Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề
- Giáo viên đưa ra những ví dụ cụ thể để học sinh thấy được sự tồn tại hoặc tác dụng của một loạt đối tượng nào đó có liên quan đến khái niệm cần định nghĩa.
- Đưa ra một khái niệm đã biết có liên quan đến khái niệm cần định nghĩa. - Xuất phát từ nội bộ Toán học hoặc thực tiễn xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần định nghĩa.
Buớc 2: Tìm giải pháp
- Giáo viên dẫn học sinh phân tích, so sánh và nêu bật những đặc điểm chung của các đối tượng đang được xem xét.
- Thêm vào nội hàm của khái niệm đã biết một số đặc điểm mà ta quan tâm.
- Khái quát hoá quá trình xây dựng những đối tượng đại diện, đi tới đặc điểm đặc trưng cho khái niệm cần hình thành.
Bước 3: Trình bày giải pháp
Giáo viên gợi mở để học sinh phát biểu định nghĩă khái niệm bằng cách nêu tên và các đặc điểm đặc trưng của khái niệm hoặc định nghĩa khái niệm nhờ một khái niệm tổng quát hơn cùng với những đặc điểm để hạn chế một bộ phận trong khái niệm tổng quát đó.
Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp
- Nhận dạng và thể hiện khái niệm.
- Phát biểu lại định nghĩa bằng những lời lẽ của mình hoặc diễn đạt định nghĩa bằng những dạng ngôn ngữ khác nhau và phân tích, nêu bật những ý quan trọng chứa đựng trong định nghĩa.
- Khái quát hoá, đặc biệt hoá và hệ thống hoá những khái niệm đã học.
2.2.3. Dạy học một số khái niệm toán học thuộc chủ đề Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
2.2.3.1. Dạy học khái niệm phương trình đường thẳng Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề
GV: Hãy nêu khái niệm VTPT của đường thẳng trong mặt phẳng? HS: Véctơ n
khác 0
, có giá vuông góc với đường thẳng gọi là VTPT của đường thẳng .
GV: Mỗi đường thẳng có bao nhiêu VTPT? Chúng liên hệ với nhau như thế nào? HS: Mỗi đường thẳng có vô số VTPT và chúng cùng phương với nhau.
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ( ) đi qua điểm M(x ; y )0 0 và có VTPT n(A;B)
, A2 B2 0.
GV: Tìm điều kiện cần và đủ để điểm M(x; y) thuộc đường thẳng ( ).
Buớc 2: Tìm giải pháp
Điều kiện cần và đủ để điểm M(x; y) thuộc đường thẳng ( ) là:
n.M M 0 0 A(x x ) B(y y )0 0 0
. (1) GV: Nếu đặt C (Ax0 By )0 thì phương trình (1) có dạng như thế nào? HS: Khi đó phương trình (1) có dạng
Ax By C 0, trong đó 2 2
A B 0. (2)
Phương trình (2) được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng ( ).
Bước 3: Trình bày giải pháp
Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp
GV: Như vậy để viết được phương trình tổng quát của một đường thẳng ta phải biết các yếu tố nào?
HS: Ta cần biết các yếu tố sau: tọa độ một điểm thuộc đường thẳng và tọa độ của một VTPT của đường thẳng.
Ví dụ 1: Cho đường thẳng ( )có dạng: Ax By C 0, A2 B2 0.
GV: Hãy tìm điều kiện cần và đủ để đường thẳng ( ) đi qua gốc tọa độ.
HS: Ta có O ( ) A.0 B.0 C 0 C 0.
Vậy điều kiện cần và đủ để đường thẳng( ) đi qua gốc tọa độ là C 0.
GV: Chứng minh rằng đường thẳng ( ) song song hoặc chứa trục Ox khi và chỉ khi A=0.
HS: Đường thẳng ( )song song hoặc chứa trục Ox
n.i 0 A.1 B.0 0 A 0 . GV: Hãy nêu kết luận tương tự khi B 0.
GV: Vậy khi A 0 và B 0 thì đường thẳng ( ) có đặc điểm gì?
Ví dụ 2: xoy cho hai điểm A(-1;1), B(3;3) .Viết phương trình đường trung trực của AB.
GV: Muốn viết được phương trình của đường thẳng ta cần biết những yếu tố nào?
.
GV: Hãy tìm một VTPT của đường trung trực của AB và một điểm nằm trên đó? HS: Vì đường trung trực của AB vuông góc và đi qua trung điểm I của AB nên đường trung trực của AB nhận AB 4 2
( , ) là VTPT và qua I (1, 2).
