2 Lý thuyết Galois
2.4 Mở rộng xyclic
Định nghĩa 2.7. Cho F là một mở rộng của trường K. Trường F được gọi là một mở rộng xyclic (tương ứng mở rộng Abel) nếu F là một mở rộng Galois của
K và Gal(F, K) là một nhóm xyclic (tương ứng Abel). Trong trường hợp nhóm xyclic (tương ứng Abel) Gal(F, K) có cấp hữu hạn n thì F được gọi là một mở rộng xyclic (tương ứng Abel) cấp n của K.
Ví dụ 2.8. (i) Trường số phức C là một mở rộng xyclic cấp 2 của trường số thực R.
(ii) Trường Q(√
2) là một mở rộng xyclic cấp 2 của trường số hữu tỷ Q.
(iii) Trường Q(√
2,√
Trước khi nghiên cứu về mở rộng xyclic, ta cần định nghĩa và bổ đề sau. Định nghĩa 2.8. Giả sửS là một tập hợp khác rỗng các tự đẳng cấu của trường
F. Tập S được gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi a1, a2, . . . , an ∈ F và với mọi
σ1, σ2, . . . , σn ∈ Sn(n ≤ 1) sao cho
a1σ1(u) +a2σ2(u) +. . .+ anσn(u) = 0
với mọi u ∈ F, suy ra ai = 0 với mọi i.
Bổ đề 2.2. Nếu S là một tập khác rỗng các tự đẳng cấu đôi một khác nhau của trường F thì S là độc lập tuyến tính.
Định lý 2.11. Cho n là một số nguyên dương không chia hết cho đặc số của trường K và giả sử K chứa một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị. Khi đó một trường F là một mở rộng xyclic cấp n của K nếu và chỉ nếu tồn tại một phần tử khác không a ∈ K sao cho đa thức Xn −a ∈ K[x] bất khả quy và F là một trường phân rã của đa thức này.
Nếu u là một nghiệm của đa thức xn −a ∈ K[x] thì ta nói rằng u là một căn bậc n của a và ký hiệu là √n
a.
Hệ quả 2.3. Cho n là một số nguyên dương không chia hết cho đặc số của trường K và giả sử K chứa một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị. Khi đó nếu
F là một mở rộng xyclic cấp d của K với d là một ước của n thì tồn tại một phần tử khác không a ∈ K sao cho F = K(√n
a).
C) TÀI LIỆU HỌC TẬP
[1]. Nguyễn Chánh Tú (2006), Mở rộng trường và lý thuyết Galois. Nhà xuất bản giáo dục.
[2]. Ngô Việt Trung (2006), Lý thuyết Galois. Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[3]. Dương Quốc Việt (2007), Cơ sở lý thuyết Galois. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm.
D) CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN Bài 2.1. Xác định nhóm Galois của các mở rộng sau trên Q:
a) Q(√ 3,√ 5); b) Q(√3 5); c) Q(√ 2,√ 3,√ 5); d) Q(√ 3, i). Bài 2.2. Cho F là một mở rộng của trường K và σ ∈ Gal(F, K). Chứng minh rằng nếu u ∈ F là một nghiệm của f(x) thì σ(u) cũng là một nghiệm của f(x).
Bài 2.3. Giả sử F là một mở rộng bậc hữu hạn của K và σ ∈ Gal(F, K). Chứng minh rằng: Nếu σ(u) = u ∈ F thì σ ∈ Gal(F, K(u)); Gal(F, K)
hữu hạn.
Bài 2.4. Cho f(x) là một đa thức bậc ntách được trênK vàF là trường phân rã của f(x) trên K. Chứng minh rằng: [Gal(F, K)] là một ước của n!. Bài 2.5. a) Chứng minh rằngGal(Q(√
3),Q)có cấp2vàGal(Q(√ 3),Q) ∼= Z 2. b) Giả sử d ∈ Q và √ d /∈ Q. Chứng minh rằng Gal(Q(√ d),Q) ∼= Z 2. Bài 2.6. a) Chứng minh rằng nhóm Galois của (x2 −2)(x2) ∈ Q[x] đẳng cấu
với Z2 ×Z2.
b) Chứng minh rằng nhóm Galois của x3 −2∈ Q[x] đẳng cấu với S3. Bài 2.7. Cho một tháp các trường K ⊂ E ⊂ F. Giả sử E là mở rộng chuẩn
tắc của K và σ ∈ Gal(F, K). Chứng minh rằng σ(E) = E. Bài 2.8. Cho một tháp các trường K ⊂ E ⊂ F.
a) Chứng minh rằng nếu F là một mở rộng Galois của K thì F cũng là một mở rộng Galois của E.
b) Giả sử F là một mở rộng Galois E và E là một mở rộng Galois của K. F có phải là mở rộng Galois của K không?
c) Giả sử F là một mở rộng Galois K và E là một mở rộng chuẩn tăc của K. Chứng minh rằng E là mở rộng Galois của K?
d) Giả sử E là một mở rộng chuẩn tắc của K. Chứng minh rằng nếu σ ∈ Gal(F, K) thì σE ∈ Gal(F, K).
