- Điều kiện cú nghiệm: ≥
B C 1/C/m:DEC noụi tieõp:
1/C/m:BDEC noụi tieõp:
Ta coự: BDC=BEC=1v(do CD;BE laứ ủửụứng cao)⇒Hai ủieơm D vaứ E cuứng laứm vụựi hai ủaău ủoỏn BC…⇒ủpcm
2/c/m AD.AB=AE.AC.
Xeựt hai tam giaực ADE vaứ ABC coự Goực BAC chung .
Do BDEC nt ⇒EDB+ECB=2v.Maứ ADE+EDB=2v⇒ADE=ACB ⇒∆ADE~∆ACB⇒ủpcm.
3/Do HKBD nt⇒HKD=HBD(cuứng chaĩn cung DH). Do BDEC nt⇒HBD=DCE (cuứng chaĩn cung DE)
Deờ daứng c/m KHEC nt⇒ECH=EKH(cuứng chaĩn cungHE) 4/C/m JI//AO. Tửứ A dửùng tieõp tuyeõn Ax.
Ta coự sủ xAC=
2 1
sủ cung AC (goực giửừa tt vaứ moụt dađy) .Maứ sủABC=
2 1
sủ cung AC (goực nt vaứ cung bũ chaĩn) Ta lỏi coự goực AED=ABC(cuứng buứ vụựi goực DEC)
Vaụy Ax//DE.Maứ AO⊥Ax(t/c tieõp tuyeõn)⇒AO⊥DE.Ta lỏi coự do BDEC nt trong ủửụứng troứn tađm I ⇒DE laứ dađy cung coự J laứ trung ủieơm ⇒JI⊥DE(ủửụứng kớnh ủi qua trung ủieơm cụa dađy khođng ủi qua tađm)Vaụy IJ//AO
HKD=EKH
xAC=AED Hỡnh 80
Baứi 81:
Cho tam giaực ABC coự 3 goực nhún noụi tieõp trong ủửụứng troứn tađm O.Tieõp tuyeõn tỏi B vaứ C cụa ủửụứng troứn caĩt nhau tỏi D.Tửứ D kẹ ủửụứng thaỳng song song vụựi AB,ủửụứng naứy caĩt ủửụứng troứn ụỷ E vaứ F,caĩt AC tỏi I(Enaỉm tređn cung nhoỷ BC)
1/Chửựng minh BDCO noụi tieõp. 2/Chửựng minh:DC2=DE.DF
3/Chửựng minh DOCI noụi tieõp ủửụùc trong ủửụứng troứn. 4/Chửựng toỷ I laứ trung ủieơm EF.
A F O I B C E D Sủ DFC= 2 1
sủ cung EC (goực nt vaứ cung bũ chaĩn)⇒EDC=DFC ⇒∆DCE~∆DFC ⇒ủpcm.
3/Cm: DCOI noụi tieõp:Ta coự sủ DIC=
2 1
sủ(AF+EC). Vỡ FD//AD ⇒Cung AF=BE ⇒sủ DIC=21sủ(BE+EC)= 2
1
sủ cung BC Sủ BOC=sủ cung BC.Maứ DOC=
2 1 BOC⇒sủ DOC= 2 1 sủBC⇒DOC=DIC
⇒Hai ủieơm O vaứ I cuứng laứm vụựi hai ủaău ủoỏn thaỳng DC nhửừng goực baỉng nhau ⇒ủpcm. 4/C/m I laứ trung ủieơm EF.
Do DCIO noụi tieõp⇒DIO=DCO (cuứng chaĩn cung DO).Maứ DCO=1v(tớnh chaõt tieõp tuyeõn)⇒DIO=1v hay OI⊥FE.ẹửụứng kớnh OI vuođng goực vụựi dađy cung FE neđn phại ủi qua trung ủieơm cụa
FE⇒ủpcm.
1/C/m: BDCO noụi tieõp Vỡ BD vaứ DC laứ hai tieõp tuyeõn ⇒OBD=OCD=1v ⇒OBD+OCD=2v
⇒BDCO noụi tieõp. 2/Cm: :DC2=DE.DF Xeựt hai tam giaực
DCE vaứ DCF coự: D chung SủECD=
2 1
sủ cung EC (goực giửừa tieõp tuyeõn vaứ moụt dađy)
Hỡnh 81 554
Baứi 82:
Cho ủửụứng troứn tađm O,ủửụứng kớnh AB vaứ dađy CD vuođng goực vụựi AB tỏi F. Tređn cung BC,laõy ủieơm M.AM caĩt CD tỏi E.
1/Chửựng minh AM laứ phađn giaực cụa goực CMD.
2/Chửựng minh tửự giaực EFBM noụi tieõp ủửụùc trong moụt ủửụứng troứn. 3/Chửựng toỷ AC2=AE.AM
4/Gúi giao ủieơm cụa CB vụựi AM laứ N;MD vụựi AB laứ I.Chửựng minh NI//CD. C M E N A O I B F D
1/C/m AM laứ phađn giaực cụa goực CMD: Ta coự: Vỡ OA⊥CD vaứ ∆COD cađn ụỷ O ⇒OA laứ phađn giaực cụa goực COD. Hay COA=AOD⇒cung AC=AD ⇒goực CMA=AMD(hai goực noụi tieõp chaĩn hai cung baỉng nhau)⇒ủpcm.
2/cm EFBM noụi tieõp: VỡCD⊥AB(gt)⇒EFB=1v;vaứ EMB=1v(goực nt chaĩn nửỷa ủửụứng troứn)⇒ EFB+ EMB=2v⇒ủpcm.
3/Cm: AC2=AE.AM.
Xeựt hai tam giaực:ACM vaứ ACE coự A chung.Vỡ cung AD=AC⇒hai goực ACD=AMC(hai goực nt chaĩn hai cung baỉng nhau)
⇒∆ACE~∆AMC⇒ủpcm 4/Cm NI//CD:
Vỡ cung AC=AD⇒goực AMD=CBA(hai goực nt chaĩn hai cung baỉng nhau) Hay NMI=NBI ⇒Hai ủieơm M vaứ B cung laứm vụựi hai ủaău ủoỏn thaỳng NI nhửừng goực baỉng nhau ⇒NIBM noụi tieõp ⇒Goực NIB+NMB=2v maứ NMB=1v(cmt) ⇒NIB=1v hay NI⊥AB.Maứ CD⊥AB(gt)⇒NI//CD.
Hỡnh 82 554
Baứi 83:
Cho ∆ABC coự A=1v;Kẹ AH⊥BC.Qua H dửùng ủửụứng thaỳng thửự nhaõt caĩt cỏnh AB ụỷ E vaứ caĩt ủửụứng thaỳng AC tỏi G.ẹửụứng thaỳng thửự hai vuođng goực vụựi ủửụứng thaỳng thửự nhaõt vaứ caĩt cỏnh AC ụỷ F,caĩt ủửụứng thaỳng AB tỏi D.
1. C/m:AEHF noụi tieõp. 2. Chửựng toỷ:HG.HA=HD.HC
3. Chửựng minh EF⊥DG vaứ FHC=AFE.
4. Tỡm ủieău kieụn cụa hai ủửụứng thaỳng HE vaứ HF ủeơ EF ngaĩn nhaõt. G A E F B H C D
1/Cm AEHF noụi tieõp: Ta coự BAC=1v(goực nt chaĩn nửỷa ủtroứn) FHE=1v ⇒ BAC+ FHE=2v⇒ủpcm.
2/Cm: HG.HA=HD.HC. Xeựt hai ∆ vuođng HAC vaứ HGD coự:BAH=ACH (cuứng phỳ vụựi goực ABC).Ta lỏi coự GAD=GHD=1v⇒GAHD noụi tieõp ⇒DGH=DAH
( cuứng chaĩn cung DH ⇒DGH=HAC ⇒∆HCA~∆HGD⇒ủpcm.
3/•C/m:EF⊥DG:Do GH⊥DF vaứ DA⊥CG vaứ AD caĩt GH ụỷ E ⇒E laứ trửùc tađm cụa ∆CDG⇒EF laứ ủửụứng cao thửự 3 cụa ∆CDG⇒FE⊥DG.
• C/m:FHC=AFE:
Do AEHF noụi tieõp ⇒AFE=AHE(cuứng chaĩn cung AE).Maứ AHE+AHF=1v vaứ AHF+FHC=1v⇒AFE=FHC.
4/ Tỡm ủieău kieụn cụa hai ủửụứng thaỳng HE vaứ HF ủeơ EF ngaĩn nhaõt:
Do AEHF noụi tieõp trong ủửụứng troứn coự tađm laứ trung ủieơm EF .Gúi I laứ tađm ủửụứng troứn ngoỏi tieđựp tửự giaực AEHF⇒IA=IH⇒ẹeơ EF ngaĩn nhaõt thỡ I;H;A thaỳng haứng hay AEHF laứ hỡnh chửừ nhaụt ⇒HE//AC vaứ HF//AB.
Hỡnh 83 554
Baứi 84:
Cho ∆ABC (AB=AC) noụi tieõp trong (O).M laứ moụt ủieơm tređn cung nhoỷ AC, phađn giaực goực BMC caĩt BC ụỷ N,caĩt (O) ụỷ I.
1. Chửựng minh A;O;I thaỳng haứng.
2. Kẹ AK⊥ vụựi ủửụứng thaỳng MC. AI caĩt BC ụỷ J.Chửựng minh AKCJ noụi tieõp. 3. C/m:KM.JA=KA.JB. A K O • M E B J N C I ⇒ủpcm
2/C/m AKCJ noụi tieõp: Theo cmt ta coự AI laứ ủửụứng kớnh ủi qua trung ủieơm cụa dađy BC ⇒AI⊥BC hay AJC=1v maứ AKC=1v(gt)⇒AJC+AKC=2v ⇒ủpcm.
3/Cm: KM.JA=KA.JB Xeựt hai tam giaực vuođng JAB vaứ KAM coự: Goực KMA=MAC+MCA(goực ngoaứi tam giaực AMC)
Maứ sủ MAC=21sủ cung MC vaứ sủMCA=21sủ cung AM ⇒sủKMA=12sủ(MC+AM)= 2
1
sủAC=sủ goực ABC Vaụy goực ABC=KMA
⇒∆JBA~∆KMA⇒ủpcm.
1/C/m A;O;I thaỳng haứng: Vỡ BMI=IMC(gt)
⇒ cung IB=IC ⇒Goực BAI=IAC(hai goực nt chaĩn hai cung baỉng nhau)⇒AI laứ phađn gớc cụa ∆ cađn ABC ⇒AI⊥BC.Maứ ∆BOC cađn ụỷ O⇒ coự caực goực ụỷ tađm chaĩn caực cung baỉng nhau
⇒OI laứ phađn giaực cụa goực BOC
Hỡnh 84 554
• O
Baứi 85:
Cho nửỷa ủửụứng troứn (O) ủửụứng kớnh AB.Gúi C laứ moụt ủieơm tređn nửỷa ủửụứng troứn.Tređn nửỷa maịt phaỳng bụứ AB chửựa ủieơm C,kẹ hai tieõp tuyeõn Ax vaứ By. Moụt ủửụứng troứn (O’) qua A vaứ C caĩt AB vaứ tia Ax theo thửự tửù tỏi D vaứ E. ẹửụứng thaỳng EC caĩt By tỏi F.
1. Chửựng minh BDCF noụi tieõp.
2. Chửựng toỷ:CD2=CE.CF vaứ FD laứ tieõp tuyeõn cụa ủửụứng troứn (O). 3. AC caĩt DE ụỷ I;CB caĩt DF ụỷ J.Chửựng minh IJ//AB
4. Xaực ủũnh vũ trớ cụa D ủeơ EF laứ tieõp tuyeõn cụa (O)
F C E I J • O’ A D B 1/Cm:BDCF noụi tieõp:
Ta coự ECD=1v(goực nt chaĩn nửỷa ủửụứng troứn tađm O’)⇒FCD=1v vaứ FBD=1v(tớnh chaõt tieõp tuyeõn)⇒ủpcm.
2/•C/m: CD2=CE.CF .Ta coự
Do CDBF nt⇒DFC=CBD(cuứng chaĩn cung CD).Maứ CED=CAD(cuứng chaĩn cung CD cụa (O’). Maứ CAD+CBD=1v (vỡ goực ACB=1v-goực nt chaĩn nửỷa ủt)
⇒CED+CFD=1v neđn EDF=1v hay ∆EDF laứ tam giaực vuođng coự DC laứ ủửụứng cao.Aựp dỳng heụ thửực lửụùng trong tam giaực vuođng ta coự CD2=CE.CF.
•Vỡ ∆EDF vuođng ụỷ D(cmt)⇒FD⊥ED hay FD⊥O’D tỏi ủieơm D naỉm tređn ủửụứng troứn tađm O’.⇒ủpcm.
3/C/m IJ//AB.
Ta coự ACB=1v(cmt) hay ICJ=1v vaứ EDF=1v (cmt) hay IDJ=1v ⇒ICJD nt CJI=CDI(cuứng chaĩn cung CI).Maứ CFD=CDI (cuứng phỳ vụựi goực FED). Vỡ BDCF nt (cmt)⇒CFD=CBD (cuứng chaĩn cung CD)⇒CJI=CBD ⇒ủpcm. 4/ Xaực ủũnh vũ trớ cụa D ủeơ EF laứ tieõp tuyeõn cụa (O).
Ta coự CD⊥EF vaứ C naỉm tređn ủửụứng troứn tađm O.Neđn ủeơ EF laứ tieõp tuyeõn cụa (O) thỡ CD phại laứ baựn kớnh ⇒D≡O.
Baứi 86:
Cho (O;R vaứ (O’;r) trong ủoự R>r, caĩt nhau tỏi Avaứ B. Gúi I laứ moụt ủieơm baõt kyứ tređn ủửụứng thaỳng AB vaứ naỉm ngoaứi ủoỏn thaỳng AB. Kẹ hai tieõp tuyeõn IC vaứ ID vụựi (O) vaứ (O’). ẹửụứng thaỳng OC vaứ O’D caĩt nhau ụỷ K.
1. Chửựng minh ICKD noụi tieõp. 2. Chửựng toỷ:IC2=IA.IB.
3. Chửựng minh IK naỉm tređn ủửụứng trung trửùc cụa CD. 4. IK caĩt (O) ụỷ E vaứ F; Qua I dửùng caựt tuyeõn IMN.
a/ Chửựng minh:IE.IF=IM.IN. Hỡnh 85
F
b/ E; F; M; N naỉm tređn moụt ủửụứng troứn. I C E M A D • O •O’ B N K Sủ CBI= 2 1
sủ CE (goực nt vaứ cung bũ chaĩn)⇒ICE=IBC⇒∆ICE~∆IBC⇒ủpcm. 3/Cm IK naỉm tređn ủửụứng trung trửùc cụa CD.
Theo chửựng minh tređn ta coự: IC2=IA.IB. Chửựng minh tửụng tửù ta coự:ID2=IA.IB
-Hai tam giaực vuođng ICK vaứ IDK coự Cỏnh huyeăn IK chung vaứ cỏnh goực vuođng IC=ID ⇒∆ICK=∆IDK⇒CK=DK⇒K naỉm tređn ủửụứng trung trửùc cụa CD.⇒ủpcm.
4/ a/Baỉng caựch chửựng minh tửụng tửù nhử cađu 2 ta coự: IC2=IE.IF vaứ ID2=IM.IN Maứ IC=ID (cmt)⇒IE.IF=IM.IN.
b/ C/m Tửự giaực AMNF noụi tieõp: Theo chửựng minh tređn coự E.è=IM.IN.Aựp dỳng tớnh chaõt tư leụ thửực ta coự:
IE IN IM
IF = .Tửực laứ hai caịp cỏnh cụa tam giaực IFN tửụng ửựng tư leụ vụựi hai caịp cỏnh cụa tam giaực IME.Hụn nửừa goực EIM chung
⇒∆IEM~∆INF⇒IEM=INF.Maứ IEM+MEF=2v⇒MEF+MNF=2v⇒ủpcm.
IC=ID⇒I naỉm tređnủửụứng trung trửùc cụa CD
1/C/m ICKD nt: Vỡ CI vaứ DI laứ hai tt cụa
hai ủtroứn
⇒ICK=IDK=1v ⇒ủpcm.
2/C/m: IC2=IA.IB. Xeựt hai tam giaực ICE vaứ ICBcoự goực I chung vaứ sủ ICE=
2 1
sủ cung CE (goực giửừa tt vaứ 1 dađy) Hỡnh 86
Baứi 87:
Cho∆ABC coự 3 goực nhún.Veừ ủửụứng troứn tađm O ủửụứng kớnh BC.(O) caĩt AB;AC laăn lửụùt ụỷ D vaứ E.BE vaứ CD caĩt nhau ụỷ H.
1. Chửựng minh:ADHE noụi tieõp. 2. C/m:AE.AC=AB.AD.
3. AH keựo daứi caĩt BC ụỷ F.Cmr:H laứ tađm ủửụứng troứn noụi tieõp ∆DFE. 4. Gúi I laứ trung ủieơm AH.Cmr IE laứ tieõp tuyeõn cụa (O)
A I E D x H B F O C
1/Cm:ADHE noụi tieõp: Ta coự BDC=BEC=1v(goực nt chaĩn nửỷa ủửụứng troứn) ⇒ADH+AEH=2v⇒ADHE nt.
2/C/m:AE.AC=AB.AD. Ta chửựng minh ∆AEB vaứ ∆ADC ủoăng dỏng. 3/C/m H laứ tađm ủửụứng troứn ngoỏi tieõp tam giaực DEF:
Ta phại c/m H laứ giao ủieơm 3 ủửụứng phađn giaực cụa tam giaực DEF.
-Tửự giaực BDHF nt⇒HED=HBD(cuứng chaĩn cung DH).Maứ EBD=ECD (cuứng chaĩn cung DE).Tửự gaựic HECF nt⇒ECH=EFH(cuứng chaĩn cung HE) ⇒EFH=HFD⇒FH laứ phađn giaực cụa DEF. -Tửự gaựic BDHF nt⇒FDH=HBF(cuứng chaĩn cung HF).Maứ EBC=CDE(cuứng chaĩn cung EC)⇒EDC=CDF⇒DH laứ phađn giaực cụa goực FDE⇒H laứ…
4/ C/m IE laứ tieõp tuyeõn cụa (O):Ta coự IA=IH⇒IA=IE=IH=
2 1
AH (tớnh chaõt trung tuyeõn cụa tam giaực vuođng)⇒∆IAE cađn ụỷ I⇒IEA=IAE.Maứ IAE=EBC (cuứng phỳ vụựi goực ECB) vaứ
AEI=xEC(ủoõi ủưnh)Do ∆OEC cađn ụỷ O⇒ OEC=OCE ⇒xEC+CEO =EBC +ECB=1v Hay xEO=1v Vaụy OE⊥IE tỏi ủieơm E naỉm tređn ủửụứng troứn (O)⇒ủpcm.
Hỡnh 87 554
• O
• O’
Baứi 88:
Cho(O;R) vaứ (O’;r) caĩt nhau ụỷ Avaứ B.Qua B veừ caựt tuyeõn chung CBD⊥AB (C∈(O)) vaứ caựt tuyeõn EBF baõt kyứ(E∈(O)).
1. Chửựng minh AOC vaứ AO’D thaỳng haứng.
2. Gúi K laứ giao ủieơm cụa caực ủửụứng thaỳng CE vaứ DF.Cmr:AEKF nt. 3. Cm:K thuoục ủửụứng troứn ngoỏi tieõp ∆ACD.
4. Chửựng toỷ FA.EC=FD.EA. A E C B D F K
1/C/m AOC vaứ AO’D thaỳng haứng:
-Vỡ AB⊥CD ⇒Goực ABC=1v⇒AC laứ ủửụứng kớnh cụa (O)⇒A;O;C thaỳng haứng.Tửụng tửù AO’D thaỳng haứng.
2/C/m AEKF nt: Ta coự AEC=1v(goực nt chaĩn nửỷa ủửụứng troứn tađm O.Tửụng tửù AFD=1v hay AFK=1v ⇒AEK+AFK=2v⇒ủpcm
3/Cm: K thuoục ủửụứng troứn ngoỏi teõp ∆ACD.
Ta coự EAC=EBC(cuứng chaĩn cung EC).Goực EBC=FBD(ủoõi ủưnh).Goực FBD=FAD(cuứng chaĩn cung FD).Maứ EAC+ECA=90o ⇒ADF=ACE vaứ ACE+ACK=2v⇒ADF+ACK=2v⇒K naỉm tređn ủửụứng troứn ngoỏi tieõp …
4/C/m FA.EC=FD.EA.
Ta chửựng minh hai tam giaực vuođng FAD vaứ EAC ủoăng dỏng vỡ
EAC=EBC(cuứng hcaĩn cung EC)EBC=FBD(ủoõi ủưnh) FBD=FAD(cuứng chaĩn cung FD)⇒EAC=FAD⇒ủpcm.
