2 Lý thuyết Galois
3.1 Giải phương trình bằng căn thức
Định nghĩa 3.1. F được gọi là một mở rộng căn của trường K nếu tồn tại một tháp trường K = K0 ⊂K1 ⊂ . . . ⊂ Kr−1 ⊂Kr = F (C) sao cho Ki+1 = Ki( ni√ ai), ai ∈ Ki, i ∈ {0,1, . . . , r−1}. Ví dụ 3.1. Q(√4 2,√
−1) là một mở rộng căn trên Q vì nó có một tháp trường
Q ⊂ Q(√4
2) ⊂ Q(√4
2)(√ −1).
Hệ quả 3.1. Nếu K là một trường có đặc số 0 và trường F là một mở rộng căn của K thì F là một mở rộng đơn của K.
Định nghĩa 3.2. Giả sử K là một trường f(x) ∈ K[x], bậc n > 0. Phương trình f(x) = 0 được gọi là giải được bằng căn thức trên K nếu có một trường
Ví dụ 3.2. Phương trình x4 −2 = 0 giải được bằng căn thức, trường phân rã của nó nằm trong mở rộng căn:
Q ⊂ Q(√4
2) ⊂Q(√4
2)(√ −1). 3.1.2 Tiêu chuẩn giải được bằng căn thức
Định lý 3.1. Giả sử K là một trường và f(x) ∈ K[x]. Khi đó nếu phương trình f(x) = 0 giải được bằng căn thức thì nhóm Galois của đa thức f(x) là nhóm giải được.
Trong trường hợp trường có đặc số 0, ta có đặc trưng dưới đây cho một phương trình đại số giải được bằng căn thức.
Định lý 3.2. Cho K là một trường có đặc số 0 và f(x) là một đa thức bậc dương bất khả quy trên K. Gọi E là một trường phân rã của đa thức này trên
K. Khi đó phương trình f(x) = 0 giải được bằng căn thức nếu và chỉ nếu nhóm Galois Gal(E, K) là nhóm giải được.
Với trường có đặc số bất kỳ, ta nhận được một kết quả sâu sắc, nhưng cũng đòi hỏi trường cơ sở phải chứa tất cả các căn của đơn vị.
Định lý 3.3. Cho K là trường chứa tất cả các căn của đơn vị, f(x) là một đa thức bậc dương bất khả quy trên trường K và E là một trường phân rã của đa thức này. Khi đó phương trình f(x) = 0 giải được bằng căn thức nếu và chỉ nếu nhóm Gal(E, K) là một nhóm giải được và có cấp không chia hết cho đặc số của trường K.
3.2 Phương trình tổng quát bậc n3.2.1 Định nghĩa 3.2.1 Định nghĩa
Định nghĩa 3.3. Một phương trình đại số một ẩn bậc n là một phương trình có dạng
a0xn +a1xn−1 +. . .+an−1x+an = 0,
trong đó các hệ số a0, a1, . . . , an là những số tuỳ ý thuộc trường K, a0 6= 0. Định nghĩa 3.4. K là một trường cho trước và u1, u2, . . . , un là các biến độc lập, T = K(u1, u2, . . . , un) là trường các phân thức u1, u2, . . . , un trên K. Khi đó P(x) = xn +u1xn−1 + . . .+ un ∈ T[x] được gọi là đa thức tổng quát bậc n
trên K, còn phương trình xn +u1xn−1 +. . .+un = 0 được gọi là phương trình tổng quát bậc n trên K.
