2.1.4.1. Cỏc biến chớnh của một hệ thống
Đối với một hệ thống hàng đợi chỳng ta quan tõm đến cỏc tham số đặc trưng được kớ hiệu và định nghĩa [10] như sau.
Hỡnh 2.10: Kớ hiệu biểu đồ thời gian cho cỏc hàng đợi (một kờnh phục vụ)
Trong sơ đồ này:
- Đường kẻ ngang dưới đại diện cho hàng đợi, đường kẻ ngang trờn đại diện cho cơ sở dịch vụ hay kờnh phục vụ.
n+1 Kờnh phục vụ Hàng đợi n Cn Cn+1 Cn+2 n+2 Cn Cn+ 1 Cn+2 Cn-1 Cn Cn+1 C n+2 wn n n+1 n+2 t n+1 t n+2 Thời gian Sn
- Mũi tờn hướng từ dưới lờn chỉ vào đường kẻ ngang hàng đợi ( hoặc kờnh phục vụ) chỉ ra rằng một khỏch hàng đó vào hàng đợi (hoặc kờnh phục vụ).
- Mũi tờn hướng từ đường kẻ ngang hàng đợi ( hoặc kờnh phục vụ) đi ra, chỉ ra rằng một khỏch hàng đó đi ra khỏi hàng đợi (hoặc kờnh phục vụ). - Khỏch hàng Cn+1 đến trước khi khỏch hàng Cn vào dịch vụ và chỉ khi
khỏch hàng Cn dời khỏi dịch vụ thỡ khỏch hàng Cn+1 mới vào dịch vụ (dĩ nhiờn hai sự kiện này cú thể xảy ra đồng thời).
- Khỏch hàng Cn+2 vào hệ thống và nhận thấy kờnh phục vụ “rảnh” ngay lập tức xuyờn qua hàng đợi vào ngay kờnh phục vụ (wn+2=0).
Ngoài ra, trong hệ thống hàng đợi chỳng ta cũn quan tõm đến cỏc thụng số khỏc như số khỏch hàng đến và rời khỏi hệ thống trong một khoảng thời gian, hay số khỏch hàng trung bỡnh trong hệ thống, hoặc trong hàng đợi, hệ số sử dụng của hệ thống.
Hỡnh 2.11: Cỏc khỏch hàng đến và rời khỏi hệ thống
Cỏc tham số đặc trưng trong hệ thống hàng đợi được túm tắt trong bảng
Số khỏch
hàng
2.1 dưới đõy:
Bảng 2.1. Cỏc tham số đặc trưng trong hệ thống hàng đợi
STT Ký hiệu Mụ tả
1 Cn Khỏch hàng thứ n vào hệ thống
2 τn Thời điểm đến của khỏch hàng thứ n (Cn)
3 tn Khoảng thời gian giữa khỏch hàng Cn-1 và Cn (tn= τn - τn-1 ) 4
5 Wn Thời gian chờ trong hàng đợi của khỏch hàng thứ n 6
Sn
Thời gian hệ thống (thời gian đợi + thời gian phục vụ) của khỏch hàng thứ n
Sn=Wn+ n
7
An(t)
Hàm phõn phối xỏc suất thời gian giữa hai khỏch hàng liờn tiếp (PDF)
( An(t)=P[tn≤t] ) 8
A(t) Giới hạn hàm phõn phối xỏc suất
Kớ hiệu: An(t) A(t) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
9 B( ) Phõn phối thời gian phục vụ
10 Số khỏch hàng đến trong khoảng thời gian (0,t)
11 Số khỏch hàng ra khỏi hệ thống trong khoảng thời gian (0,t) 12
N(t) Số khỏch hàng ở trong hệ thống tại thời điểm t 13 Nq(t) Số khỏch hàng trong hàng đợi tại thời điểm t 14 T Tổng thời gian phục vụ của toàn bộ hệ thống 15 λ Tốc độ đến (arrival rate) của khỏch hàng 16 à Tốc độ phục vụ
17 thời gian trung bỡnh sử dụng dịch vụ 18 ρ Hệ số sử dụng hệ thống
Hệ thống ở trạng thỏi dừng (the system in the steady – state) khi
2.1.4.2. Kớ hiệu Kendall A / B / m / K / n / D
Cỏc thành phần cơ bản của một hàng đợi được mụ tả ngắn gọn trong kớ hiệu Kendall [12, trang 14] cú dạng: A / B / m / K / n / D.
í nghĩa của cỏc ký hiệu trong mụ tả Kendall được trỡnh bày trong bảng 2.3.