Hỡnh 88 554
Baứi 89:
Cho ∆ABC coự A=1v.Qua A dửùng ủửụứng troứn tađm O baựn kớnh R tieõp xuực vụựi BC tỏi B vaứ dửùng (O’;r) tieõp xuực vụựi BC tỏi C.Gúi M;N laứ trung ủieơm AB;AC,OM vaứ ON keựo daứi caĩt nhau ụỷ K.
1. Chửựng minh:OAO’ thaỳng haứng 2. CM:AMKN noụi tieõp.
3. Cm AK laứ tieõp tuyeõn cụa cạ hai ủửụứng troứn vaứ K naỉm tređn BC. 4. Chửựng toỷ 4MI2=Rr. O’ A O M I N B K C 1/C/m AOO’ thaỳng haứng:
-Vỡ M laứ trung ủieơm dađy AB⇒OM⊥AB neđn OM laứ phađn giaực cụa goực AOB hay BOM=MOA. Xeựt hai tam giaực BKO vaứ AKO coự OA=OB=R; OK chung vaứ BOK=AOK (cmt) ⇒∆KBO=∆KAO ⇒ goực OBK=OAK maứ OBK=1v ⇒OAK=1v. Chửựng minh tửụng tửù ta coự O’AK=1v Neđn OAK+O’AK=2v ⇒ủpcm.
2/Cm:AMKN noụi tieõp:Ta coự Vỡ AMK=1v(do OMA=1v) vaứ ANK=1v ⇒AMK+ANK=2v ⇒ủpcm. Caăn lửu yự AMKN laứ hỡnh chửừ nhaụt.
3/C/m AK laứ tieõp tuyeõn cụa (O) vaứ O’)
-Theo chửựng minh tređn thỡ Goực OAK=1v hay OA⊥AK tỏi ủieơm A naỉm tređn ủửụứng troứn (O)⇒ủpcm.Chửựng minh tửụng tửù ta coự AK laứ tt cụa (O’)
-C/m K naỉm tređn BC:
Theo tớnh chaõt cụa hai tt caĩt nhau ta coự:BKO=OKA vaứ AKO’=O’KC.
Nhửng do AMKN laứ hỡnh chửừ nhaụt⇒MKN=1v hay OKA+O’KA=1v tửực coự nghúa goực BKO+O’KC=1v vaụy BKO+OKA+AKO’+O’KC=2v⇒K;B;C thaỳng haứng ⇒ủpcm
4/ C/m: 4MI2=Rr. Vỡ ∆OKO’ vuođng ụỷ K coự ủửụứng cao KA.Aựp dỳng heụ thue=ửực lửụùng trong tam giaực vuođng coự AK2=OA.O’A.Vỡ MN=AK vaứ MI=IN hay MI=
2 1
AK⇒ủpcm
Baứi 90:
Cho tửự giaực ABCD (AB>BC) noụi tieõp trong (O) ủửụứng kớnh AC; Hai ủửụứng cheựo AC vaứ DB vuođng goực vụựi nhau. ẹửụứng thaỳng AB vaứ CD keựo daứi caĩt nhau ụỷ E; BC vaứ AD caĩt nhau ụỷ F.
1. Cm:BDEF noụi tieõp. 2. Chửựng toỷ:DA.DF=DC.DE
3. Gúi I laứ giao ủieơm DB vụựi AC vaứ M laứ giao ủieơm cụa ủửụứng thaỳng AC vụựi ủửụứng troứn ngoỏi tieõp ∆AEF. Cmr: DIMF noụi tieõp.
4. Gúi H laứ giao ủieơm AC vụựi FE. Cm: AI.AM=AC.AH. E
Hỡnh
B
A O I C H M D D
F
1/ Cm:DBEF nt: Do ABCD nt trong (O) ủửụứng kớnh AC⇒ABC=ADC=1v (goực nt chaĩn nửỷa ủửụứng troứn)⇒ FBE=EDF=1v⇒ủpcm.
2/ C/m DA.DF=DC.DE:
Xeựt hai tam giaực vuođng DAC vaứ DEF coự: Do BF⊥AE vaứ ED⊥AF neđn C laứ trửùc tađm cụa ∆AEF⇒Goực CAD=DEF(cuứng phỳ vụựi goực DFE)⇒ủpcm.
3/ Cm:DIMF nt: Vỡ AC⊥BD(gt) ⇒DIM=1v vaứ I cuừng laứ trung ủieơm cụa DB(ủửụứng kớnh vuođng goực vụựi dađy DB)⇒∆ADB cađn ụỷ A⇒ AEF cađn ụỷ A (Tửù c/m yeõu toõ naứy)⇒ẹửụứng troứn ngoỏi tieõp ∆AEF coự tađm naỉm tređn ủửụứng AM ⇒goực AFM=1v(goực nt chaĩn nửỷa ủửụứng troứn)⇒DIM+DFM=2v⇒ủpcm.
Baứi 91:
Cho (O) vaứ (O’) tieõp xuực ngoaứi tỏi A.ẹửụứng thaỳng OO’ caĩt (O) vaứ (O’) tỏi B vaứ C (khaực A). Kẹ tieõp tuyeõn chung ngoaứi DE(D∈(O)); DB vaứ CE keựo daứi caĩt nhau ụỷ M.
1. Cmr: ADEM noụi tieõp.
2. Cm: MA laứ tieõp tuyeõn chung cụa hai ủửụứng troứn. 3. ADEM laứ hỡnh gỡ? 4. Chửựng toỷ:MD.MB=ME.MC. B O A O’ C E D M
Tửụng tửù ta coự AMB=ACM⇒Hai tam giaực ABM vaứ ACM coự hai caịp goực tửụng ửựng baỉng nhau⇒Caịp goực coứnlỏi baỉng nhau.Hay BAM=MAC.Ta lỏi coự BAM+MAC=2v⇒BAM=MAC=1v hay OA⊥AM tỏi ủieơm A naỉm tređn ủtroứn….
3/ADEM laứ hỡnh gỡ?
Vỡ BAM=1v⇒ABM+AMB=1v.Ta coứn coự MA laứ tt cụa ủtroứn⇒DAM=MBA (cuứng baỉng nửỷa cung AD).Tửụng tửù MAE=MCA.Maứ theo cmt ta coự ACM=AMB Neđn
DAM+MAE=ABM+ACM=ABM+AMB=1v.Vaụy DAE=1v neđn ADEM laứ hỡnh chửừ nhaụt. 4/Cm: MD.MB=ME.MC .
Tam giaực MAC vuođng ụỷ A coự ủửụứng cao AE.Aựp dỳng heụ thửực lửụùng trong tam giaực vuođng ta coự:MA2=ME.MC.Tửụng tửù trong tam giaực vuođng MAB coự MA2=MD.MB⇒ủpcm.
1/Cm:ADEM nt: Vỡ AEC=1v vaứ ADB=1v(goực nt chaĩn nửỷa ủtroứn)
⇒ADM+AEM=2v⇒ủpcm. 2/C/m MA laứ tieõp tuyeõn cụa hai ủửụứng troứn;
-Ta coự sủADE=
2 1
sủ cungAD=sủ DBA.Vaứ ADE=AME(vỡ cuứng chaĩn cung AE do tửự giaực ADME nt)⇒ABM=AMC.
Baứi 92:
Cho hỡnh vuođng ABCD.Tređn BC laõy ủieơm M. Tửứ C hỏ CK⊥ vụựi ủửụứng thaỳng AM. 1. Cm: ABKC noụi tieõp.
2. ẹửụứng thaỳng CK caĩt ủửụứng thaỳng AB tỏi N.Tửứ B dửùng ủửụứng vuođng goực vụựi BD, ủửụứng naứy caĩt ủửụứng thaỳng DK ụỷ E. Cmr: BD.KN=BE.KA
3. Cm: MN//DB.
4. Cm: BMEN laứ hỡnh vuođng.
A B N
M E K
D C
1/Cm: ABKC noụi tieõp: Ta coự ABC=1v (t/c hỡnh vuođng); AKC=1v(gt) ⇒ ủpcm. 2/Cm: BD.KN=BE.KA.Xeựt hai tam giaực vuođng BDE vaứ KAN coự:
Vỡ ABCD laứ hỡnh vuođng neđn noụi tieõp trong ủửụứng troứn coự tađm laứ giao ủieơm hai ủửụứng cheựo.Goực AKC=1v⇒A;K;C naỉm tređn ủtroứn ủửụứng kớnh AC.Vaụy 5 ủieơm A;B;C;D;K cuứng naỉm tređn moụt ủửụứng troứn.⇒Goực BDK=KDN (cuứng chaĩn cung BK)⇒∆BDE~∆KAN⇒
KN BE KA BD = ⇒ủpcm.
3/ Cm:MN//DB.Vỡ AK⊥CN vaứ CB⊥AN ;AK caĩt BC ụỷ M⇒M laứ trửùc tađm cụa tam giaực ANC⇒NM⊥AC.Maứ DB⊥AC(tớnh chaõt hỡnh vuođng)⇒MN//DB.
4/Cm:BNEM laứ hỡnh vuođng:
Vỡ MN//DB⇒DBM=BMN(so le) maứ DBM=45o⇒BMN =45o⇒∆BNM laứ tam giaực vuođng cađn⇒BN=BM.Do BE⊥DB(gt)vaứ BDM=45o⇒MBE=45o⇒∆MBE laứ tam giaực vuođng cađn vaứ BM laứ phađn giaực cụa tam giaực MBN;Ta deờ daứng c/m ủửụùc MN laứ phađn giaực cụa goực BMN⇒BMEN laứ hỡnh thoi lỏi coự goaực B vuođng neđn BMEN laứ hỡnh vuođng.
Baứi 93:
Cho hỡnh chửừ nhaụt ABCD(AB>AD)coự AC caĩt DB ụỷ O. Gúi M laứ 1 ủieơm tređn OB vaứ N laứ ủieơm ủoõi xửựng vụựi C qua M. Kẹ NE; NF vaứ NP laăn lửụùt vuođng goực vụựi AB; AD; AC; PN caĩt AB ụỷ Q.
1. Cm: QPCB noụi tieõp. 2. Cm: AN//DB.
3. Chửựng toỷ F; E; M thaỳng haứng. 4. Cm: ∆PEN laứ tam giaực cađn.
F N I A Q E B P M O D C
1/C/m QPCB noụi tieõp:Ta coự:NPC=1v(gt) vaứ QBC=1v(tớnh chaõt hỡnh chửừ nhaụt).⇒ủpcm.
2/Cm:AN//DB vỡ O laứ giao ủieơm hai ủửụứng cheựo cụa hỡnh chửừ nhaụt⇒O laứ trung ủieơm AC.Vỡ C vaứ N ủoõi xửựng vụựi nhau qua M⇒M laứ trung ủieơm NC ⇒OM laứ ủửụứng trung bỡnh cụa ∆ANC⇒OM//AN hay AN//DB.
3/Cm:F;E;M thaỳng haứng.
Gúi I laứ giao ủieơm EF vaứ AN.Deờ daứng chửựng minh ủửụùc AFNE laứ hỡnh chửừ nhaụt⇒∆AIE vaứ OAB laứ nhửừng tam gớc cađn⇒IAE=IEA vaứ ABO=BAO.Vỡ AN//DB⇒ IAE=ABO(so le)⇒IEA=EAC⇒EF//AC hay IE//AC
Vỡ I laứ trung ủieơm AN;M laứ trung ủieơm NC⇒IM laứ ủửụứng trung bỡnh cụa ∆ANC⇒MI//AC .Tửứ
vaứ Ta coự I;E;M thaỳng haứng.Maứ F;I;E thaỳng haứng ⇒F;F;M thaỳng haứng.
4/C/m∆PEN cađn:Deờ daứng c/m ủửụùc ANEP noụi tieõp⇒PNE=EAP(cuứng chaĩn cung PE).Vaứ PNE=EAN(cuứng chaĩn cung EN).Theo chửựng minh cađu 3 ta coự theơ suy ra NAE=EAP⇒ENP=EPN⇒∆PEN cađn ụỷ E.
Baứi 94:
Tửứ ủưnh A cụa hỡnh vuođng ABCD,ta kẹ hai tia tỏo vụựi nhau 1 goực baỉng 45o. Moụt tia caĩt cỏnh BC tỏi E vaứ caĩt ủửụứng cheựo DB tỏi P. Tia kia caĩt cỏnh CD tỏi F vaứ caĩt ủửụứng cheựo DB tỏi Q.
1. Cm:E; P; Q; F; C cuứng naỉm tređn 1 ủửụứng troứn. 2. Cm:AB.PE=EB.PF.