Vậy phương trình đường đường trung trực của AB là:
4(x-1) + 2(y-2) = 0 2x+y-4 = 0.
2.2.3.2. Dạy học khái niệm phương trình tham số của đường thẳng Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề
GV: Hãy nêu khái niệm VTCP của đường thẳng trong mặt phẳng? HS: Véctơ u
khác 0
, có giá song song hoặc trùng với đường thẳng ( ) gọi là VTCP của đường thẳng( ).
GV: Mỗi đường thẳng có bao nhiêu VTCP? Chúng liên hệ với nhau như thế nào? HS: Mỗi đường thẳng có vô số VTCP và chúng cùng phương với nhau.
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ( ) đi qua điểm M(x ; y )0 0 và có VTCP u a b( ; )
, a2 b2 0.
GV: Tìm điều kiện cần và đủ để điểm M(x; y) thuộc đường thẳng( )?
Buớc 2: Tìm giải pháp
HS: 0
M M M cùng phương với véctơ u
, tức là R 0
t :M M tu.
GV: Hãy tìm tọa độ của véctơ M M0
và tu ? HS: 0 0 0 M M x( x y; y ) và tu ta tb( ; ).
Do đó ta có M d tương đương với điều kiện sau 0
0 1 R x x at ,t y y bt ( ).
Hệ phương trình (1) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng với tham số t.
Bước 3: Trình bày giải pháp
HS trình bày khái niệm phương trình đường thẳng.
Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp
Mọi phương trình đường thẳng tham số đều có dạng (1). Vấn đề đặt ra là mỗi hệ phương trình có dạng (1) có phải là phương trình tham số của đường thẳng không?
HS: Mỗi hệ phương trình có dạng (1) với a2 b2 0 đều là phương trình tham số của đường thẳng ( ) đi qua điểm M x y0( ;0 0) và có VTCP là
u a b( ; ).
Lƣu ý: Từ nay để đơn giản, trong hệ phương trình (1) ta không viết t R. Xét hệ phương trình (1) khi ab 0.
HS: x x0 y y0
a b với ab 0. (2)
Hệ phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng ( ). Như vậy để viết được phương trình đường thẳng ( ) dưới dạng tham số hay dưới dạng chính tắc chúng ta cần phải biết những yếu tố nào?
HS: Biết được tọa độ của một điểm mà đường thẳng đó đi qua và VTCP của đường thẳng đó.
Ví dụ 1: Cho đường thẳng (d)có phương trình tham số: 1 2 2
x t
y t .
GV: Hãy tìm tọa độ một VTCP của (d). HS: 2 1
u ; .
GV: Hãy xác định tọa của các điểm thuộc (d) ứng với giá trị
t 0, t 1, t 2.
HS: t 0 x 1, y 2 do đó điểm A( ; )1 2 d. Tương tự với t 1 và
t 2.
GV: Trong các điểm A( ; ),3 1 B( 3 4; ), C( ; )0 2 điểm nào thuộc (d), điểm nào không? HS: Ta có 0 0 0 0 1 2 2 d x t M x y y t ( ; ) có nghiệm. Do đó A d , B d và C d .
Ví dụ 2: Lập phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng
(d) đi qua hai điểm A( ; )1 2 và B( ; )3 5 .
GV: Muốn lập phương trình đường thẳng (d) ta cần biết các yếu tố nào?
HS: Ta cần biết tọa độ 1 điểm thuộc đường thẳng (d) và một VTCP của đường thẳng đó.
GV: Hãy xác định một VTCP của đường thẳng (d). HS: 2 3
Phương trình đường thẳng (d) được xác định như sau: đi qua điểm A ( ;1 2 )
và có một VTCP là 2 3
AB( ; ).
Vậy phương trình tham số của đường thẳng (d) là: 1 2
2 3
x t
y t.
Phương trình chính tắc của đường thẳng (d) là: 1 2
2 3
x y
.
2.2.3.3. Dạy học khái niệm phương trình đường tròn
Các kiến thức liên quan đã biết: - Biết khái niệm đường tròn.
- Biết tính khoảng cách giữa hai điểm.
Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề
Ở chương trình THCS ta đã biết khái niệm đường tròn trong mặt phẳng. Vấn đề đặt ra là trong mặt phẳng toạ độ 0xy cho đường tròn tâm I(a;b), bán kính R có thể tìm được dạng phương trình của đường tròn tâm I(a;b), bán kính R hay không?
Buớc 2: Tìm giải pháp
GV: Hãy nhắc lại khái niệm đường tròn?
HS: Tập hợp các điểm cách điểm I cố định một khoảng R (R 0) không đổi gọi đường tròn tâm I và bán kính bằng R. Kí hiệu C I R; .
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn C(I;R) có tâm I x y0; 0 và bán kính bằng R.
GV: Tìm điều kiện cần và đủ để điểm M x y; thuộc đường tròn C(I;R). HS: M C I R; IM R IM2 R2
x x0 2 y y0 2=R2.
Phương trình trên được gọi là phương trình của đường tròn C(I;R).
Bước 3: Trình bày giải pháp
HS trình bày khái niệm phương trình đường tròn.
Nếu khai triển phương trình đường tròn C(I;R)và viết dưới dạng 0
f x y, thì thấy rằng f x,y là đa thức bậc hai đối với x y, có các hệ số của 2 2
x y, đều bằng 1 và không có các hạng tử chứa xy.
Vấn đề ngược lại: Phương trình dạng sau có phải là phương trình đường tròn hay không ?
2 2
2 2 c 0
x y ax by (1)
GV:Hãy biến đổi (1) để đưa về dạng phương trình của đường tròn.
HS: x a 2 y b 2 a2 b2 c. (2)
Gọi I là điểm có tọa độ a b; và điểm Mcó tọa độ x;y thì vế trái của (2) chính là IM2. Do đó:
* Nếu 2 2
0
c
a b thì IM a2 b2 c. Vậy (1) là phương trình của đường tròn có tâm I a b; và có bán kính R a2 b2 c.
* Nếu 2 2
0
c
a b thì IM 0 nên phương trình (1) xác định một điểm I
duy nhất. * Nếu 2 2 0 c a b thì không có điểm M n (1). Vậy phương trình 2 2 2 2 0
x y ax by+c là phương trình đường tròn khi và chỉ khi 2 2
0
c
a b . Khi đó tâm đường tròn là điểm I a b; và bán kính đường tròn là 2 2
c
R a b .
Ví dụ 1: Hãy viết phương trình đường tròn có đường kính AB với A 4 3; và 2 1
B ; .
GV: Muốn viết được phương trình của đường tròn ta cần biết những yếu tố nào?
HS: Phải biết tọa độ tâm và bán kính đường tròn. GV: Hãy tìm tâm và bán kính đường tròn.
HS: Vì đường tròn có đường kính là AB nên tâm I của đường tròn là trung điểm AB và bán kính đường tròn R AB 2 . Nên ta có I 3 1; và 10 2 R .
Vây phương trình đường tròn đường kính ABlà :
2 2 5
3 1
2
x y .
Ví dụ 2: Mỗi phương trình sau có phải là phương trình đường tròn không? Nếu phải hãy xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.
) a 2 2 2 4 5 0 x y x y , b) 2 2 0 x y , ) c 2 2 3 5 9 0 2 x y x y , d) x2 y2 2x y 1 0, 2 2 3 3 2 0 e) x y x .
2.3. Vận dụng dạy học phát hiện và vào dạy học một số định lí thuộc chủ đề phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng
2.3.1. Những yêu cầu khi dạy định lí toán học
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim [14, tr 243]: “ Các định lý cùng với các khái niệm toán học tạo thành nội dung cơ bản của môn Toán , làm nền tảng cho việc rèn luyện kĩ năng bộ môn, đặc biệt là khả năng suy luận và chứng minh, phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện tư tưởng, phẩm chất và đạo đức”.
Việc dạy học các định lý toán học nhằm đạt được các yêu cầu sau: - Học sinh nắm được hệ thống định lý và những mối liên hệ giữa chúng từ đó có khả năng vận dụng chúng vào hoạt động giải toán cũng như giải quyết các vấn đề trong thực tiễn.
- Học sinh thấy được sự cần thiết phải chứng minh định lí, thấy được chứng minh định lí là một yếu tố quan trọng trong phương pháp làm việc trên lĩnh vực Toán học.
- Học sinh hình thành và phát triển năng lực chứng minh Toán học, từ
chỗ hiểu chứng minh, trình bày lại được chứng minh, nâng lên mức độ biết cách suy nghĩ để tìm ra chứng minh, theo yêu cầu của chương trình phổ thông.
Trong việc dạy học định lí toán học người ta phân chia thành hai con đường: con đường cá nhân suy đoán và con đường suy diễn. Hai con đường này được minh họa bằng sơ đồ dưới đây:
Sơ đồ 2.1. Hai con đuờng dạy học định lý
Sự khác biệt cơ bản giữa hai con đường đó là ở chỗ: theo con đường có khâu suy đoán thì việc dự đoán phát hiện trước việc chứng minh định lí, còn ở con đường suy diễn thì hai việc này nhập lại thành một bước. Tuy nhiên, quan điểm của nhiều tác giả cho rằng: việc sử dụng con đường nào trong chứng minh định lí là tùy theo nội dung của định lí và tùy theo trình độ, điều kiện cụ thể của học sinh. Theo tác giả Trần Thúc Trình cho rằng: “Để phát huy năng lực toán học cho học sinh trong quá trình dạy học định lý, giáo viên nên đi theo con đường suy đoán rồi thực hiện giai đoạn chứng minh sau, tránh cách dạy đột ngột giáo viên nêu định lí rồi chuyển ngay sang suy luận lôgic”.
Con đường suy đoán Con đường suy diễn
Dự đoán và phát biểu định lí Suy diễn dẫn tới định lí
Chứng minh định lí Phát biểu định lí
Vận dụng định lí để giải quyết vấn đề đặt ra
Củng cố định lí Gợi động cơ và phát biểu vấn đề
Trong cuốn sách nổi tiếng “Toán học và những suy luận có lý ” của nhà toán học Mỹ G.Polya [22, tr.73] có viết: “ Toán học được coi như khoa học chứng minh. Tuy nhiên, đó mới chỉ là một khía cạnh của nó. Toán học hoàn chỉnh được xem như chứng minh thuần túy chỉ bao gồm các chứng minh. Nhưng toán học trong quá trình hình thành lại gợi lại mọi khâu kiến thức khác nhau của nhân loại trong quá trình hình thành. Bạn phải dự đoán về một định lí toán học trước khi bạn chứng minh nó, bạn phải dự đoán về ý chứng minh trước khi chứng minh chi tiết”.
2.3.2. Quy trình dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề về định lí toán học
Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề
- Giáo viên tạo ra tình huống gợi vấn đề chứa đựng nội dung của định lí xuất phát từ nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong nội bộ toán học.
- Giáo viên dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh, khái quát hóa, lật ngược vấn đề... để dự đoán, phát hiện nội dung định lí và phát biểu định lí.
Buớc 2: Tìm giải pháp
Giáo viên dẫn học sinh suy ngược, suy xuôi, phân tích, so sánh, đặc biệt hóa, qui lạ về quen, huy động tri thức...để tìm ra giải pháp chứng minh định lí.
Bước 3: Trình bày giải pháp
Giáo viên hoặc học sinh trình bày lại toàn bộ quá trình từ việc phát biểu định lí cho tới giải pháp chứng minh định lí.
Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp
- Biết nhận dạng và thể hiện định lí.
- Biết vận dụng định lí vào giải các bài tập toán học có liên quan. - Biết phát biểu định lí bằng lời lẽ của mình và diễn đạt nội dung định lí dưới dạng những ngôn ngữ khác nhau.
- Biết khái quát hoá, đặc biệt hoá...để tìm ra các tính chất mới và các ứng dụng khác của định lí.
2.3.3. Một số ví dụ điển hình
2.3.3.1. Dạy học định lí: “Trong mặt phẳng xoy giả sử 2 đường thẳng
1 ; 2 có hệ số góc lần lượt là k k1; 2 và k k1 2 1. Gọi là góc giữa
1 ; 2 khi đó 1 2 1 2 tan 1 k k k k . ’’ Các kiến thức liên quan đã biết:
- Phương trình tổng quát của đường thẳng, cách tìm hệ số góc của đường thẳng từ phương trình tổng quát.
- Công thức tính cos của góc giữa hai đường thẳng.
Mục tiêu của hoạt động: Học sinh tự hình thành nội dung định lí, chứng minh được định lí và biết cách vận dụng định lí vào giải bài tập.
Triển khai hoạt động dạy học:
Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề
GV: Giả sử 2 đường thẳng 1 ; 2 lần lượt có phương trình A x1 B y C1 1 0
và A x2 B y C2 2 0, hãy nhắc lại công thức tính cos của góc giữa 1 ; 2 . HS: dễ dàng nhắc lại được công thức 1 2 1 2
2 2 2 2 1 1 2 2 os . A A B B c A B A B .
GV: Như vậy ta đã biết tính cos theo công thức trên, liệu ta có thể tính được tan theo hệ số góc k k1; 2 hay không?
Bước 2: Tìm giải pháp
GV: Phương trình của 1 ; 2 có dạng như thế nào?
HS: 1 :A x1 B y C1 1 0 và 2 :A x2 B y C2 2 0, (B B1; 2 0).