Dạng toỏn về hệ thức lượng trong tam giỏc- 123docz.net

9. Dự kiến luận cứ

2.1.2.Dạng toỏn về hệ thức lượng trong tam giỏc

Dạng 1 :Hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng Dạng 2: Cỏc bài toỏn vận dụng định lý cosin Dạng 3: Cỏc bài toỏn vận dụng định lý sin

Dạng 4: Cỏc bài toỏn vận dụng cụng thức đường trung tuyến Dạng 5: Cỏc bài toỏn vận dụng cỏc cụng thức về diện tớch Dạng 6: Cỏc bài toỏn vận dụng định lý cosin suy rộng Dạng 7: Áp dung hệ thức lượng trong tam giỏc vào thực tế Dạng 8: Toỏn tổng hợp

2.1.3. Dạng toỏn về phương trỡnh đường thẳng

Dạng 1 : Viết phương trỡnh tổng quỏt, tham số, chớnh tắc của đường thẳng

Để viết phương trình tham số và phương trình chớnh tắc của đường thẳng  ta cần xỏc định một điểm M x y0 0 0( ; ) và một VTCP u( ; )u u1 2 của .

Phương trình tham số của : x x tu y y00 tu12

     

 ;

Phương trình chớnh tắc của : x x y y

u1 0 u2 0

 

 (u1  0, u2  0).

 Để viết phương trình tổng quỏt của đường thẳng  ta cần xỏc định một điểm

M x y0 0 0( ; ) và một VTPT n( ; )a b của .

Phương trình tổng quỏt của : a x x(  0)b y y(  0) 0

Dạng 2: Tớnh khoảng cỏch và viết phương trỡnh đường thẳng liờn quan đến khoảng cỏch

Dạng 3: Viết phương trỡnh đường phõn giỏc trong, phõn giỏc ngoài

Dạng 4: Tớnh gúc của hai đường thẳng và lập phương trỡnh đường thẳng liờn quan đến gúc

Dạng 5: Cỏc bài toỏn dựng tam giỏc

Đú là cỏc bài toỏn xỏc định toạ độ cỏc đỉnh hoặc phương trình cỏc cạnh của một tam giỏc khi biết một số yếu tố của tam giỏc đú.

Để giải loại bài toỏn này ta thường sử dụng đến cỏc cỏch dựng tam giỏc. Sau đõy là một số dạng:

Dạng 5.1: Dựng tam giỏc ABC, khi biết cỏc đường thẳng chứa cạnh BC và hai đường cao BB, CC.

Cỏch dựng: – Xỏc định B = BC  BB, C = BC  CC. – Dựng AB qua B và vuụng gúc với CC. – Dựng AC qua C và vuụng gúc với BB. – Xỏc định A = AB  AC.

Dạng 5.2: Dựng tam giỏc ABC, khi biết đỉnh A và hai đường thẳng chứa hai đường cao BB, CC.

Cỏch dựng: – Dựng AB qua A và vuụng gúc với CC. – Dựng AC qua A và vuụng gúc với BB. – Xỏc định B = AB  BB, C = AC  CC.

Dạng 5.3: Dựng tam giỏc ABC, khi biết đỉnh A và hai đường thẳng chứa hai đường trung tuyến BM, CN.

Cỏch dựng: – Xỏc định trọng tõm G = BM  CN.

– Xỏc định A đối xứng với A qua G (suy ra BA // CN, CA // BM).

– Dựng dB qua A và song song với CN. – Dựng dC qua A và song song với BM. – Xỏc định B = BM  dB, C = CN  dC.

Dạng 5.4: Dựng tam giỏc ABC, khi biết hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC và trung điểm M của cạnh BC.

Cỏch dựng: – Xỏc định A = AB  AC. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

– Dựng d1 qua M và song song với AB. – Dựng d2 qua M và song song với AC.

– Xỏc định trung điểm I của AC: I = AC  d1. – Xỏc định trung điểm J của AB: J = AB  d2. – Xỏc định B, C sao cho JB AJ IC AI    ,  .

Cỏch khỏc: Trờn AB lấy điểm B, trờn AC lấy điểm C sao cho MB MC.

