2 Lý thuyết Galois
3.3.2 Dựng đa giác đều bằng thước kẻ và compa
Trong phần này ta sẽ tìm điều kiện cho một số tự nhiên n để đa giác đều n cạnh dựng được bằng thước kẻ và compa.
Định lý 3.13. Một đa giác đều n cạnh dựng được nếu và chỉ nếu ϕ(n) là một lũy thừa của 2, trong đó ϕ(n) là hàm Euler.
Ví dụ 3.3. Đa giác đều 9 cạnh không dựng được vì ϕ(9) = 6 không là lũy thừa của 2. Đa giác đều 17 cạnh là dựng được vì ϕ(17) = 16 = 24.
Nếu n phân tích thành các thừa số nguyên tố có dạng n = pm1 1 pm2 2 . . . pmr r , thì ϕ(n) = Qr i=1pmi−1
i (pi −1). Do đó ϕ(n) là một lũy thừa của 2 nếu và chỉ nếu n có dạng 2sq1q2. . . qr, trong đó r, s ≥ 0 và qi là các số nguyên tố có dạng
3k+ 1.
Tiếp tục để ý rằng 2k + 1 là số nguyên tố, thì k phải có dạng 2t. Tóm lại, các qi là các số nguyên tố Fermat. Ta nhận được kết quả sau:
Hệ quả 3.3. Một đa giác đều n cạnh dựng được nếu và chỉ nếu n có dạng
n = 2sq1q2. . . qr
trong đó r, s ≥0 và qi là các số nguyên tố Fermat.
C) TÀI LIỆU HỌC TẬP
[1]. Nguyễn Duy Thuận (2007), Giáo trình lý thuyết phương trình đại số. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm.
[2]. Ngô Việt Trung (2006), Lý thuyết Galois. Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[3]. Dương Quốc Việt (2007), Cơ sở lý thuyết Galois. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm.
D) CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN Bài 3.1. Chứng minh rằng các phương trình sau giải được bằng căn thức trên
Q
a) x6 −4x3 + 4 = 0; b) x4 −5x2 + 6 = 0;
c) x5 + 6x3 + 9x = 0; d) x4 + 3x3 −2x−6 = 0.
Bài 3.2. Hãy xây dựng công thức nghiệm của các phương trình tổng quát bậc
2,3,4.
Bài 3.3. Chứng minh rằng không thể dùng thước kẻ và compa để dựng góc
100, 200, 200.
Bài 3.4. Chứng minh rằng không thể dùng thước kẻ và compa để dựng một tam giác cân biết hai đường phân giác.
Bài 3.5. Chứng minh rằng không thể dùng thước kẻ và compa để dựng một tam giác biết ba đường phân giác.
Bài 3.6. Trình bày cách dựng đa giác đều 5 cạnh và 17 cạnh.
Bài 3.7. Giả sử ta có đồ thị đường cong parabol y = x2 trong mặt phẳng tọa độ. Chứng minh rằng ta có thể dùng bằng thước kẻ và compa dựng độ dài
3
√
Tài liệu tham khảo
[1] Hoàng Xuân Sính (2008), Đại số đại cương. Nhà xuất bản giáo dục.
[2] Nguyễn Duy Thuận (2007), Giáo trình lý thuyết phương trình đại số. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm.
[3] Ngô Việt Trung (2006), Lý thuyết Galois. Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[4] Nguyễn Chánh Tú (2006), Mở rộng trường và lý thuyết Galois. Nhà xuất bản giáo dục.
[5] Dương Quốc Việt (2005), Lý thuyết Galois và lý thuyết các mở rộng trường. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm.
[6] Dương Quốc Việt (2007), Cơ sở lý thuyết Galois. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm.