2 Lý thuyết Galois
3.3.1 Tiêu chuẩn dựng được bằng thước kẻ và compa
Định nghĩa 3.5. Một số phức α được gọi là dựng được thông qua một bước dựng hình nếu như α là nghiệm của một đa thức bậc dương không vượt quá 2
với các hệ số phức đã được coi là dựng được bằng thước kẻ và compa.
Bổ đề 3.2. Giả sử K là một trường có đặc số 0 và F là một trường mở rộng của trường K. Khi đó [F : K] ≤ 2 nếu và chỉ nếu F là một trường phân rã của một đa thức bất khả quy có bậc không lớn hơn 2 trên K. Trong trường hợp này
Nhận xét.
(i) Nếu các số phức ξ1, ξ2, . . . , ξd dựng được bằng thước kẻ và compa thì các số của trường Q(ξ1, ξ2, . . . , ξd) với Q là trường các số hữu tỷ cũng dựng được bằng thước kẻ và compa.
(ii) Nếu trường K mà các phần tử của nó được coi là dựng được, thì một số phức được dựng bằng một bước dựng khi và chỉ khi nó thuộc một mở rộng E củaK sao cho [F : K] ≤2. Khi đó các phần tử của E cũng đều dựng được qua một bước dựng hình. Định lý sau đây cho ta biết được điều kiện cần và đủ để một đại lượng hình học dựng được bằng thước kẻ và compa.
Định lý 3.9. Từ các đại lượng phức cho trước ξ1, ξ2, . . . , ξd coi như đã dựng được tạo nên một trường K = Q(ξ1, ξ2, . . . , ξd) với Q là trường các số hữu tỷ. Khi đó một số phức α được gọi là dựng được bằng thước kẻ và compa nếu và chỉ nếu α ∈ F, với F là một trường phân rã của một đa thức trên K có
[F : K] = 2r.
Hệ quả 3.2. Giả sử một số phức α dựng được bằng thước kẻ và compa. Khi đó
α là nghiệm của một đa thức bất khả quy có bậc 2m trên trường số hữu tỷ Q. Sau đây ta xét ba bài toán dựng hình có một vai trò quan trọng trong sự phát triển của môn hình học thời Hy Lạp cổ đại.
1. Gấp đôi một hình lập phương: Dựng một hình lập phương có thể tích gấp đôi thể tích của một hình lập phương cho trước.
2. Chia ba một góc: Dựng một góc có số đo bằng 13 số đo một góc cho trước. 3. Cầu phương hình tròn: Dựng một hình vuông có diện tích bằng diện tích của một hình tròn cho trước.
Định lý 3.10. Không thể gấp đôi một hình lập phương.
Định lý 3.11. Không thể chia ba một góc.
Định lý 3.12. Không thể cầu phương hình tròn.