2) Trên đoạn AD‟ lấy điểm E, trên đoạn BD lấy điểm F sao cho
2.3.7. Dạy học xây dựng quy trình xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau bằng phương pháp DHKP
đường thẳng chéo nhau bằng phương pháp DHKP
Sau khi đƣợc khám phá khái niệm đƣờng vuông góc chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau nhƣ chúng tôi đã trình bày ở mục 2.1.7, trên cơ sở mô hình có sẵn, chúng ta có thể hƣớng dẫn HS xây dựng quy trình xác định đƣờng vuông góc chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau, phục vụ cho việc giải bài tập xác định khoảng cách nhƣ sau:
Hoạt động1: Khám phá quy trình:
Đƣa ra mô hình đã dùng trong quá trình khám phá khái niệm đƣờng vuông góc chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau để HS tiếp tục khám phá.
S A A B C D O I H
? Điền vào chỗ trống trong bảng sau:
H1 H2
A‟B là đƣờng vuông góc chung của AA‟ và B‟C‟ta có:
+ (1) ...là mặt phẳng chứa B'C' và song song với AA';
+ Hình chiếu vuông góc của AA' trên (BB'C'C) là (2) ... ;
+ (3)... là giao điểm của BB' với B'C';
+ A'B' (4)... (BB'C'C) tại (5)...;
+ A'B' (6) ...AA' tại (7)...
MN là đƣờng vuông góc chung của AC và B'D' ta có:
+ (1')...là mặt phẳng chứa B'D' và song song với AC;
+ Hình chiếu vuông góc của AC trên (A'B'C'D') là (2')...;
+ (3')...là giao điểm của A'C' với B'D';
+ MN (4')...(A'B'C'D') tại (5')...;
+ MN (6')...AC tại (7')...
? Qua bảng trên, hãy rút ra cách xác định đƣờng vuông góc chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau?
Tổng quát:
Bƣớc 1: Xác định mặt phẳng (P) chứa b và song song với a. Bƣớc 2: Xác định mặt phẳng (Q) chứa a và vuông góc với b.
( việc vẽ (Q) có thể tiến hành như sau: Kẻ đường thẳng đi qua điểm M1 nào đó
A B C A‟ C‟ D B‟ D‟ M N C‟ B C A A‟ D B‟ D‟ H1 H2
C S S D B A O H
trên a và vuông góc với (P) tại điểm N1, trong (P), qua N1 kẻ đường thẳng a' song song với a. Khi đó ta có (a, a') chính là (Q), a' là hình chiếu vuông góc của a trên (P).
Bƣớc 3: Xác định giao điểm N của a' và b. (giao điểm luôn tồn tại vì a chéo b, a' song song a và a', b cùng nằm trên (P))
Bƣớc 4: Từ N kẻ đƣờng thẳng song song với N1M1, cắt a tại M.
Đoạn thẳng MN là đoạn vuông góc chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau a và b.
Hoạt động2: Khám phá cách giải bài toán
Bài toán 1:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, có cạnh SA= h và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của : a) SB và CD. ( Nhằm luyện tập cách xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau)
b) SC và BD. ( Nhằm phát hiện cách làm ngắn gọn hơn trong trường hợp đặc biệt: a chéo b và vuông góc với b)
? Để làm phần a) theo quy trình trên, bƣớc 1: hãy xác định mặt phẳng chứa SB và song song với CD? (Đóng vai trò là (P))
- HS phát hiện: Mặt phẳng đó là (SAB).
? Hãy xác định mặt phẳng (Q) ?
? Vậy đƣờng thẳng nào nằm trong (ABCD) và vuông góc với cả hai đƣờng thẳng BS và CD?
- HS phát hiện: Đƣờng thẳng BC!
? Đúng, vậy các em hãy trình bày lời giải?
- Ta có : BC SAB BC SB AB BC SA BC ) ( .
Mặt khác, BC CD . Vậy BC là đoạn vuông góc chung của hai đƣờng thẳng SB và DC.
? Ta thấy, SC và BD chéo nhau; ngoài ra chúng còn quan hệ đặc biệt nào khác không?
- HS phát hiện: SC vuông góc với BD, SC nằm trong mặt phẳng (SAC) vuông góc với BD tại O là tâm của ABCD.
? Trong (SAC) kẻ OH vuông góc với SC tại H, thì OH có vuông góc với BD không?
- Hiển nhiên, vì BD vuông góc với (SAC) thì nó vuông góc với mọi đƣờng thẳng thuộc (SAC) , trong đó có OH.
? Hãy xác địnhđoạn vuông góc chung của SC và BD ? - Đó là đoạn OH.
Khái quát hóa cách xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau rồi bổ xung vào quy trình trên:
Trong trƣờng hợp a chéo b và vuông góc với b:
- Bƣớc 1: Xác định mặt phẳng (P) chứa b và vuông góc với a tại A. - Bƣớc 2: Trong (P), kẻ đƣờng thẳng đi qua A và vuông góc với b tại B. Đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và b.
P)
a
A
B b b
Hoạt động 4: Khám phá các cách khác để xác định khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau
Bài tập 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = b, AA' = c. Tính khoảng cách giữa BB' và AC'.
? Nhận xét gì về d(BB', AC') và d(BB", (ACC'A')) và d(B, (ACC'A'))
- Tóm tắt lời giải: Ta có : ( ) AB AB BD SAC SA BD tại O.
Trong mặt phẳng (SAC) hạ từ O đƣờng thẳng OH vuông góc với SC tại H, suy ra BD vuông góc OH. Ta có: BD OH OH SC
OH là đoạn vuông góc chung của SC và BD.
B' C' C' D' C A D ji k O B A'
? Hãy nhận xét vị trí tƣơng đối của BB' và AC'?
? Từ tính chất hình hộp chữ nhật, có thể chỉ ra đƣờng vuông góc chung của BB' và AC' là đƣờng nào?
HS có thể dễ dàng phát hiện: BB' và AC' là hai đƣờng thẳng chéo nhau.
Do tính chất của hình hộp chữ nhật, mỗi mặt bên của ABCD.A'B'C'D' là một hình chữ nhật, nên ta suy ra:
+) AB vuông góc với BB'
+) BA vuông góc với hai đƣờng thẳng cắt nhau AA' và AD nên ta có AB vuông góc với (AA'C'C), suy ra AB vuông góc với AC'.
Nhận xét: d(BB', AC') = d(BB", (ACC'A')) = d(B, (ACC'A'))
? Phân tích vị trí tƣơng đối của các đƣờng, mặt trong mỗi khoảng cách trên?