IV. Quan hệ thứ tự trong Q.
1. Định nghĩa
Cho r và s là hai số hữu tỉ không âm có
phân số đại diện là và tương ứng. Ta nói rằng r nhỏ hơn hoặc bằng s, viết là r ≤ s, nếu sử dụng < bd.
Ta nói r nhỏ hơn s, viết là r < s, nếu r ≤ s và r ≠ s. Ta nói rằng r ≥ s, nếu s ≤ r. Ta gọi hệ thức r ≤ s là một bất đẳng thức, hệ b a d c
• Định lý 3.4.
• Quan hệ "≤" là quan hệ thứ tự toàn phần trong Q.
• 2. Tính chất của quan hệ thứ tự • Định lý 3.5
• Quan hệ thứ tự trên Q+ thoả mãn các tính chất sau:
• (i) Tính đơn điệu: Với mọi r, s, t ∈ Q+, ta luôn có: từ r ≤ s suy ra r + t ≤ s + t và st ≤ st.
• Đặc biệt nếu r < s và t ≠ 0 thì rt < st (nếu ta cộng hoặc nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng số hữu tỉ thì bất đẳng thức không đổi
• (ii) Tính trù mật:
• Với mọi r, s ∈ Q+, r < s tồn tại t ∈ Q+ sao cho r < t < s.
• (iii) Tiên đề Acsimet: Với mọi số hữu tỉ r tồn tại số tự nhiên n sao cho r < n.
• Định lý 3.6
• Tập số hữu tỉ không âm Q+, cùng với phép cộng và quan hệ "≤" là vị nhóm sắp thứ tự Acsimet.
• Chú ý: Từ tính trù mật ta dễ dàng suy
ra với hai số hữu tỉ không âm khác nhau, tồn tại số số số hữu tỉ không âm xen giữa chúng.
• Đây là khác biệt căn bản giữa tập số hữu tỉ không âm (thì trù mật) và tập số tự
• V. Phân số trong chương trình môn
Toán ở trường tiểu học
• Nội dung phân số được đưa vào môn Toán trường Tiểu học tương đối hoàn
chỉnh, bao gồm: hình thành khái niệm,
quan hệ so sánh (so sánh bằng và hơn),
bốn phép tính cơ bản (cộng, trừ, nhân và
chia) và tính chất của bốn phép tính trên phân số.
• 1. Khái niệm
• Phân số , trong đó b gọi là mẫu số, được hiểu là số phần bằng nhau mà đơn
vị được chia ra, a là tử số được hiểu là số
phần bằng nhau đã lấy đi. Mặt khác, phân số còn có thể hiểu là kết quả của phép chia a cho b.
b a
b a
Hai phương pháp trên đây được vận dụng để hình thành khái niệm phân số cho học sinh Tiểu học. Dạy hình thành khái niệm phân số ở Tiểu học bao gồm: dạy đọc, viết, cấu tạo phân số và một số phân số
có dạng đặc biệt (phân số có mẫu số bằng 1, có tử số bằng 0, có tử số bằng mẫu
• 2. Quan hệ so sánh
• Quan hệ so sánh trên các phân số ở Tiểu học gồm hai dạng: "so sánh bằng " (hai phân số bằng nhau) và "so sánh
Bằng những ví dụ trực quan, sách giáo khoa đã hình thành cho học sinh khái
niệm phân số bằng nhau. Đồng thời sách giáo khoa cũng giới thiệu cho học sinh
một quy tắc, để dựa vào đó các em có thể nhận biết hai phân số bằng nhau hay
không bằng nhau. Quy tắc đó phát biểu như sau: "Nếu ta nhân hoặc chia cả tử số và mẫu số của một phân số với
• Quy tắc trên đây là cơ sở để học sin thực hiện phép rút gọn phân số.
• Khi hai phân số không bằng nhau, để nhận biết phân số nào lớn hơn, học sinh dựa vào quy tắc sau:
• - Trong hai phân số có cùng mẫu số, ta quy
đồng mẫu số của hai phân số đó rồi so sánh các tử số với nhau (tử số nào lớn hơn thì phân số
tương ứng sẽ lớn hơn).
• Đặc biệt, nhờ quy tắc này học sinh nhận biết được khi nào một phân số nhỏ hơn, bằng hay
• 3. Các phép toán trên phân số
• Nhìn chung, mỗi phép tính cộng, trừ, nhân và chia phân số ở Tiểu học được trình bày theo quy trình sau đây: hình thành phép tính, quy tắc thực hành tính toán và cuối cùng là các tính chất giao
hoán, kết hợp và phân phối của các phép toán đó.
•Mỗi phép tính đều được hình thành từ một bài toán đơn rất gần gũi với đời sống thực tế. Rồi từ đó rút ra quy tắc thực hành tính toán. Cụ thể là:
- Quy tắc thực hành phép cộng phân số:
+ Muốn cộng hai phân số cùng mẫu số, ta
cộng tử số với mẫu số và giữ nguyên mẫu số.
+ Muốn cộng hai phân số khác mẫu số, trước hết ta quy đồng mẫu số rồi cộng tử số
• Cũng tương tự như trên, ta phát biểu quy tắc thực hành phép trừ: Quy tắc thực
hành phép chia phân số: Muốn chia hai phân số ta làm như sau:
• + Lấy tử số của phân số thứ nhất nhân
với mẫu số của phân số thứ hai, ta được tử số của thương.
• + Lấy mẫu số của phân số thứ nhất
• 4. Tính chất của các phép toán trên phân số • - Tính chất giao hoán: "Khí đổi chỗ các phân
số trong một tổng (hoặc tích) thì tổng (hoặc tích) không thay đổi"
• - Tính chất kết hợp: "Muốn cộng (hoặc nhân)
hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể cộng (hoặc nhân) phân số thứ nhất với tổng (hoặc tích) của hai phân số còn lại".
• - Tính chất phân phối "Muốn nhân một tổng
của hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể
• BÀI 2. PHÂN SỐ THẬP PHÂN • I. Phân số thập phân
• * Định nghĩa: Phân số gọi là phân số
thập phân, nếu mẫu số b là lũy thừa của
10 với số mũ tự nhiên. • Định lý 3.7
• Để phân số tối giải biểu diễn được dưới dạng thập phân, điều kiện cần và đủ là mẫu số q không có ước nguyên tố nào
b a
q p
• II. Số thập phân không âm • 1. Định nghĩa
• Số hữu tỉ không âm r được gọi là số
thập phân không âm. Nếu phân số đại
diện của nó biểu diễn được dưới dạng thấp phân.
• Hay nói cách khác, số hữu tỉ khôn g âm r được gọi là phân số thập phân nếu có một đại diện là phân số thập phân.