2 Lý thuyết Galois
2.3 Áp dụng định lý Galois vào trường chia đường tròn
Định nghĩa 2.4. Cho K là một trường và n là một số nguyên dương. Khi đó, các nghiệm của nhị thức xn −1 ∈ K[x] gọi là các căn bậc n của đơn vị. Phần tử w được gọi là căn nguyên thủy bậc n của đơn vị nếu w là một căn bậc n của đơn vị đồng thời nhóm nhóm xyclic sinh bởi w trùng với nhóm nhân các căn bậc
n của đơn vị.
Nhận xét. (i) Tập các căn bậc n của đơn vị lập thành một nhóm xyclic. Nếu char(K) không là ước của n thì xn−1 và nxn−1 nguyên tố cùng nhau. Do đó nhị thức xn −1 là một đa thức tách được trên K và vì vậy nó có đúng n nghiệm phân biệt trong F. Khi đó tập các căn bậc n của đơn vị lập thành một nhóm xyclic cấp n. Phần tử sinh của nhóm này gọi là căn nguyên thủy bậc n
của đơn vị.
(ii) Nếu char(K) = p và p là ước của n, thì ta có thể viết n = pkm với m nguyên tố với p. Khi đó xn −1 = (xm −1)pk và do đó tập các căn bậc n của đơn vị trùng với tập các căn nguyên thủy bậc m của đơn vị.
2.3.2 Trường chia đường tròn
Định nghĩa 2.5. Trường phân rã của đa thức xn−1 trên trường K được gọi là trường chia đường tròn bậc n của K.
Để mô tả trường chia đường tròn ta cần đến hàm Eulerϕ(n)là các số nguyên dương i ≤ n sao cho (i, n) = 1. Ta cũng cần đến nhóm các phần tử khả nghịch Un trong vành Zn. Rõ ràng (i, n) = 1 nếu và chỉ nếu i khả nghịch trong Zn. Vậy |Un| = ϕ(n).
bậc n của đơn vị. Khi đó G =< w > là một nhóm xyclic cấp n. Nếu ζ là một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị thì ζ ∈ G và do đó ζ = wi (1 ≤ i ≤ n). Nhóm G =< w >=< wi > nếu và chỉ nếu (i, n) = 1. Vậy số các căn nguyên thủy bậc n chính là ϕ(n).
2.3.3 Áp dụng
Định lý 2.10. Cho n là một số nguyên dương không chia hết cho đặc số của trường K và F là trường chia đường tròn bậc n của K. Khi đó
(i) F = K(w) với w là một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị.
(ii) F là một mở rộng Galois của K và nhóm Gal(F, K) đẳng cấu với một nhóm con của Un. Hơn nữa Gal(F, K) là một nhóm Abel có cấp là một ước của
ϕ(n).
(iii) Nếu n là một số nguyên tố thì Gal(F, K) là một nhóm xyclic.
Định nghĩa 2.6. Giả sử n là một số nguyên dương không chia hết cho đặc số của một trường K và F là trường chia đường tròn bậc n của K.Đa thức chia đường tròn bậc n trên K được định nghĩa bởi:
φn(x) = (x−w1)(x−w2). . .(x−wϕ(n)),
trong đó w1, w2, . . . , wϕ(n) ∈ F là các căn nguyên thủy bậc n của đơn vị.
Ví dụ 2.6. φ1(x) =x−1;φ2(x) = x−(−1) = x+ 1. Nếu K = Q thì
φ3(x) = (x−(−1 +√
3i)/2)(x−(−1−√3i)/2) = x2 +x+ 1 và
φ4(x) = (x−i)(x+i) = x2 + 1.
Mệnh đề 2.2. Giả sử n là số nguyên dương không chia hết cho đặc số của một trường K và φn(x) là đa thức chia đường tròn bậc n trên K. Khi đó
(i) xn −1 = Q
d\n
φd(x).
(ii) Các hệ tử của φn(x) đều thuộc vành con Z∗ = {m.1/m ∈ Z} với 1 là đơn vị của K.