2.1.4 Dạng toỏn về phương trỡnh đường trũn

Dạng 1: Nhận dạng phương trỡnh đường trũn. Tỡm điều kiện để một phương trỡnh là phương trỡnh đường trũn

Phương phỏp giải.

Cỏch 1:

- Đưa phương tŕnh đă cho về dạng (C) : x2 + y2-2ax -2by + c = 0 (1) - Xột dấu biểu thức P = a2 + b2 – c

+ Nếu P > 0 thì (1) là phương trình đường trũn (C) cú tõm I(a;b) và bỏn kớnh

R = a2b2c

+ Nếu P  0 thì (1) khụng phải là phương trình đường trũn.

Cỏch 2: Đưa phương trình về dạng: (x-a)2 + (y-b)2 = R (2).

+ Nếu P > 0 thì (2) là phương trình đường trũn cú tõm I(a;b) và bỏn kớnh R =

+ Nếu P  0 thì (2) khụng phải là phương trình đường trũn.

Dạng 2: Viết phương trỡnh đường trũn

Dạng 2.1: Viết phương trình đường trũn đi qua 3 điểm. Cỏch 1:

- Tìm toạ độ tõm I(a;b) của đường trũn (C) - Tìm bỏn kớnh R của đường trũn (C)

- Viết phương trình của (C) theo dạng (x-a)2 + (y-b)2 = R2.

Cỏch 2: Giả sử phương trình đường trũn (C) là: x2 + y2-2ax -2by + c = 0. - Từ điều kiện của đề bài thành lập hệ phương trình với ba ẩn là a, b, c. - Giải hệ để tìm a, b, c từ đú tìm được phương trình đường trũn (C).

Dạng 2.2: Viết phương trình đường trũn tiếp xỳc với đường thẳng. Dạng 2.3: Viết phương trình đường trũn nội tiếp tam giỏc.

Dạng 3: Tập hợp tõm đường trũn

Để tìm tập hợp cỏc tõm I của đường trũn (C), ta cú thể thực hiện như sau: a) Tìm giỏ trị của m để tồn tại tõm I.

b) Tìm toạ độ tõm I. Giả sử: I y g mx f m( ) ( )

   

 .

c) Khử m giữa x và y ta được phương trình F(x; y) = 0.

d) Giới hạn: Dựa vào điều kiện của m ở a) để giới hạn miền của x hoặc y.

e) Kết luận: Phương trình tập hợp điểm là F(x; y) = 0 cựng với phần giới hạn ở d).

Dạng 4: Xột vị trớ tương đối của đường thẳng và đường trũn. Tỡm toạ độ giao điểm. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Cho đường thẳng  : Ax + By + C = 0 (1) (A2 + B2 0) và đường trũn (C): x2 + y2-2ax -2by + c = 0 (2). (C) cú tõm I(a;b) và bỏn kớnh R.

Để xột vị trớ tương đối của đường thẳng và đường trũn ta cú hai phương phỏp:

Phương phỏp 1:Xột số giao điểm của  và (C). Số giao điểm của  và (C) là số nghiệm của hệ phương trình: Ax2 2 0

2ax 2 0 By C x y by c           

- Nếu hệ vụ nghiệm thì  và (C) khụng cú giao điểm nào   khụng cắt đường trũn.

- Nếu hệ cú duy nhất một nghiệm thì  và (C) cú một giao điểm   tiếp xỳc với đường trũn.

- Nếu hệ cú hai nghiệm phõn biệt thì  và (C) cú hai giao điểm   cắt đường trũn tại hai điểm phõn biệt

Nhận xột:  và (C) cú điểm chung  cắt hoặc tiếp xỳc với (C)

Phương phỏp 2: So sỏnh khoảng cỏch từ tõm I đến  với bỏn kớnh R. Bước 1: Tìm toạ độ I(a;b); R

Bước 2: Tớnh khoảng cỏch từ I đến  h = 2 2 Ax By C A B   

TH1: h> R  khụng cắt đường trũn  và (C) khụng cú giao điểm nào. TH2: h = R  tiếp xỳc với đường trũn   và (C) cú duy nhất một giao điểm.

TH3: h< R   cắt đường trũn tại hai điểm phõn biệt   và (C) cú 2 giao điểm.

Dạng 5: Viết phương trỡnh tiếp tuyến với đường trũn.

Cho đường trũn (C) cú tõm I, bỏn kớnh R và đường thẳng .  tiếp xỳc với (C)  d I( , ) R

 Dạng 5.1: Tiếp tuyến tại một điểm M x y0 0 0( ; ) (C). –  đi qua M x y0 0 0( ; ) và cú VTPT IM0.

 Dạng 5.2: Tiếp tuyến cú phương cho trước.

– Viết phương trình của  cú phương cho trước (pt chứa tham số t). – Dựa vào điều kiện:d I( , ) R, ta tìm được t. Từ đú suy ra pt của .  Dạng 5.3: Tiếp tuyến vẽ từ một điểm A x y( ; )A A ở ngoài đường trũn (C). – Viết phương trình của  đi qua A (chứa 2 tham số).

– Dựa vào điều kiện: d I( , ) R, ta tìm được cỏc tham số. Từ đú suy ra phương trình của .

Dạng 6: Tỡm điểm cố định mà họ đường trũn luụn đi qua với mọi m.

Phương phỏp giải:

- Giải sử A(x0;y0)) là điểm cố định mà họ đường trũn luụn đi qua với mọi m  phương trình f(x0, y0, m) = 0 đỳng với mọi m.

- Viết phương trình trờn dưới dạng phương trình ẩn m sau đú cho tất cả cỏc hệ số của m bằng 0 kể cả hệ số tự do.

- Giải hệ đú ta sẽ tìm được x0 và y0.

Dạng 7: Tỡm điểm mà họ đường trũn khụng bao giờ đi qua với mọi m.

- Giả sử A(x0;y0)) là điểm mà họ đường trũn khụng bao giờ đi qua với mọi m  phương trình f(x0, y0, m) = 0 vụ nghiệm m.

- Viết phương trình trờn dưới dạng phương trình ẩn m sau đú cho tất cả cỏc hệ số của m bằng 0 cũn hệ số tự do khỏc 0.

- Giải hệ đú ta sẽ tìm được điều kiện của x0 và y0.

2.1.5 Dạng toỏn về ba đường cụnic

Dạng 1: Viết phương trỡnh chớnh tắc của elip

Để viết phương trình chớnh tắc của elip ta cần xỏc định độ dài cỏc nửa trục a, b của elip. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Chỳ ý: Cụng thức xỏc định cỏc yếu tố của elip: + b2a2c2 + e c

 + Cỏc tiờu điểm F c1( ;0), ( ;0) F c2

+ Cỏc đỉnh: A a1( ;0), A a2( ;0), (0; ),B1 b B2(0; )b

Dạng 2: Xỏc định cỏc yếu tố của elip

Đưa phương trình của elip về dạng chớnh tắc: x y

a b

2 2

2  2 1. Xỏc định a, b, c. Cỏc yếu tố: – Độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b.

– Tiờu cự 2c.

– Toạ độ cỏc tiờu điểm F c1( ;0), ( ;0) F c2 .

– Toạ độ cỏc đỉnh A a1( ;0), A a2( ;0), (0; ),B1 b B2(0; )b .

– Tõm sai e c

 .

- Phương trình cỏc đường chuẩn x a

e 0

 

Dạng 3: Tỡm điểm trờn elip thỏa món điều kiện cho trước Dạng 4: Xỏc định cỏc yếu tố của hypebol

Đưa phương trình của hypebol về dạng chớnh tắc: x y

a b

2 2

2  2 1. Xỏc định a, b, c. Cỏc yếu tố: – Độ dài trục thực 2a, trục ảo 2b.

– Toạ độ cỏc tiờu điểm F c1( ;0), ( ;0) F c2

– Toạ độ cỏc đỉnh A a1( ;0), A a2( ;0); Tõm sai e c a

 . – Phương trình cỏc đường tiệm cận: y bx

  – Phương trình cỏc đường chuẩn x a

e 0

  (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Dạng 5: Viết phương trỡnh chớnh tắc của hypebol

Để lập phương trình chớnh tắc của (H) ta cần xỏc định độ dài cỏc nửa trục a, b của (H). Chỳ ý: Cụng thức xỏc định cỏc yếu tố của (H): + b2c2a2 + e c a  + Cỏc tiờu điểm F c1( ;0), ( ;0) F c2 + Cỏc đỉnh: A a1( ;0), A a2( ;0)

Dạng 6: Tỡm điểm trờn hypebol thỏa món điều kiện cho trước Dạng 7: Xỏc định cỏc yếu tố của parabol

Đưa phương trình của parabol về dạng chớnh tắc: y2 2px. Xỏc định tham số tiờu p.

Cỏc yếu tố: – Toạ độ tiờu điểm F p;0 2

     .

– Phương trình đường chuẩn : x p 0

  .

Dạng 8: Viết phương trỡnh chớnh tắc của parabol

Để lập phương trình chớnh tắc của parabol ta cần xỏc định tham số tiờu p của parabol.

Chỳ ý: Cụng thức xỏc định cỏc yếu tố của (P): – Toạ độ tiờu điểm F p;0

     

– Phương trình đường chuẩn : x p 0

2.2. Thiết kế một số tình huống dạy học hợp tỏc trong dạy học giải bài tập hình học lớp 10 –Trung học phổ thụng lớp 10 –Trung học phổ thụng

2.2.1. Tỡnh huống dạy học hợp tỏc tỡm quy trỡnh giải cho một dạng toỏn, tổng kết cỏc phương phỏp giải một dạng toỏn

Trong quỏ trình dạy học giải bài tập, GV thường xuyờn phải thực hướng dẫn HS thực hiện một số hoạt động như tìm quy trình giải cho một dạng toỏn hay tổng kết cỏc phương phỏp giải một dạng toỏn nào đú. Để tăng hiệu quả dạy học giải bài tập hình học 10, tỏc giả đó mạnh dạn thiết kế một số tình huống dạy học hợp tỏc với nội dung trờn, khụng những giỳp HS tự lĩnh hội được kiến thức một cỏch dễ dàng mà cũn rốn luyện kỹ năng xó hội cho HS.

2.2.1.1. Tỡnh huống số 1

*Mục tiờu: Tìm hướng giải cho bài tập tổng quỏt

* Chọn nội dung : Hình thành phương hướng giải bài toỏn ”Cho 2 điểm A, B khụng nằm trờn đường thẳng d cú phương trỡnh Ax + By + C = 0. Tỡm trờn d điểm M sao cho MA+MB nhỏ nhất.”

*Nội dung phiếu học tập Cho cỏc bài toỏn sau:

Bài toỏn 1: Tìm trờn trục hoành điểm M sao cho tổng khoảng cỏch từ M tới

A (1; 1) và B (2; -4) là nhỏ nhất

Cho lời giải bài toỏn trờn:

Dễ thấy, A và B nằm khỏc phớa với y=0. Phương trình đường thẳng AB: -5x-y+6=0

Toạ độ điểm M0 là giao điểm của AB và trục hoành là nghiệm của hệ phương trình 0 5 6 0 y x y        . vậy M0( 6 5 ;0).

Ta cú: MA + MB ≥ AB. Vậy MA + MB minA, M, B thẳng hàng M ≡ M0

Bài toỏn 2: Cho A(1; 2); B(3; 4). Tìm tọa độ điểm M nằm trờn trục hoành sao cho (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Bài toỏn 3: Tìm trờn trục tung điểm M sao cho tổng khoảng cỏch từ M tới A(1; 1)

và B(3; -3) là nhỏ nhất.

Bài toỏn 4: Cho A(0; 2) ; B(2; -2) và đường thẳng d: x - y - 1 = 0 Tìm tọa độ điểm

M nằm trờn d sao cho MA+MB nhỏ nhất.

Bài toỏn 5: Cho A(1; 2); B (2; 5) và đường thẳng d: x - 2y – 2 = 0. Tìm trờn đường

thẳng d điểm M sao cho MA+MB nhỏ nhất.

Bài toỏn 6:Cho A(1;2); B(0;-1) và đường thẳng d: ; 2 1 x t t y t         .Tìm điểm M thuộc d sao cho MA+MB nhỏ nhất.

 Nhận xột sự giống và khỏc nhau giữa cỏc bài tập trờn. Phỏt biểu bài toỏn tổng quỏt và nờu phương phỏp giải. Cũn cú phương phỏp nào khỏc khụng?

*Tổ chức học hợp tỏc

+ HS nhận phiếu học tập, độc lập suy nghĩ.

+ Nhúm trưởng tiến hành thảo luận nhúm, thống nhất ý kiến và phõn cụng cụng việc cho từng thành viờn một cỏch hợp lý và vừa sức.

+ Nhúm tiếp tục thảo luận và đi đến thống nhất chung, hoàn thành sản phẩm nhúm. *Dự kiến cõu hỏi gợi ý

 Cú thể đưa bài toỏn 2 về bài toỏn 1 được khụng?

 Bài toỏn 6:Md(d: cho dưới dạng tham số) nờn M cú tọa độ như thế nào?M (t; 2t + 1)

Tổng MA + MB là biểu thức phụ thuộc mấy ẩn? Chọn A1 ( 5 1 ; 5 3   ); B1 (- 5 2 ; 5 4

); M1(t; 0). Vì sao lại chọn điểm như vậy? Vị trớ tương đối của A1 , B1 đối với Ox?

* Kết luận vấn đề:

Phương phỏp giải bài toỏn tổng quỏt Bước 1: Tìm toạ độ điểm A’

đối xứng với A qua đường thẳng d.

. . . . M A B d

Bước 2: Viết phương trình đường thẳng A’B Bước 3: Tìm toạ độ giao điểm của A’B và d

Bước 4: Chứng minh M thoả món điều kiện đề bài.

2.2.1.2. Tỡnh huống số 2 :Tìm hướng giải bài toỏn quỹ tớch thoả món đẳng thức vectơ.

*Nội dung phiếu học tập :

PHIẾU HỌC TẬP

Nờu cỏc bài toỏn quỹ tớch cơ bản. Cho biết cỏc bài toỏn sau cú đặc điểm gì chung, nờu hướng giải cho cỏc bài toỏn đú, tổng kết cỏc kiến thức cần nhớ khi giải bài toỏn “ Tỡm quỹ tớch của điểm khi biết điểm đú thỏa món một đẳng thức vectơ”.

Bài toỏn 1: Cho ∆ABC. Tìm quỹ tớch điểm M thỏa món: a) MA MB   MA MC 

b)3MAMB2MC  MAMB

Bài toỏn2: Cho ∆ABC. Tìm quỹ tớch điểm M thỏa món: a) MAMB  MAMB

b)3MA2MBMC  MAMC (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Bài toỏn 3: Cho ∆ABC. Tìm quỹ tớch điểm M thỏa món: a)MAMB3MC0

b)MAkMBkMC0(kR*)

Bài toỏn4: Cho ∆ ABC. Tìm quỹ tớch điểm M thỏa món: a)AB.AM AB.AC

b) (1-k)MAMBkMC 0(kR*) *Tổ chức học hợp tỏc:

- Giỏo viờn chia lớp thành nhiều nhúm (mỗi nhúm 8 học sinh)

- Giỏo viờn phỏt phiếu học tập. Cỏc nhúm trưởng tập trung cỏc thành viờn của nhúm lại, thảo luận thống nhất ý kiến và hoàn thành sản phẩm nhúm.

*Dự kiến cõu hỏi gợi ý khi cần thiết:

-Cú thể biến đổi đẳng thức vectơ trong cỏc bài toỏn trờn về giả thiết của cỏc bài toỏn quỹ tớch cơ bản được hay khụng?

-Cú thể đưa cỏc bài toỏn trờn về bài toỏn quỹ tớch cơ bản nào? *Kết luận vấn đề:

+ Cỏc bước giải bài toỏn “Tỡm quỹ tớch của điểm khi biết điểm đú thỏa món một đẳng thức vectơ”

Bước 1: Biến đổi đẳng thức vectơ về cụng thức quỹ tớch cơ bản. Bước 2: Phỏt biểu bài toỏn quỹ tớch.

Bước 3: Vẽ quỹ tớch nếu cần (chỳ ý khụng cần làm phần đảo nếu bài toỏn là tương đương).

+ Tổng kết cỏc quỹ tớch cơ bản

-M thuộc đường trung trực của đoạn AB: MA  MB với A, B cho trước (AB) -M thuộc đường trũn tõm C, bỏn kớnh bằng k.AB: MC k AB với A, B, C cho

Dạng toỏn về hệ thức lượng trong tam giỏc

Kế hoạch, nhiệm vụ thực nghiệm

Kết quả thực nghiệm sư phạm