- Nếu phép nhân có tính chất giao hoán thì X được gọ
SỐ TỰ NHIÊN
b thuộ cA ta có a thuộ cA và a ∈ A.
SỐ TỰ NHIÊN
• Trên tập hợp N các số tự nhiên ta xác định một quan hệ ≤ như sau:
• 1. Định nghĩa
• Giả sử a, b ∈ N, a = card A, b = card B. • Ta nói a nhỏ hơn hoặc bằng b, và viết
là a ≤ b, nếu A tương đương với một bộ phận nào của B.
• 2. Chú ý
• a. Định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn các tập hợp A, B mà chỉ phụ
thuộc vào a = card A và b = card B.
• Thật vậy, giả sử A’, B’ là hai tập hợp hữu hạn sao cho cũng có a = card A’, b = card B’. Khi đó A ∼ A’ , B ∼ B’ do đó tồn tại của song ánh f : A’ → A và g: B --> B’. Nếu A tương đương với một bộ phận của
• Ta có sơ đồ sau:
• Ảnh xạ tích g0(h0f) là một đơn ánh từ A’ đến B’, nghĩa là ta cũng có A’ tương đương với một bộ phận của B’.
• b. Theo định nghĩa, nếu a ≤ b thì A tương đương với một bộ phận A1 ⊂ B. Nhưng khi đó ta cũng có a = card A’. Vì vậy có thể phát biểu lại định nghĩa quan hệ ≤
như sau: với a, b ∈ N, a ≤ b khi và chỉ khi tồn tại các tập hữu hạn A, B sao cho A ⊂
B và a = card A, b = card B.
• 3. Ví dụ: Ta biết ∅ là tập con của mọi tập hợp, vì vậy 0 = card ∅ nhỏ hơn số tự
• 4. Định lý
• Quan hệ ≤ xác định trong định nghĩa
trên là một quan hệ thứ tự toàn phần trong tập hợp số tự nhiên N.
• Mặt khác, với mọi cặp số tự nhiên a, b, a - card A, b = card B, theo định lý Căngto giữa hai tập hợp A và B ta luôn có hoặc A tương đương với một bộ phận của B,
hoặc B tương ương với một bộ phận của A. Nghĩa là, ta luôn cló hoặc a ≤ b hoặc b ≤ a. Vậy quan hệ ≤ là một quan hệ thứ tự
• III. SỐ TỰ NHIÊN LIỀN SAU • 1. Định nghĩa
• Giả sử a, b ∈ N, ta nói b là số liền sau a nếu tồn tại các tập hợp hữu hạn A, B
sao cho a = card A, b = card B và A ⊂ B, B\A là một tập hợp đơn tử (hay card (B\A) = 1). Thì a là số liền sau của b
• Kí hiệu: Số liền sau a kí hiệu là a’.
• Chú ý: Khi b là số liền sau a, theo định nghĩa, trước hết ta phải có a < b
• Ví dụ: 1 là số liền sau 0. Thật vậy, ta
có 0 = card ∅, 1 = card {x} và ∅ ⊂ {x} , • {x} \ ∅ = {x} là tập đơn tử.
• 2. Các tính chất • 1. Tính chất 1
• Mọi số tự nhiên đều có một số liền sau
• 2. Tính chất 2.
• Số 0 không là số liền sau của bất kỳ số
tự nhiên nào. Mọi số tự nhiên khác 0 đều là số liền sau của một số tự nhiên duy
nhất.
• 3. Tính chất 3.
Với a, b ∈ N, nếu a < b thì a’≤ b
• 4. Hệ quả
• IV. DÃY SỐ TỰ NHIÊN
• Với khái niệm số liền sau và các tính chất đã trình bày trên, ta có thể hình dung được toàn bộ tập hợp số tự nhiên N.
• Trước hết 0 = card ∅ là một số tự
nhiên và số 0 không đứng liền sau số nào. Số 1 = card {x} là số liền sau duy nhất của số 0 và giữa 0 và 1 không có số tự nhiên nào ≠. Kí hiệu: 2 = 1/ ; 3 = 2/ .... thì tập
hợp số tự nhiên N được viết thành một dãy số như sau:
• V. LỰC LƯỢNG CỦA TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN • 1. Định lý • Tập hợp số tự nhiên N là một tập hợp vô hạn • 2. Định nghĩa
• a. Lực lượng của tập hợp số tự nhiên N
gọi là vô hạn đếm được.
• b. Một lực lượng hữu hạn hay vô hạn
• VI. TÍNH CHẤT LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