Chú ý. Mệnh đề 2.2 cho ta một cách tính φn(x) như sau: φn(x) = x n −1 Q d\n,d<n φd(x). Chẳng hạn, nếu p là một số nguyên tố thì φp(x) = x p−1 φ1(x) = xp−1 x−1 = x p−1 +xp−2 +. . .+ 1.
Trong trường hợp K = Q thì Q6(x) = x 6 −1 φ1(x)φ2(x)φ3(x) = x6 −1 (x−1)(x+ 1)(x2 +x+ 1) = x 2 −x+ 1. Lấy K = Q ở Mệnh đề 2.2 ta có kết quả sau:
Mệnh đề 2.3. Giả sử F là trường chia đường tròn bậc n của trường số hữu tỷ
Q và φn(x) là đa thức chia đường tròn bậc n trên Q. Khi đó (i) φn(x) bất khả quy trên Q.
(ii) [F : Q] = ϕ(n).
(iii) Gal(F,Q) ∼= U
n.
Ví dụ 2.7. Giả sử w là một căn nguyên thủy bậc 7 của đơn vị trong trường số phức C. Khi đó trường Q(w) là trường chia đường tròn bậc 7 của Q. Theo Mệnh đề 2.3, cấp của Gal(Q(w),Q) là ϕ(7) = 6 và Gal(Q(w),Q) ∼= U
7 cho bởi σi 7→ i, với i = 1,2, . . . ,6. Các nhóm của U7 là:
< 1>= {1}, < 2 >=< 4>= {1,2,4}, < 6 >= 1,6, < 3 >=< 5>= U7.
Do đó các nhóm con của G = Gal(Q(w),Q) tương ứng là:
< σ1 >= {id}, < σ2 >=< σ4 >= {id, σ2, σ4}, < σ6 >= {id, σ6}, < σ3 >=< σ5 >= G.
Các trường trung gian của mở rộng Q(w) trên Q qua tương ứng Galois là:
Q(w),Q(w +w2 + w4),Q(cos(2π 7 ),Q.
2.4 Mở rộng xyclic
Định nghĩa 2.7. Cho F là một mở rộng của trường K. Trường F được gọi là một mở rộng xyclic (tương ứng mở rộng Abel) nếu F là một mở rộng Galois của
K và Gal(F, K) là một nhóm xyclic (tương ứng Abel). Trong trường hợp nhóm xyclic (tương ứng Abel) Gal(F, K) có cấp hữu hạn n thì F được gọi là một mở rộng xyclic (tương ứng Abel) cấp n của K.
Ví dụ 2.8. (i) Trường số phức C là một mở rộng xyclic cấp 2 của trường số thực R.
(ii) Trường Q(√
2) là một mở rộng xyclic cấp 2 của trường số hữu tỷ Q.
(iii) Trường Q(√
2,√
Trước khi nghiên cứu về mở rộng xyclic, ta cần định nghĩa và bổ đề sau. Định nghĩa 2.8. Giả sửS là một tập hợp khác rỗng các tự đẳng cấu của trường
F. Tập S được gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi a1, a2, . . . , an ∈ F và với mọi
σ1, σ2, . . . , σn ∈ Sn(n ≤ 1) sao cho
a1σ1(u) +a2σ2(u) +. . .+ anσn(u) = 0
với mọi u ∈ F, suy ra ai = 0 với mọi i.
Bổ đề 2.2. Nếu S là một tập khác rỗng các tự đẳng cấu đôi một khác nhau của trường F thì S là độc lập tuyến tính.
Định lý 2.11. Cho n là một số nguyên dương không chia hết cho đặc số của trường K và giả sử K chứa một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị. Khi đó một trường F là một mở rộng xyclic cấp n của K nếu và chỉ nếu tồn tại một phần tử khác không a ∈ K sao cho đa thức Xn −a ∈ K[x] bất khả quy và F là một trường phân rã của đa thức này.
Nếu u là một nghiệm của đa thức xn −a ∈ K[x] thì ta nói rằng u là một căn bậc n của a và ký hiệu là √n
a.
Hệ quả 2.3. Cho n là một số nguyên dương không chia hết cho đặc số của trường K và giả sử K chứa một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị. Khi đó nếu
F là một mở rộng xyclic cấp d của K với d là một ước của n thì tồn tại một phần tử khác không a ∈ K sao cho F = K(√n
a).
C) TÀI LIỆU HỌC TẬP
[1]. Nguyễn Chánh Tú (2006), Mở rộng trường và lý thuyết Galois. Nhà xuất bản giáo dục.
[2]. Ngô Việt Trung (2006), Lý thuyết Galois. Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[3]. Dương Quốc Việt (2007), Cơ sở lý thuyết Galois. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm.
D) CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN Bài 2.1. Xác định nhóm Galois của các mở rộng sau trên Q:
a) Q(√ 3,√ 5); b) Q(√3 5); c) Q(√ 2,√ 3,√ 5); d) Q(√ 3, i). Bài 2.2. Cho F là một mở rộng của trường K và σ ∈ Gal(F, K). Chứng minh rằng nếu u ∈ F là một nghiệm của f(x) thì σ(u) cũng là một nghiệm của f(x).
Bài 2.3. Giả sử F là một mở rộng bậc hữu hạn của K và σ ∈ Gal(F, K). Chứng minh rằng: Nếu σ(u) = u ∈ F thì σ ∈ Gal(F, K(u)); Gal(F, K)
hữu hạn.
Bài 2.4. Cho f(x) là một đa thức bậc ntách được trênK vàF là trường phân rã của f(x) trên K. Chứng minh rằng: [Gal(F, K)] là một ước của n!. Bài 2.5. a) Chứng minh rằngGal(Q(√
3),Q)có cấp2vàGal(Q(√ 3),Q) ∼= Z 2. b) Giả sử d ∈ Q và √ d /∈ Q. Chứng minh rằng Gal(Q(√ d),Q) ∼= Z 2. Bài 2.6. a) Chứng minh rằng nhóm Galois của (x2 −2)(x2) ∈ Q[x] đẳng cấu
với Z2 ×Z2.
b) Chứng minh rằng nhóm Galois của x3 −2∈ Q[x] đẳng cấu với S3. Bài 2.7. Cho một tháp các trường K ⊂ E ⊂ F. Giả sử E là mở rộng chuẩn
tắc của K và σ ∈ Gal(F, K). Chứng minh rằng σ(E) = E. Bài 2.8. Cho một tháp các trường K ⊂ E ⊂ F.
a) Chứng minh rằng nếu F là một mở rộng Galois của K thì F cũng là một mở rộng Galois của E.
b) Giả sử F là một mở rộng Galois E và E là một mở rộng Galois của K. F có phải là mở rộng Galois của K không?
c) Giả sử F là một mở rộng Galois K và E là một mở rộng chuẩn tăc của K. Chứng minh rằng E là mở rộng Galois của K?
d) Giả sử E là một mở rộng chuẩn tắc của K. Chứng minh rằng nếu σ ∈ Gal(F, K) thì σE ∈ Gal(F, K).
Bài 2.9. F là một mở rộng Galois của K và E là trường trung gian của mở rộng này. Chứng minh rằng E là một mở rộng Galois của K nếu và chỉ nếu σ(E) = E với mọi σ ∈ Gal(F, K).
Bài 2.10. Hãy biểu diễn tương ứng Galois trong các mở rộng sau trên Q :
a) Q(√ 3,√ 5); b) Q(√ 2, i); c) Q(√ 2,√ 3,√ 4). Bài 2.11. Cho đa thức f(x) =x4 −2∈ Q[x].
a) Xác định trường phân rã F của f(x) trên Q. b) Xác định nhóm Galois Gal(F,Q) của f(x), c) Chứng minh rằng Gal(F,Q) ∼= D
4,
d) Hãy bỉểu diễn tương ứng Galois của F trên Q.
Bài 2.12. Cho G là một nhóm hữu hạn các tự đẳng cấu của trường F và K là trường bất động của G. Chứng minh rằng F là một mở rộng Galois của K.
Bài 2.13. Chứng minh rằng trên trường có đặc số 0 thì ba khái niệm: trường phân rã của một đa thức, mở rộng bậc hữu hạn và chuẩn tắc; mở rộng Galois, là ba khái niệm tương đương.
Bài 2.14. Tính các đa thức chia đường tròn bậc n trên Q với n ≤ 24. Bài 2.15. Giả sử F5 là một trường chia đường tròn bậc 5 trên Q.
a) Xác định nhóm Gal(F5,Q),
b) Xác định tất cả các nhóm con của Gal(F5,Q), c) Xác định trường trung gian của mở rộng F5 trên Q, d) Xác định đa thức tối tiểu của Q(cos(√2π
5)) trên Q và chứng minh rằng cos(√2π 5) = −1+√ 5 4 .
Bài 2.16. Giả sử Fn là một trường chia đường tròn bậc n trên Q. Xác định cấu trúc nhóm Gal(Fn,Q) với mọi n.
Bài 2.17. Giả sử n > 2 và w là một căn nguyên thuỷ bậc n của đơn vị trên Q. Chứng minh rằng:
a) w +w−1 = 2cos(2π
n ), b) [Q(w+ w−1) : Q] = ϕ(n)
2 .
Bài 2.18. Chứng minh rằng trường phân rã của đa thức x5−2là một mở rộng xyclic cấp 5 của Q(w), trong đó w là căn nguyên thuỷ bậc 5 của đơn vị. Bài 2.19. Giả sử trường K chứa một căn nguyên thuỷ bậc n của đơn vị và
F = K(√n
a) với a 6= 0 và a ∈ K. Chứng minh rằng F là một mở rộng xyclic cấp n của K nếu và chỉ nếu n không chia hết cho char(K) và đa thức xn −a là bất khả quy trên K.
Bài 2.20. Cho K là một trường, n = mps với char(K) = p và m không chia hết cho p. Giả sử K chứa một căn nguyên thuỷ bậc n của đơn vị và F là trường phân rã của đa thức xn−a bất khả quy trên K. Chứng minh rằng F là mở rộng xyclic cấp m trên K.
Chương 3 Ứng dụng
Số tiết: 5 (Lý thuyết: 04 tiết; bài tập, thảo luận: 01 tiết) A) MỤC TIÊU
- Sinh viên hiểu được các ứng dụng của lý thuyết Galois: ứng dụng trong các bài toán giải phương trình bằng căn thức và ứng dụng trong bài toán dựng hình bằng thước kẻ và compa.
- Vận dụng được trong các bài tập cụ thể: Tìm nghiệm của các phương trình đa thức bậc 3, bậc 4; chứng minh rằng phương trình đa thức giải được hay không giải được bằng căn thức; dựng đa giác bằng thước kẻ và compa.
- Sinh viên chủ động, tích cực nghiên cứu tài liệu. B) NỘI DUNG
3.1 Giải phương trình bằng căn thức3.1.1 Định nghĩa 3.1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 3.1. F được gọi là một mở rộng căn của trường K nếu tồn tại một tháp trường K = K0 ⊂K1 ⊂ . . . ⊂ Kr−1 ⊂Kr = F (C) sao cho Ki+1 = Ki( ni√ ai), ai ∈ Ki, i ∈ {0,1, . . . , r−1}. Ví dụ 3.1. Q(√4 2,√
−1) là một mở rộng căn trên Q vì nó có một tháp trường
Q ⊂ Q(√4
2) ⊂ Q(√4
2)(√ −1).
Hệ quả 3.1. Nếu K là một trường có đặc số 0 và trường F là một mở rộng căn của K thì F là một mở rộng đơn của K.
Định nghĩa 3.2. Giả sử K là một trường f(x) ∈ K[x], bậc n > 0. Phương trình f(x) = 0 được gọi là giải được bằng căn thức trên K nếu có một trường
Ví dụ 3.2. Phương trình x4 −2 = 0 giải được bằng căn thức, trường phân rã của nó nằm trong mở rộng căn:
Q ⊂ Q(√4
2) ⊂Q(√4
2)(√ −1). 3.1.2 Tiêu chuẩn giải được bằng căn thức
Định lý 3.1. Giả sử K là một trường và f(x) ∈ K[x]. Khi đó nếu phương trình f(x) = 0 giải được bằng căn thức thì nhóm Galois của đa thức f(x) là nhóm giải được.
Trong trường hợp trường có đặc số 0, ta có đặc trưng dưới đây cho một phương trình đại số giải được bằng căn thức.
Định lý 3.2. Cho K là một trường có đặc số 0 và f(x) là một đa thức bậc dương bất khả quy trên K. Gọi E là một trường phân rã của đa thức này trên
K. Khi đó phương trình f(x) = 0 giải được bằng căn thức nếu và chỉ nếu nhóm Galois Gal(E, K) là nhóm giải được.
Với trường có đặc số bất kỳ, ta nhận được một kết quả sâu sắc, nhưng cũng đòi hỏi trường cơ sở phải chứa tất cả các căn của đơn vị.
Định lý 3.3. Cho K là trường chứa tất cả các căn của đơn vị, f(x) là một đa thức bậc dương bất khả quy trên trường K và E là một trường phân rã của đa thức này. Khi đó phương trình f(x) = 0 giải được bằng căn thức nếu và chỉ nếu nhóm Gal(E, K) là một nhóm giải được và có cấp không chia hết cho đặc số của trường K.
3.2 Phương trình tổng quát bậc n3.2.1 Định nghĩa 3.2.1 Định nghĩa
Định nghĩa 3.3. Một phương trình đại số một ẩn bậc n là một phương trình có dạng
a0xn +a1xn−1 +. . .+an−1x+an = 0,
trong đó các hệ số a0, a1, . . . , an là những số tuỳ ý thuộc trường K, a0 6= 0. Định nghĩa 3.4. K là một trường cho trước và u1, u2, . . . , un là các biến độc lập, T = K(u1, u2, . . . , un) là trường các phân thức u1, u2, . . . , un trên K. Khi đó P(x) = xn +u1xn−1 + . . .+ un ∈ T[x] được gọi là đa thức tổng quát bậc n
trên K, còn phương trình xn +u1xn−1 +. . .+un = 0 được gọi là phương trình tổng quát bậc n trên K.
Xét Q(x) = (x−x1)(x−x2). . .(x−xn), trong đó x1, x2, . . . , xn là các biến độc lập. Bằng cách nhân các thừa số của vế phải với Q(x), ta nhận được:
Q(x) =xn −σ1xn−1 +. . .(−1)n−1σn−1x+ (−1)nσn, với σ1 = x1 +x2 +. . .+xn; σ2 = x1x2 + x1x3 +. . .+ xn−1xn; . . . σk = x1x2. . . xk +x2x3. . . xk+1+. . .+xn−k+1xn−k+2. . . xn; σn = x1x2. . . xn.
trong đóσ1, σ2, . . . , σn là các đa thức đối xứng cơ bản của các biếnx1, x2, . . . , xn. bởi Định lý Viéte. ĐặtE = K(σ1, σ2, . . . , σn), khi đóQ(x) ∈ E[x]. Đương nhiên F = E(x1, x2, . . . , xn) =K(x1, x2, . . . , xn) là trường phân rã của Q(x) trên E, và Q(x) là một đa thức tách được.
3.2.2 Nhóm Galois của phương trình tổng quát bậc n
Bổ đề 3.1. Nhóm Galois của phương trình tổng quát bậc n đẳng cấu với nhóm
Sn các phép thế trên tập gồm n phần tử, tức là, Sn ∼= Gal(F, K).
Định lý 3.4. Phương trình tổng quát bậc hai giải được bằng căn thức.