Xét Q(x) = (x−x1)(x−x2). . .(x−xn), trong đó x1, x2, . . . , xn là các biến độc lập. Bằng cách nhân các thừa số của vế phải với Q(x), ta nhận được:
Q(x) =xn −σ1xn−1 +. . .(−1)n−1σn−1x+ (−1)nσn, với σ1 = x1 +x2 +. . .+xn; σ2 = x1x2 + x1x3 +. . .+ xn−1xn; . . . σk = x1x2. . . xk +x2x3. . . xk+1+. . .+xn−k+1xn−k+2. . . xn; σn = x1x2. . . xn.
trong đóσ1, σ2, . . . , σn là các đa thức đối xứng cơ bản của các biếnx1, x2, . . . , xn. bởi Định lý Viéte. ĐặtE = K(σ1, σ2, . . . , σn), khi đóQ(x) ∈ E[x]. Đương nhiên F = E(x1, x2, . . . , xn) =K(x1, x2, . . . , xn) là trường phân rã của Q(x) trên E, và Q(x) là một đa thức tách được.
3.2.2 Nhóm Galois của phương trình tổng quát bậc n
Bổ đề 3.1. Nhóm Galois của phương trình tổng quát bậc n đẳng cấu với nhóm
Sn các phép thế trên tập gồm n phần tử, tức là, Sn ∼= Gal(F, K).
Định lý 3.4. Phương trình tổng quát bậc hai giải được bằng căn thức.
Định lý 3.5. Phương trình tổng quát bậc ba giải được bằng căn thức.
Định lý 3.6. Phương trình tổng quát bậc bốn giải được bằng căn thức.
Định lý 3.7. Nhóm các phép thế Sn không giải được nếu n≥ 5.
Từ Định lý 3.7 và Định lý 3.1 ta nhận được một kết quả quan trọng sau: Định lý 3.8. (Định lý Abel). Không thể giải bằng căn thức những phương trình tổng quát bậc lớn hơn 4.
3.3 Dựng hình bằng thước kẻ và compa
3.3.1 Tiêu chuẩn dựng được bằng thước kẻ và compa
Định nghĩa 3.5. Một số phức α được gọi là dựng được thông qua một bước dựng hình nếu như α là nghiệm của một đa thức bậc dương không vượt quá 2
với các hệ số phức đã được coi là dựng được bằng thước kẻ và compa.
Bổ đề 3.2. Giả sử K là một trường có đặc số 0 và F là một trường mở rộng của trường K. Khi đó [F : K] ≤ 2 nếu và chỉ nếu F là một trường phân rã của một đa thức bất khả quy có bậc không lớn hơn 2 trên K. Trong trường hợp này
Nhận xét.
(i) Nếu các số phức ξ1, ξ2, . . . , ξd dựng được bằng thước kẻ và compa thì các số của trường Q(ξ1, ξ2, . . . , ξd) với Q là trường các số hữu tỷ cũng dựng được bằng thước kẻ và compa.
(ii) Nếu trường K mà các phần tử của nó được coi là dựng được, thì một số phức được dựng bằng một bước dựng khi và chỉ khi nó thuộc một mở rộng E củaK sao cho [F : K] ≤2. Khi đó các phần tử của E cũng đều dựng được qua một bước dựng hình. Định lý sau đây cho ta biết được điều kiện cần và đủ để một đại lượng hình học dựng được bằng thước kẻ và compa.
Định lý 3.9. Từ các đại lượng phức cho trước ξ1, ξ2, . . . , ξd coi như đã dựng được tạo nên một trường K = Q(ξ1, ξ2, . . . , ξd) với Q là trường các số hữu tỷ. Khi đó một số phức α được gọi là dựng được bằng thước kẻ và compa nếu và chỉ nếu α ∈ F, với F là một trường phân rã của một đa thức trên K có
[F : K] = 2r.
Hệ quả 3.2. Giả sử một số phức α dựng được bằng thước kẻ và compa. Khi đó
α là nghiệm của một đa thức bất khả quy có bậc 2m trên trường số hữu tỷ Q. Sau đây ta xét ba bài toán dựng hình có một vai trò quan trọng trong sự phát triển của môn hình học thời Hy Lạp cổ đại.
1. Gấp đôi một hình lập phương: Dựng một hình lập phương có thể tích gấp đôi thể tích của một hình lập phương cho trước.
2. Chia ba một góc: Dựng một góc có số đo bằng 13 số đo một góc cho trước. 3. Cầu phương hình tròn: Dựng một hình vuông có diện tích bằng diện tích của một hình tròn cho trước.
Định lý 3.10. Không thể gấp đôi một hình lập phương.
Định lý 3.11. Không thể chia ba một góc.
Định lý 3.12. Không thể cầu phương hình tròn.
3.3.2 Dựng đa giác đều bằng thước kẻ và compa
Trong phần này ta sẽ tìm điều kiện cho một số tự nhiên n để đa giác đều n cạnh dựng được bằng thước kẻ và compa.
Định lý 3.13. Một đa giác đều n cạnh dựng được nếu và chỉ nếu ϕ(n) là một lũy thừa của 2, trong đó ϕ(n) là hàm Euler.
Ví dụ 3.3. Đa giác đều 9 cạnh không dựng được vì ϕ(9) = 6 không là lũy thừa của 2. Đa giác đều 17 cạnh là dựng được vì ϕ(17) = 16 = 24.
Nếu n phân tích thành các thừa số nguyên tố có dạng n = pm1 1 pm2 2 . . . pmr r , thì ϕ(n) = Qr i=1pmi−1
i (pi −1). Do đó ϕ(n) là một lũy thừa của 2 nếu và chỉ nếu n có dạng 2sq1q2. . . qr, trong đó r, s ≥ 0 và qi là các số nguyên tố có dạng
3k+ 1.
Tiếp tục để ý rằng 2k + 1 là số nguyên tố, thì k phải có dạng 2t. Tóm lại, các qi là các số nguyên tố Fermat. Ta nhận được kết quả sau:
Hệ quả 3.3. Một đa giác đều n cạnh dựng được nếu và chỉ nếu n có dạng
n = 2sq1q2. . . qr
trong đó r, s ≥0 và qi là các số nguyên tố Fermat.
C) TÀI LIỆU HỌC TẬP
[1]. Nguyễn Duy Thuận (2007), Giáo trình lý thuyết phương trình đại số. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm.
[2]. Ngô Việt Trung (2006), Lý thuyết Galois. Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[3]. Dương Quốc Việt (2007), Cơ sở lý thuyết Galois. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm.
D) CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN Bài 3.1. Chứng minh rằng các phương trình sau giải được bằng căn thức trên
Q
a) x6 −4x3 + 4 = 0; b) x4 −5x2 + 6 = 0;
c) x5 + 6x3 + 9x = 0; d) x4 + 3x3 −2x−6 = 0.
Bài 3.2. Hãy xây dựng công thức nghiệm của các phương trình tổng quát bậc
2,3,4.
Bài 3.3. Chứng minh rằng không thể dùng thước kẻ và compa để dựng góc
100, 200, 200.
Bài 3.4. Chứng minh rằng không thể dùng thước kẻ và compa để dựng một tam giác cân biết hai đường phân giác.
Bài 3.5. Chứng minh rằng không thể dùng thước kẻ và compa để dựng một tam giác biết ba đường phân giác.
Bài 3.6. Trình bày cách dựng đa giác đều 5 cạnh và 17 cạnh.
Bài 3.7. Giả sử ta có đồ thị đường cong parabol y = x2 trong mặt phẳng tọa độ. Chứng minh rằng ta có thể dùng bằng thước kẻ và compa dựng độ dài
3
√
Tài liệu tham khảo
[1] Hoàng Xuân Sính (2008), Đại số đại cương. Nhà xuất bản giáo dục.
[2] Nguyễn Duy Thuận (2007), Giáo trình lý thuyết phương trình đại số. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm.
[3] Ngô Việt Trung (2006), Lý thuyết Galois. Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[4] Nguyễn Chánh Tú (2006), Mở rộng trường và lý thuyết Galois. Nhà xuất bản giáo dục.
[5] Dương Quốc Việt (2005), Lý thuyết Galois và lý thuyết các mở rộng trường. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm.
[6] Dương Quốc Việt (2007), Cơ sở lý thuyết Galois. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm.