Khi DH giải bài tập toán theo xu hướng phát hiện và GQVĐ, yêu cầu bài toán đặt ra phải thực sự gợi vấn đề, tức khêu gợi cho HS những khó khăn trong tư duy, hành động, chứ không dừng lại ở việc yêu cầu HS trực tiếp vận dụng qui tắc có tính chất thuật toán. Điều này chỉ có tính tương đối, bởi lẽ có những bài toán là vấn đề đối với người này nhưng không là vấn đề nhưng đối với người khác.
Những vấn đề ở đây thường là những bài toán mà HS chưa biết thuật giải. Đây là cơ hội tốt để GV trang bị cho HS một số tri thức PP cụ thể ở đây là PP giải toán nhằm rèn luyện và phát triển tư duy khoa học ở HS.
Khi dạy giải bài tập toán theo hướng phát hiện và GQVĐ ta có thể thực hiện theo quy trình sau:
Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề
- Phát biểu đề bài dưới những dạng khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán. - Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, ng minh.
- Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.
Buớc 2: Tìm giải pháp
- Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ bài toán cần giải với bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng bài toán.
- Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hoá kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan...
- Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải hợp lí nhất.
Bước 3: Trình bày giải pháp
Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó.
Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp
- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật nguợc vấn đề.
2.4
2.4.3.1. Lập phương trình đường thẳng
1: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng (d) biết (d) đi qua điểm M(1;3) và song song với đường thẳng ( ): x+y+1=0.
Đây là một tình huống gợi vấn đề vì:
+ Nó tồn tại một vấn đề đó là HS chưa có một qui tắc mang tính chất thuật giải để giải bài toán trên.
+ HS mặc dù chưa có ngay lời giải nhưng HS đã biết dạng của phương trình đường thẳng và biết cách lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm và nhận một véctơ đã cho làm VTPT. Cho nên nó gợi được nhu cầu nhận thức của HS và gây niềm tin có khả năng giải quyết.
Hoạt động dạy học:
Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề
GV: Bài toán yêu cầu gì?
HS: Lập phương trình đường thẳng (d) biết (d) đi qua điểm M(1;3) và song song với đường thẳng ( ): x+y+1=0.
Buớc 2: Tìm giải pháp
GV: Bài toán trên biết cách giải chưa? HS: Chưa.
GV: Hai đường thẳng song song có mối quan hệ với nhau như thế nào? HS: Có cùng VTPT.
Bước 3: Trình bày giải pháp
GV: Hãy trình bày bài giải chi tiết vào vở.
HS: Do đường thẳng (d) song song đường thẳng mà
n (1;1) nên ta có thể chọn nd (1;1).
Do đó phương trình đường thẳng (d) là : 1.(x 1) 1.(y 3) 0 x y 4 0.
Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp
GV: Hãy tìm cách giải khác? HS: Ta có thể giải như sau: Do đường thẳng (d) // mà n (1;1) nên chọn d n (1;1). Do đó phương trình đường thẳng (d) có dạng: x y C 0. Vì (d) đi qua M(1;3) nên M ( )d 1 3 C=0 C=-2. Vậy phương trình đường thẳng (d) là: x y 4 0.
GV: Hãy lập bài toán tổng quát cho bài toán trên?.
HS: Lập phương trình đường thẳng (d) biết (d) đi qua M(x ; y )0 0 và song song với đường thẳng ( ) : Ax+By+C=0, (A2 B2 0).
GV: Hãy tìm cách giải của bài toán đó.
HS: Vì (d)//( )nên d có dạng Ax+By+D=0.
Vì M(x ; y ) ( )0 0 d Ax0 By0 D 0 D (Ax0 By )0 .
Phương trình đường thẳng ( ) : Ax+By-(Axd 0 By )0 0.
2: Cho tam giác ABC, biết đỉnh C (4; -1) đường cao và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A có phương trình tương ứng là: (d1): 2x - 3y + 12 = 0 và
(d2): 2x + 3y = 0. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Hoạt động dạy học:
GV: Bài toán yêu cầu gì?
HS: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC. GV: Hãy vẽ hình cho bài toán trên.
HS: .
Buớc 2: Tìm giải pháp
GV: Bài toán trên biết cách giải chưa? HS: Chưa.
GV: Cạnh BC của tam giác có mối liên hệ gì với giả thiết của bài toán? HS: Cạnh BC đi qua điểm C và vuông góc với (d1).
GV: Yêu cầu HS viết phương trình cạnh BC.
GV: Hãy tìm toạ độ của điểm A từ đó viết phương trình cạnh AC? HS: Tìm toạ độ điểm A và viết phương trình cạnh AC.
GV: Muốn viết được phương trình cạnh AB ta có thể đi tìm toạ độ của điểm
B. Với (d2) là trung tuyến hãy tìm toạ độ trung điểm M của BC? Từ đó suy ra toạ độ điểm B và viết phương trình cạnh AB?
HS: Tìm toạ độ trung điểm M của BC suy ra toạ độ điểm B và viết phương trình cạnh AB.
Bước 3: Trình bày giải pháp
GV: Hãy trình bày bài giải chi tiết vào vở. HS: * Phương trình cạnh BC.
Vì BC d1 nên Phương trình cạnh BC có dạng: 3x 2y c 0. Mà C BC nên 3 .4 2. 1 c 0 c 10.
Vậy BC :3x 2y 10 0. * Phương trình cạnh AC.
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: 2 3 12 0 3, 2
2 3 0 x y A x y . Phương trình cạnh AC là: 3 2 3 7 5 0 4 3 1 2 x y x y . * Phương trình cạnh AB.
Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó toạ độ của M là nghiệm của hệ: 3 2 10 0 6, 4 2 3 0 x y M x y .
Do M là trung điểm của BC nên ta có:
2 8 8, 7 2 7 B M C B M C x x x B y y y . Phương trình cạnh AB là: 8 7 9 11 5 0 3 8 2 7 x y x y .
Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp
GV: Vận dụng cách giải bài toán trên giải bài toán sau: Cho tam giác ABC, biết đỉnh C (4, -1) đường cao kẻ từ đỉnh A có phương trình:
(d1): 2x - 3y + 12 = 0 và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B có phương trình
(d2): 2x + 3y = 0. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC. HS: BC :3x 2y 10 0.
Toạ độ của B là nghiệm của hệ: 3 2 10 0 8, 7
2 3 0
x y
B
x y .
Gọi M là trung điểm của AC. Khi đó toạ độ của M có dạng: M 3 , 2t t (vì
2
M d ).
Do M là trung điểm của AC nên ta có:
2 6 1 6 1, 4 1 2 4 1 A M C A M C x x x t A t t y y y t . Mà A d1 nên 2 6 1 3 4 1 12 0 7 24 t t t 17 13, 6 6 A . Với 17 13, 6 6 A ta có: : 55 65 15 0 AB x y và AC :19x 23y 4 0.
V 3: Cho hai đường thẳng: d1 : 2x y 3 0; d2 :x 2y 1 0. Lập phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2
đồng thời tạo với :y 1 0 một góc bằng 0 45 . Đây là một tình huống gợi vấn đề vì:
+ Nó tồn tại một vấn đề đó là HS chưa có một qui tắc mang tính chất thuật giải để giải bài toán trên.
+ HS mặc dù chưa có ngay lời giải nhưng HS đã biết dạng của phương trình đường thẳng và biết cách lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm và nhận một véctơ đã cho làm VTPT. Cho nên nó gợi được nhu cầu nhận thức của HS và gây niềm tin có khả năng giải quyết.
Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề
GV: Bài toán yêu cầu gì?
HS: Lập phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thẳng 1
d và d2 đồng thời tạo với :y 1 0 một góc bằng 0 45 . GV: Hãy vẽ hình cho bài toán trên?
HS: .
Buớc 2: Tìm giải pháp
GV: Đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 khi đó phương trình của d có dạng như thế nào?
HS: d : m 2x y 3 n x 2y 1 0.
GV: Khi biết góc giữa hai đường thẳng ta có thể sử dụng công thức nào?
HS: 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 os . A A B B c A B A B .
Bước 3: Trình bày giải pháp
GV: Hãy trình bày bài giải chi tiết vào vở.
HS: Vì dường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2
khi đó phương trình của d có dạng:
2 3 2 1 0 m x y n x y 2m n x m 2n y 3m n 0. Do d tạo với :y 1 0 một góc bằng 0 45 nên ta có: 0 2 2 2 2 0. 2 1. 2 cos 45 3 8 3 0 0 1. 2 2 m n m n n nm m m n m n 3 3 n m n m. + Với n 3m phương trình d : m 2x y 3 3m x 2y 1 0 x y 0. + Với n 3m phương trình d : m 2x y 3 3m x 2y 1 0 x y 2 0 .
Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp
GV: Hãy giải bài toán trên theo cách khác?
HS: Gọi I là giao điểm của d1 và d2 . Khi đó toạ độ của I là nghiệm của hệ:
2 3 0 1,1 2 1 0 x y I x y .
Gọi k là hệ số góc của đường thẳng d qua điểm I. Khi đó phương trình của
d có dạng : y k x 1 1 y kx 1 k. :y 1 0 có hệ số góc k 0. Do d tạo với :y 1 0 một góc bằng 0 45 nên ta có: 0 0 1 tan 45 1 1 0. k k k k .
+ Với k 1 phương trình của d là: x y 0. + Với k 1 phương trình của d là: x y 2 0.
2.4.3.2. Điểm, quĩ tích điểm
4: Xác định tất cả các điểm trên trục Oy cách đều hai đường thẳng: x y 1 0 (d) ; x y 5 0 ( ).
Đây là tình huống gợi vấn đề bởi vì HS chưa có một qui tắc mang tính chất thuật giải để giải quyết bài toán trên tuy nhiên HS đã biết tính khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng.
Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề
GV: Bài toán yêu cầu làm gì ?
HS: Xác định tất cả các điểm nằm trên trục Oy cách đều hai đường thẳng cho trước. GV: Hãy nhắc lại công thức tính khoảng cách từ
0 0 A(x ; y ) đến đường thẳng: (d):Ax+By+C=0. HS: 0 0 2 2 Ax By C d(A;d) A B . Buớc 2: Tìm giải pháp
GV: Điểm A nằm trên Oy có tọa độ như thế nào? HS: A (0;a).
GV: Tính khoảng cách từ A đến d : x y 1 0 ; x y 5 0 ? Từ đó suy ra kết quả bài toán?
HS: d(A / d) a 1
2 ; d(A / )
a 5
2 .
Bước 3: Trình bày giải pháp
GV: Hãy trình bày giải chi tiết vào vở. HS: Xét điểm A(0;a) Oy ta có:
d(A;d) d(A; ) a 1 a 5 a 1 a 5 (1) a 3
a 1 a 5 (2)
2 2 .
Vậy tìm được A(0;-3) thuộc Oy thỏa mãn bài toán.
Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp
GV: Hãy phát biểu bài toán tổng quát cho bài toán trên?
HS: Xác định tất cả các điểm trên một đường thẳng cách đều hai đường thẳng cho trước.
5: Cho điểm A (1;2) và đường thẳng (d) : 2x 3y 2 0. Xác định hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng (d). Từ đó tìm điểm A1 đối xứng A qua (d).
Đây là tình huống gợi vấn đề bởi vì HS chưa có một qui tắc mang tính chất thuật giải để giải quyết bài toán trên. Tuy nhiên HS đã biết viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với đường thẳng cho trước.
Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề
GV: Bài toán yêu cầu gì?
HS: Xác định hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng (d) và xác định điểm A1 là điểm đối xứng với A qua (d).
GV: Hãy trình bày công thức xác định tọa độ trung điểm của AA1.
HS: Gọi H là trung điểm của AA1.
Ta có A A1 H x x x 2 , 1 A A H y y y 2 . Buớc 2: Tìm giải pháp
GV: Xác định hình chiếu của điểm A lên đường thẳng (d) như thế nào?
HS: Viết phương trình đường thẳng ( ) đi qua A và vuông góc với đường thẳng (d). Khi đó tọa độ giao điểm H của (d) và ( ) là điểm cần tìm.
GV: Xác định điểm A1 là điểm đối xứng với A qua (d) như thế nào? HS: Điểm H là trung điểm của AA1.
Bước 3: Trình bày giải pháp
GV: Hãy trình bày chi tiết bài giải vào vở. HS: Gọi a
là VTCP của (d), ta có a(0, 1) .
Gọi ( ) là đường thẳng qua A (1;2) và vuông góc với (d).
Phương trình đường thẳng ( )có dạng:
( ) : 0.(x 1) 1.(y 2) 0 y 2 0. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng (d).
2x 3y 2 0 x 2
H(2;2)
y 2 0 y 2
.