Bài 2.9. F là một mở rộng Galois của K và E là trường trung gian của mở rộng này. Chứng minh rằng E là một mở rộng Galois của K nếu và chỉ nếu σ(E) = E với mọi σ ∈ Gal(F, K).
Bài 2.10. Hãy biểu diễn tương ứng Galois trong các mở rộng sau trên Q :
a) Q(√ 3,√ 5); b) Q(√ 2, i); c) Q(√ 2,√ 3,√ 4). Bài 2.11. Cho đa thức f(x) =x4 −2∈ Q[x].
a) Xác định trường phân rã F của f(x) trên Q. b) Xác định nhóm Galois Gal(F,Q) của f(x), c) Chứng minh rằng Gal(F,Q) ∼= D
4,
d) Hãy bỉểu diễn tương ứng Galois của F trên Q.
Bài 2.12. Cho G là một nhóm hữu hạn các tự đẳng cấu của trường F và K là trường bất động của G. Chứng minh rằng F là một mở rộng Galois của K.
Bài 2.13. Chứng minh rằng trên trường có đặc số 0 thì ba khái niệm: trường phân rã của một đa thức, mở rộng bậc hữu hạn và chuẩn tắc; mở rộng Galois, là ba khái niệm tương đương.
Bài 2.14. Tính các đa thức chia đường tròn bậc n trên Q với n ≤ 24. Bài 2.15. Giả sử F5 là một trường chia đường tròn bậc 5 trên Q.
a) Xác định nhóm Gal(F5,Q),
b) Xác định tất cả các nhóm con của Gal(F5,Q), c) Xác định trường trung gian của mở rộng F5 trên Q, d) Xác định đa thức tối tiểu của Q(cos(√2π
5)) trên Q và chứng minh rằng cos(√2π 5) = −1+√ 5 4 .
Bài 2.16. Giả sử Fn là một trường chia đường tròn bậc n trên Q. Xác định cấu trúc nhóm Gal(Fn,Q) với mọi n.
Bài 2.17. Giả sử n > 2 và w là một căn nguyên thuỷ bậc n của đơn vị trên Q. Chứng minh rằng:
a) w +w−1 = 2cos(2π
n ), b) [Q(w+ w−1) : Q] = ϕ(n)
2 .
Bài 2.18. Chứng minh rằng trường phân rã của đa thức x5−2là một mở rộng xyclic cấp 5 của Q(w), trong đó w là căn nguyên thuỷ bậc 5 của đơn vị. Bài 2.19. Giả sử trường K chứa một căn nguyên thuỷ bậc n của đơn vị và
F = K(√n
a) với a 6= 0 và a ∈ K. Chứng minh rằng F là một mở rộng xyclic cấp n của K nếu và chỉ nếu n không chia hết cho char(K) và đa thức xn −a là bất khả quy trên K.
Bài 2.20. Cho K là một trường, n = mps với char(K) = p và m không chia hết cho p. Giả sử K chứa một căn nguyên thuỷ bậc n của đơn vị và F là trường phân rã của đa thức xn−a bất khả quy trên K. Chứng minh rằng F là mở rộng xyclic cấp m trên K.
Chương 3 Ứng dụng
Số tiết: 5 (Lý thuyết: 04 tiết; bài tập, thảo luận: 01 tiết) A) MỤC TIÊU
- Sinh viên hiểu được các ứng dụng của lý thuyết Galois: ứng dụng trong các bài toán giải phương trình bằng căn thức và ứng dụng trong bài toán dựng hình bằng thước kẻ và compa.
- Vận dụng được trong các bài tập cụ thể: Tìm nghiệm của các phương trình đa thức bậc 3, bậc 4; chứng minh rằng phương trình đa thức giải được hay không giải được bằng căn thức; dựng đa giác bằng thước kẻ và compa.
- Sinh viên chủ động, tích cực nghiên cứu tài liệu. B) NỘI DUNG
3.1 Giải phương trình bằng căn thức3.1.1 Định nghĩa