7. Kế hoạch nghiên cứu
2.2.6. Biện pháp 6: Tăng cường luyện tập phát triển nhiều bài toán khác
một bài toán gốc giúp cho học sinh thấy được mối liên hệ giữa cái chung và cái riêng thông qua hoạt động khái quát hóa, đặc biệt hóa.
Với mục đích là bồi dưỡng, rèn luyện năng lực nhận thức và tư duy sáng tạo cho hoc sinh, làm cho các em thấy được khả năng phát triển nhiều bài toán khác nhau từ bài bài toán ban đầu. Đồng thời phát huy tối đa khả năng huy động kiến thức ở học sinh thông qua hoạt động cụ thể như phát biểu và giải bài toán tương tự, bài toán tổng quát, đặc biệt hóa, khái quát hóa trên cơ sở có sự liên hệ với nhau giữa các bài toán. Trong đó, sự tương tự ở đây hiểu theo nghĩa, tương tự ở hướng đi, ở cách làm, cách suy nghĩ trong quá trình tìm tòi lời giải. Quá trình này đòi hỏi học sinh phải hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo, tự huy động tri thức và khả năng của mình để phát hiện và giải quyết vấn đề chứ không chỉ nghe thầy giảng một
O A B C D S
cách thụ động. Thông qua những hoạt động và những yêu cầu của giáo viên, học sinh tham gia vào quá trình xây dựng đề toán, giải quyết bài toán đó…Để thực hiện được mục đích dạy học là làm cho học sinh có thể lĩnh hội được kiến, có khả năng tiến hành những hoạt động, nói cách khác, học sinh học được bản thân việc học, biết khai thác từ một bài toán đã biết để giải quyết bài toán mới, biết vận dụng quy trình cho những bài toán có cùng dạng...
Ví dụ 2.2.6.1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD và có SA = SB = SC = SD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:
a) Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD);
b) Đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng (SBD) và đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC)
Hướng dẫn:
- Giáo viên: Bài toán yêu cầu chứng minh điều gì?
- Học sinh: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: SO (ABCD), AC (SBD), BD (SAC).
- Giáo viên: Nhắc lại điều kiện đường thẳng vuông góc với mặt phẳng?
- Học sinh: Đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt
phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy. - Giáo viên Đường thẳng SO vuông góc với đường thẳng nào trong mặt phẳng (ABCD)? - Học sinh: SO AC và SO BD.
Mà AC và BD cắt nhau tại O.Vậy SO (ABCD). - Giáo viên Hãy chứng minh tương tự cho phần b? - Học sinh: AC BD và AC SO nên AC (SBD)
Giải:
a) Vì ABCD là hình thoi nên O là trung điểm của AC và BD. Mặt khác SA = SC nên tam giác SAC là tam giác cân tại S
Suy ra SO AC.
Ta lại có SB = SD nên tam giác SDB cân tại S, suy ra SO BD Vậy SO (ABCD).
b) Theo câu a ta có: AC SO + AC BD ( vì ABCD là hình thoi).
Mà SO và BD là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng (SBD) Suy ra AC (SBD).
Tương tự BD (SAC).
Sau khi giải xong bài toán, giáo viên có thể nêu vấn đề: ta đã sử dụng hết
các dữ kiện của bài toán hay chưa?
Thật vậy, rõ ràng bài toán chưa sử dụng hết giả thiết SA = SB = SC = SD. Như vậy có thể giúp học sinh phát hiện vấn đề thông qua hoạt động tương tự hóa, ta có bài toán sau:
Ví dụ 2.2.6.2: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD.
a) Chứng minh rằng SO (ABCD).
b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC. Chứng minh rằng IK (SBD) và IK SD.
Hướng dẫn:
- Giáo viên: Hãy chứng minh SO (ABCD) tương tự câu a ví dụ 2.2.6.1
- Giáo viên: Có thể chứng minh IK (SBD) bằng phương pháp của câu a được không?
- Học sinh: Không
- Giáo viên: Suy nghĩ xem có mối liên hệ nào với ví dụ 2.2.6.1 không? Từ đó hãy tìm cách chứng minh ?
- Học sinh: Theo ví dụ 2.2.6.1, ta có AC
(SBD). Tương tự như vậy ta cũng có AC (SBD).
Mặt khác IK // AC, suy ra IK (SBD) - Học sinh: Vì BD (SBD)
Mà IK (SBD) nên IK BD.
Như vậy, từ việc khai thác bài toán ở ví dụ 2.2.6.1, học sinh có thể giải quyết bài toán 2 và củng cố kiến thức về điều kiện đường thẳng vuông góc với đường thẳng, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
A B C D S O I K
Ví dụ 2.2.6.3: Từ bài toán ở ví dụ 2.2.6.1, nếu ta đặc biệt hóa đáy ABCD là hình vuông ta có thể xây dựng bài toán mới, phát hiện ra một số tính chất khác trên cơ sở củng cố thêm kiến thức, kĩ năng chứng minh cho phần quan hệ vuông góc. Chẳng hạn ta có bài toán sau: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Các cạnh bên SA=SB =SC=SD = a 2. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AD và BC.
a)Chứng minh rằng mặt phẳng (SIJ) vuông góc với mặt phẳng (SBC) b)Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB.
Hướng dẫn:
a) - Ta có thể sử dụng được kết quả SO (ABCD) (vì đây là trường hợp đặc biệt của ví dụ 2.2.6.1)
SO BC.
Lại có I, J lần lượt là trung điểm của cạnh AD và BC nên IJ BC
Vì SO và IJ là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng (SIJ) nên BC (SIJ). Mà BC (SBC) nên (SBC) (SIJ).
b) – Giáo viên: Vấn đề nêu ra ở đây là tính khoảng cách của hai đường thẳng AD và SB. Có nhận xét gì về vị trí của hai đường thẳng này?
- Học sinh: AD và SB là hai đường thẳng chéo nhau.
Vậy cần tìm khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau bằng cách áp dụng quy trình xác định khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau ta có:
d (AD,SB) = d(AD,(SBC)) = d(I, (SBC)) = d(I,SJ) = IH SO2 = SC2 – OC2 = 2 3 2 2 2 2 2 a a a 2 6 a SO SJ2 = SC2 – JC2 = 4 7 4 2 2 2 2 a a a 7 2 a SI Mà SO.IJ = IH.SJ . 42 7 SO IJ a IH SJ O A B C D S J I H