Giả sử A (x ; y )1 1 1 . Vì H là trung điểm AA1 ta có:
1 H A 1 1 1 H A 1 x 2x x x 3 A (3;2) y 2y y y 2 .
Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp
GV: Hãy trình bày cách giải khác.
HS: Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng (d).
Khi đó ta có: H (d) AH (d) . Vì H (d) H(3t 1;2t) AH(3t 2;2t 2) . Ta có: AH (d) AH a AH.a 0 0. 3t 2 1.(2t 2) t 1 H 2, 2 .
Vậy H(2;2) là tọa độ hình chiếu của A lên (d).
Giả sử A (x ; y )1 1 1 . Vì H là trung điểm AA1 ta có:
1 H A 1 1 1 H A 1 x 2x x x 3 A (3;2) y 2y y y 2 .
GV: Hãy phát biểu bài toán tổng quát cho bài toán trên? HS: Tìm tọa độ hình chiếu của một điểm lên đường thẳng. GV: Hãy trình bày cách giải bài toán trên.
HS: Cho điểm A(x ; y )A A và đường thẳng (d) (A (d)). Để xác định hình chiếu của A lên đường thẳng (d) ta thực hiện các bước sau:
Cách 1:
Bước 1: Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với (d). Bước 2: Tọa độ giao điểm H của và (d) chính là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng (d).
Bước 1: Xác định VTCP a
của đường thẳng (d).
Bước 2: H (d). Vậy tọa độ H thỏa mãn phương trình tham số của (d). Suy ra tọa độ AH
.
Bước 3: H là hình chiếu của A lên (d) AH.a 0 (1)
. Bước 4: Từ (1) xác định được tham số suy ra tọa độ H.
6: Cho hai điểm A(1;1), B(2;-1) và đường thẳng (d): 2x+y-5=0. Tìm điểm M thuộc (d) sao cho AM+BM nhỏ nhất.
Đây là tình huống gợi vấn đề bởi vì HS chưa có một qui tắc mang tính chất thuật giải để giải quyết bài toán trên.
Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề
GV: Bài toán yêu cầu gì?
HS: Cho hai điểm A, B và đường thẳng (d). Tìm M (d) sao cho AM+BM nhỏ nhất. GV: Xác định vị trí tương đối của A, B đối với đường thẳng (d)?
HS: A, B cùng phía đối với đường thẳng (d). Buớc 2: Tìm giải pháp
GV: Với mỗi điểm M nằm trên đường thẳng d hãy tìm điểm A1 sao cho 1
MA MA ?
HS: Điểm A1 đối xứng với điểm A qua đường thẳng d .
GV: Hai điểm A1 và B khác phía đối với đường thẳng (d). Hãy tìm N (d) sao cho A M1 BM nhỏ nhất ?
HS: Gọi N A B1 (d). Ta chứng minh N là điểm cần tìm. Thật vậy ta có:
1 1
AM BM A M BM A B.Vậy (AM BM)MIN M N.
Bước 3: Trình bày giải pháp
GV: Hãy trình bày chi tiết bài giải vào vở.
HS: Điểm A và điểm B ở cùng phía đối với đường thẳng (d). Thật vậy: d .dA B (2.1 1 5).(2.2 1 5) 4 0.
Gọi a
là VTCP của (d), ta có a( 1, 2) .
Gọi ( ) là đường thẳng qua A(1;1) và vuông góc với (d).
Phương trình đường thẳng ( ) có dạng:
( ) : 1.(x 1) 2.(y 1) 0 x 2y 1 0. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng (d).
Ta có H (d) ( ), tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình sau : 9 x 2x y 5 0 5 9 7 H( ; ) y 1 0 7 5 5 y 5 x-2 .
Giả sử A (x ; y )1 1 1 . Vì H là trung điểm AA1 ta có:
1 1 H A 1 1 H A 1 13 x x 2x x 5 13 9 A ( ; ) y 2y y 9 5 5 y 5 .
Hai điểm A1 và B khác phía đối với đường thẳng (d). Ta có A B1 ( 23; 14) 5 5 23;14 u là một VTCP của đường thẳng (d). Phương trình đường thẳng A B1 có dạng x 2 t y 1 14t 23 .
Gọi N A B1 (d). Khi đó tọa độ N là nghiệm của hệ phương trình sau:
x 2 23t 55 1 y 1 14t 2(2 23t) 1 14t 5 0 N ; 16 8 2x y 5 0 .