti= bc sinh con trai ở lần sinh i Gi= bc sinh con gái ở lần sinh i T= bc anh này cĩ con trai T= T1+G1T2+G1G2T3+...+G1G2...Gn-1Tn P(T)= P(T1+G1T2+G1G2T3+...+G1G2...Gn-1Tn) = P(T1)+P(G1T2)+...+P(G1G2...Tn) = P(T1)+P(G1)P(T2) +...+P(G1)P(G2)...P(Tn) = ½ +( ½ ).( ½ )+...+( ½ )n = 1-( ½ )n Ta thấy P(T)<1 b) P(T)= 1-( ½ )n>= 0,99 0,01>=( ½ )n n>= ln(0,01) / ln(½)n>= 6,644 Vậy n>=7 , đáng để chị em suy nghĩ !!
Từ đây trở đi khi con trai nĩi, con gái xin 10 phút để
BT3:
Máy tự động sản xuấtra sản phẩm cĩ tỷ lệ sản phẩm loại A là 85%, tỷ lệ sản phẩm loại B là 15%. Sản phẩm sản xuất ra đi quamáy phân loại(PL) tự động, máy PL nhận đúng sản phẩm loại A với tỷ lệ 90%,
nhận đúngsản phẩm loại B với tỷ lệ 80%. 205
BT3:
1) Tính xác suất 1 sản phẩm đi qua máy PL thì bị nhận nhầm?
2a) Biết rằng máy PL kết luận 1 sản phẩm là loại A, tính xác suất nĩ đúng là loại A?
2b) Biết rằng máy PL kết luận 1 sản phẩm là loại A, tính xác suất nĩ là loại B?
3a) Biết rằng máy PL kết luận 1 sản phẩm là loại B, tính xác suất nĩ đúng là loại B?
3b) Biết rằng máy PL kết luận 1 sản phẩm là loại B, tính xác suất nĩ là loại A?
206
GIẢI: A= biến cố sản phẩm sản xuất ra là loại A B= biến cố sản phẩm sản xuất ra là loại B 1) F= biến cố sản phẩm bị máy PL nhận nhầm P(F)= P(F/A)P(A)+P(F/B)P(B)
= (0,1)(0,85)+(0,2)(0,15)
2a) F= bc sản phẩm được máy PL kết luận là loại A P(F)= P(F/A)P(A)+P(F/B)P(B)
= (0,9)(0,85)+(0,2)(0,15)
P(A/F)= P(F/A)P(A) / P(F) 207
GIẢI:
2b) P(B/F)= P(F/B)P(B) / P(F)
3a) F= bc sản phẩm được máy PL kết luận là loại B P(F)= P(F/A)P(A)+P(F/B)P(B)
= (0,1)(0,85)+(0,8)(0,15) P(B/F)= P(F/B)P(B) / P(F) 3b) P(A/F)= P(F/A)P(A) / P(F)
209
BT4: Mối liên hệ giữa 2 lần lấy bi trong cùng 1 hộp Cĩ 3 hộp loại 1, 5 hộp loại 2, 4 hộp loại 3. Hộp loại 1
cĩ 3 bi T và 4 bi X, hộp loại 2 cĩ 5 bi T và 3 bi X, hộp loại 3 cĩ 4 bi T và 2 bi X. Chọn ngẫu nhiên một hộp (trong 12 hộp) rồi từ hộp đĩ lấy NN 1 bi thì được bi T. Cũng từ hộp đã chọn lấy NN tiếp 1 bi nữa. Tính xác suất bi lấy ra lần 2 là bi T?
HD:
Vẽ sơ đồ liên hệ giữa các xs đã tính ở lần 1 và lần 2, rồi dùng cơng thức:
P(F/B)=P(F/A1B).P(A1/B)+…+P(F/A3B).P(A3/B)
P(B)=P(B/A1).P(A1)+…+P(B/A3).P(A3) P(A1/B)= P(B/A1)P(A1) / P(B)
F= bc lấy được bi T lần 2, B= bc lấy được bi T lần 1 P(A1)= 3/12 ; P(A2)= 5/12 ; P(A3)= 4/12 210
BT5: Mối liên hệ giữa 2 lần lấy sp trong cùng 1 lơ hàng Cĩ 2 lơ hàng cĩ rất nhiều sản phẩm. Tỷ lệ sản phẩm tốt của từng lơ lần lượt là 90%, 70%. Chọn ngẫu nhiên 1 lơ rồi từ lơ đĩ lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm thì được sản phẩm tốt. Trả lại sản phẩm đĩ vào lơ đã chọn, rồi cũng từ lơ đĩ lấy tiếp 1 sản phẩm nữa. Tính xác suất để sản phẩm lấy lần 2 là tốt?
HD:
P(F/B)=P(F/A1B).P(A1/B)+P(F/A2B).P(A2/B)= 0,8125
P(B)=P(B/A1).P(A1)+P(B/A2).P(A2) = 0,8
P(A1/B)= P(B/A1)P(A1) / P(B) = 0,5625
F= bc lấy được sp tốt lần 2, B= bc lấy được sp tốt lần 1
P(A1) = P(A2) = 1/2 211
LƯU Ý:
BT6: LẤY LIÊN TIẾP NHIỀU LẦN
Một kiện hàng cĩ 10 sản phẩm trong đĩ cĩ 6 sản phẩm loại I và 4 sản phẩm loại II. Nhân viên bán hàng chọn ngẫu nhiên từ kiện ra 2 sản phẩm để trưng bày.
a) Khách hàng thứ nhất chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm trong số 8 sản phẩm cịn lại trong kiện để mua. Tìm xác suất để khách hàng này mua được 2 sản phẩm loại I. b) Khách hàng thứ hai chọn ngẫu nhiên một sản phẩm trong số 6 sản phẩm cịn lại trong kiện để mua. Tính xác suất để khách hàng thứ hai mua được sản phẩm loại I nếu khách hàng thứ nhất mua được 2 sản phẩm loại I.
213 214
HD: