Xét một hình hộp cĩ tiết diện A, chiều dài dx đặt trong một mẩu bán dẫn cĩ dịng điện lỗ trống Ip đi qua. Tại một điểm cĩ hồnh độ x, cường độ dịng điện là Ip. Tại mặt cĩ hồnh độ là x+dx, cường độ dịng điện là Ip+dIp. Gọi P là mật độ lỗ trống trong hình hộp, ?p là đời sống trung bình của lỗ trống. Trong mỗi giây cĩ τpp lỗ trống bị mất đi do sự tái hợp. Vậy mỗi giây, điện tích bên trong hộp giảm đi một lượng là:
G1=e.A.dx.τp
p (do tái hợp)
Đồng thời điện tích trong hộp cũng mất đi một lượng: G2=dIp (do khuếch tán).
Gọi g là mật độ lỗ trống được sinh ra do tác dụng nhiệt, trong mỗi giây, điện tích trong hộp tăng lên một lượng là:
T1=e.A.dx.g
Vậy điện tích trong hộp đã biến thiên một lượng là:
T1− (G1+G2) =e.A.dx.g− e.A.dx.τp p −dIp Độ biến thiên đĩ bằng:e.A.dx.dpdt Vậy ta cĩ phương trình: dp dt =g− τp p − dIpdx.e1.A(1)
Nếu mẩu bán dẫn ở trạng thái cân bằng nhiệt và khơng cĩ dịng điện đi qua, ta cĩ:
dp
dt = 0;dIp=0; P=P0=hằng số Phương trình (1) cho ta:
0 =g− τp
p ⇒g= Pτ0
p
Với P0 là mật độ lỗ trống ở trạng thái cân bằng nhiệt. Thay trị số của g vào phương trình (1) và để ý rằng p và IP vẫn tùy thuộc vào thời gian và khoảng cách x, phương trình (1) trở thành:
∂p
∂t = − p−τp0
p − ∂∂Ipx.eA1 (2) Gọi là phương trình liên tục.
Tương tự với dịng điện tử In, ta cĩ:
∂n
∂t = − n−τn0
n − ∂∂Inx.eA1 (3)
TD: ta giải phương trình liên tục trong trường hợp p khơng phụ thuộc vào thời gian và dịng điện Ip là dịng điện khuếch tán của lỗ trống.
Ta cĩ: dpdt = 0vàIp= − Dp.eA.dpdx Do đĩ, dIpdx = −Dp.eA.d2p dx2 Phương trình (2) trở thành: d2p dx2 = PDp−.τP0 p = P−P0 L2p Trong đĩ, ta đặtLp=√Dp.τp
Nghiệm số của phương trình (4) là:
P−P0=A1.e
x
Lp+A2.e −
x Lp
Vì mật độ lỗ trống khơng thể tăng khi x tăng nên A1 = 0
Do đĩ:P−P0=A2.e − x Lp tại x = x0. Mật độ lỗ trống là p(x0), Do đĩ:P(x0) −P0=A2.e − x Lp
Suy ra, nghiệm của phương trình (4) là:
P(x) −P0=[P(x0) −P0].e −
x−x0Lp Lp