- Nếu phép nhân có tính chất giao hoán thì X được gọ
b thuộ cA ta có a thuộ cA và a ∈ A.
BÀI 3 HỆ THỐNG GHI SỐ
• I. HỆ GHI SỐ g - PHÂN • 1. Hệ ghi số thập phân
• Người Hindu Ấn độ, vào đầu thế kỷ IX đã dùng một hệ thống ghi số gồm 10 kí hiệu ( sau này ta gọi là 10 chữ số) như sau:
• Các số được ghi từ 10 kí hiệu trên theo cơ số 10: Các số được ghi thành hàng, kể từ phải sang trái, hàng sau có giá trị bằng 10 lần hàng trước nó.
• Cách ghi số trên tỏ ra ưu việt hơn hẳn cách ghi số trước nó. Vì vậy nó được truyền qua Ảrập, sang châu Âu và dần dần được cả thế giới thừa nhận. Qua nhiều thế kỷ, các chữ số cũng dần dần thay đổi. Cuối cùng có
• 2. Hệ ghi số g- phân
• Trước hết, ta hãy xem một số tự nhiên được ghi trong hệ thập phân như thế nào. Lấy số 7345 làm ví dụ, ta có:
• 7345 = 7000 + 300 + 40 + 5
• = 7.100 + 3.100 + 4.10 + 5
• Thực tế, cách ghi số đó dựa trên kết quả sau: Mọi số tự nhiên a > 0 đều viết duy nhất được dưới hạng.
• a = Cn10n + Cn-1 10n - 1 + ... + C1. 10 + C0 . 100
• Trong đó: 0 ≤ C ≤ 9 , Cn ≠ 0. Khi đó ta viết: • a = Cn Cn-1 ... C1C0 • và nói đó là ghi số a trong hệ thập phân.
• Về nguyên tắc, ta có thể thay 10 bởi một số g > 1 tuỳ ý. Ta có định lý sau:
• a) Định lý
• Giả sử g là một số tự nhiên lớn hơn 1. Khi đó mỗi số tự nhiên a > 0 đều biểu diễn một cấch duy nhất được dưới dạng:
• a = Cn gn + Cn-1gn-1 + ... + C1g + C0g0
• Ở đây 0 ≤ Ci ≤ g - 1, i = 0 , 1, ... n và Cn ≠ 0
• b) Định nghĩa
• Nếu số tự nhiên a > 0 biểu diễn được dưới dạng: • a = Cn gn + Cn-1gn-1 + ... C1g + C0 • với 0 ≤ C1 ≤ g - 1, i = 0, 1, ..., n, Cn ≠ 0, thì ta viết: • a = và ta nói đó là sự biểu diễn của a trong hệ g-phân.
Vì 0 ≤ Ci ≤ g - 1 nên để biểu diễn các số tự nhiên trong hệ g-phân ta cần dùng g kí hiệu, gọi là các chữ số. Do đã quá quen với hệ thập phân, nên nếu g ≤ 10 thì các chữ số trong hệ g phân được lâý từ các chữ số tương ứng trong hệ thập phân,
còn nếu g > 10 thì ngoài các chữ số trong hệ thập phân ta phải đặt thêm các chữ số mới.
• III. SO SÁNH CÁC SỐ TRONG HỆ G-
PHÂN
• Việc viết các số tự nhiên trong hệ g- phân có một ưu thế lớn là ta dễ dàng so sánh các số và thực hiện các phép tính trên chúng. Việc so sánh các số tự nhiên trong hệ g-phân dựa trên bổ đề sau.
• IV. THỰC HÀNH CÁC PHÉP TÌNH