Bảng 2.2: Cỏc thành phần trong kớ hiệu Kendall
STT Ký hiệu í nghĩa
1 A
Kớ hiệu cho A(t) - hàm phõn phối thời gian của cỏc lần đến liờn tiếp. A cú giỏ trị là: M (phõn phối mũ), D (phõn phối đều), Er( phõn phối Erlangian), G (phõn phối chung), H (phõn phối siờu mũ)
2 B
Kớ hiệu cho B( ) - hàm phõn phối thời gian phục vụ. B cú giỏ trị là: M (phõn phối mũ), D (phõn phối đều),Er( phõn phối
Erlangian), G (phõn phối chung), H (phõn phối siờu mũ) 3 m Số lượng kờnh phục vụ
4 K
Dung lượng của hệ thống, là số khỏch hàng lớn nhất cú mặt mà hệ thống bao gồm cả khỏch hàng trong hàng đợi và khỏch hàng đang được phục vụ
5 n Số lượng nguồn khỏch hàng (population size) 6 D Nguyờn tắc phục vụ
Bảng 2.3: Một số phõn phối xỏc suất liờn quan đến A và B trong mụ tả Kendall STT Viết tắt Hàm phõn phối 1 M A(t) 1 e t 2 Ek 1 0 ! ) ( 1 k j j t k j t k e t A , k ≥ 1 là pha 3 Hk k j t j e t A 1 j(1 ) q ) ( Trong đú: μj >0, qj>0, j∈{1..k}, Vớ dụ: hệ thống hàng đợi M/M/3/20/1500/FCFS, cú nghĩa là:
- Thời gian giữa cỏc lần đến liờn tiếp tuõn theo luật phõn phối mũ - Thời gian phục vụ tuõn theo luật phõn phối mũ
- 3 kờnh phục vụ
- Dung lượng hệ thống là 20: 3 phục vụ + 17 đợi
- Nếu số yờu cầu đến trờn 20, thỡ cỏc yờu cầu trờn 20 sẽ bị mất (lost) - Tổng số cỏc yờu cầu 15000 cú thể được phục vụ
- Nguyờn tắc phục vụ đến trước phục vụ trước
Một vớ dụ nữa để hiểu rừ hơn về kớ hiệu Kendall là hệ thống hàng đợi G/G/1, cú nghĩa là G/G/1/∞/∞/FCFS, hệ thống cú:
- Dung lượng hệ thống là vụ hạn
- Số lượng khỏch (population size) là vụ hạn - Nguyờn tắc phục vụ đến trước phục vụ trước - 1 kờnh phục vụ
- Thời gian giữa cỏc lần đến liờn tiếp theo luật phõn phối G (General) - Phõn phối thời gian phục vụ là: G
2.1.4.3. Luật Little (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Thời gian chờ đợi trung bỡnh và số khỏch hàng trung bỡnh trong một hệ thống dịch vụ là cỏc số liệu quan trọng đối với một người quản lý. Luật Little đưa ra mối liờn hệ giữa hai số liệu này với tốc độ trung bỡnh khỏch đến hệ thống. Nú là một kết quả chung được ỏp ngay cả hàng đợi G/G/1và cũng cú thể ỏp dụng với cỏc hệ thống hàng đợi cú nguyờn tắc phục vụ khỏc khụng phải là FIFO. [9,14]
Luật Little được phỏt biểu như sau: “Trong điều kiện trạng thỏi dừng, số lượng trung bỡnh khỏch hàng trong một hệ thống hàng đợi bằng với tốc độ trung bỡnh khỏch hàng đến nhõn với thời gian trung bỡnh mà một khỏch hàng sử dụng trong hệ thống”
Nghĩa là: Trong đú, điều kiện dừng: λ<mμ
Ngoài ra, khi giả thiết rằng: và (với N là một biến ngẫu nhiờn thể hiện số lượng khỏch hàng trong hệ thống), chỳng ta cú một hỡnh thức khỏc của luật Little:
E[N]= E[T] Một hỡnh thức tương tự của luật Little liờn quan đến số lượng trung bỡnh của khỏch hàng trong hàng đợi:
- Kớ hiệu (biến ngẫu nhiờn biểu thị cho số lượng khỏch hàng trong hàng đợi được ký hiệu là Nq)
- Thời gian đợi trung bỡnh : khoảng thời gian giữa thời điểm khỏch hàng đến và thời điểm bắt đầu dịch vụ
Trong trường hợp này luật Little là:
Hoặc trong sự mụ tả giỏ trị trung bỡnh: E[Nq]= E[W]
Một đặc tớnh quan trọng của luật Little là nếu thụng qua đo lường trực tiếp biết được hai trong ba thụng số thỡ thụng số thứ ba cú thể được tớnh toỏn được nhờ luật Little. Đõy là một đặc điểm vụ cựng hữu ớch khi mà để đo tất cả
ba thụng số cú thể khú khăn trong một số ứng dụng. Luật Little được ỏp dụng trong nhiều mụi trường bao gồm cỏc ngành cụng nghiệp sản xuất và dịch vụ cũng như trong việc đưa ra cỏc quyết định hàng ngày cho cỏc cỏ nhõn.
2.1.4.4. Kỹ thuật cơ bản của mụ hỡnh M/M/m/K
Hàng đợi này là một biến thể của một hệ thống đa mỏy và chỉ cú khỏch hàng K tối đa là được phộp ở lại trong hệ thống. Hệ thống hàng đợi M/M/m/K [15,16] được mụ hỡnh húa trong hỡnh 2.12
- Cỏc xỏc suất trạng thỏi dừng
Xỏc suất trạng thỏi dừng chỳng ta cú:
Với
Để đơn giản biểu thức này thay ta cú:
với
- Một số thụng số đo hiệu suất
Trung bỡnh chiều dài hàng đợi
Khỏch đến tốc độ nguyờn tắc phục vụ Khỏch ra tốc độ à W thời gian đợi Hàng đợi (queue) λ/m λ/ m λ/ m m vị trớ … Server 1 Server 2 Server m Hỡnh 2.12: Mụ hỡnh hệ thống M/M/m/K
Trung bỡnh khỏch hàng trong hệ thống
Và do Chỳng ta cú:
Trung bỡnh thời gian đỏp ứng và thời gian đợi
Thời gian trung bỡnh cú thể đạt được bằng cỏch ỏp dụng phỏp luật của Little,
đú là: và
Ngoài cỏc hệ thống hàng đợi M/M/1, M/M/1/K, M/M/m, M/M/m/K đó giới thiệu trong luận văn, cũn cú rất nhiều mụ hỡnh hệ thống hàng đợi khỏc như M/M/m/K/M, M/G/1, M /Er /1, Er /M/1, M/G/1,G/M/m, G/G/1 được trỡnh bày khỏ chi tiết trong cỏc tài liệu [2,4,11,14].
2.1.4.5. Petri Nets mụ tả kỹ thuật hàng đợi với mụ hỡnh M/M/m/K
Để dễ ràng thấy được mối liờn hệ giữa mụ hỡnh Petri Nets mụ tả hệ thống hàng đợi M/M/m/K đó trỡnh bày trong mục 2.3.3.3 trong chương 2. Chỳng ta cú cỏc mụ tả tương ứng sau:
- Cỏc token trong cỏc place đại diện cho cỏc khỏch hàng. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
- Transition t1 hoạt động tương ứng với sự kiện khỏch hàng ra khỏi hàng đợi.
- Transition t2 là một trasition ngay lập tức (chỳng bỏ qua thời gian chuyển từ hàng đợi vào kờnh phục vụ). Đõy là một transition trung gian.
- Transition t3 đại diện cho kờnh phục vụ.
Petri Nets đƣợc thiết lập đảm bảo:
- Tổng số tokens trong p1 và p2 bằng s=K-m - Tổng số tokens trong p3 và p4 bằng m - t1 hoạt động theo tốc độ đến λ
- Tốc độ hoạt động của t3 là tốc độ phục vụ, tỉ lệ thuận với số cỏc kờnh phục vụ hoạt động m4μ(μ: tốc độ phục vụ của một kờnh phục vụ, m4: số tokens trong P4)
Hỡnh 2.13: Petri Nets mụ phỏng hàng đợi M/M/m/K
Mụ tả hoạt động của mạng trỡnh bày trong hỡnh 2.14
- t1 hoạt động sẽ lấy 1 token trong P1 và đặt vào P2. Hoạt động này tương ứng với một khỏch hàng ra khỏi hàng đợi đi vào kờnh phục vụ.
- Transition t2 được kớch hoạt do place đầu vào P2 cú token, sau đú t2 hoạt động sẽ lấy đi 1 token trong P2 và một token trong P3, đặt một token vào P4 và P1 . Hoạt động này tương ứng với một khỏch hàng rời khỏi kờnh phục vụ, đồng thời một khỏch hàng khỏc sẽ rời khỏi hàng đợi đi vào kờnh phục vụ và sau đú một thời gian ngẫu nhiờn một khỏch hàng sẽ bổ sung vào hàng đợi.
- Transition t3 được kớch hoạt do place đầu vào P4 cú token, sau một thời gian trễ nào đú t3 hoạt động sẽ lấy đi 1 token trong P4 và đặt một token vào P3. Hoạt động này tương ứng với một khỏch hàng được đưa vào kờnh phục vụ. Như vậy đảm bảo được yờu cầu tại một thời điểm hệ thống chỉ cú tối đa m khỏch hàng được phục vụ.