- Điều kiện cú nghiệm: ≥
Duứ coự nhieău coõ gaĩng song taứi lieụu chaĩc chaĩn kođng theơ khođng coự sai soat.Mong ủửụùc sửù goựp yự cụa bỏn ủúc.Thử veă:
Baứi 1: Cho ∆ABC coự caực ủửụứng cao BD vaứ CE.ẹửụứng thaỳng DE caĩt ủửụứng troứn ngoỏi tieõp
tam giaực tỏi hai ủieơm M vaứ N. 1. Chửựng minh:BEDC noụi tieõp. 2. Chửựng minh: goực DEA=ACB.
3. Chửựng minh: DE // vụựi tieõp tuyeõn tai A cụa ủửụứng troứn ngoỏi tieõp tam giaực.
4. Gúi O laứ tađm ủửụứng troứn ngoỏi tieõp tam giaực ABC.Chửựng minh: OA laứ phađn giaực cụa goực MAN. 5. Chửựng toỷ: AM2=AE.AB. Giụùi yự: y A x N E D M O B C Ta phại c/m xy//DE.
Do xy laứ tieõp tuyeõn,AB laứ dađy cung neđn sủ goực xAB= 2 1 sủ cung AB. Maứ sủ ACB= 2 1
sủ AB. ⇒goực xAB=ACB maứ goực ACB=AED(cmt) ⇒xAB=AED hay xy//DE.
4.C/m OA laứ phađn giaực cụa goực MAN.
Do xy//DE hay xy//MN maứ OA⊥xy⇒OA⊥MN.⊥OA laứ ủửụứng trung trửùc cụa MN.(ẹửụứng kớnh vuođng goực vụựi moụt dađy)⇒∆AMN cađn ụỷ A ⇒AO laứ phađn giaực cụa goực MAN.
5.C/m :AM2=AE.AB.
Do ∆AMN cađn ụỷ A ⇒AM=AN ⇒cung AM=cung AN.⇒goực MBA=AMN(Goực noụi tieõp chaĩn hai cung baỉng nhau);goực MAB chung
⇒∆MAE ∽∆ BAM⇒ MA AE AB MA= ⇒ MA2=AE.AB.
1.C/m BEDC noụi tieõp:
C/m goực BEC=BDE=1v. Hia ủieơm D vaứ E cuứng laứm vụựi hai ủaău ủoỏn thaỳng BC moụt goực vuođng.
2.C/m goực DEA=ACB.
Do BECD nt⇒DMB+DCB=2v. Maứ DEB+AED=2v
⇒AED=ACB
3.Gúi tieõp tuyeõn tỏi A cụa (O) laứ ủửụứng thaỳng xy (Hỡnh 1)
Baứi 2:
Cho(O) ủửụứng kớnh AC.tređn ủoỏn OC laõy ủieơm B vaứ veừ ủửụứng troứn tađm O’, ủửụứng kớnh BC.Gúi M laứ trung ủieơm cụa ủoỏn AB.Tửứ M veừ dađy cung DE vuođng goực vụựi AB;DC caĩt ủửụứng troứn tađm O’ tỏi I.
1.Tửự giaực ADBE laứ hỡnh gỡ? 2.C/m DMBI noụi tieõp.
3.C/m B;I;C thaỳng haứng vaứ MI=MD. 4.C/m MC.DB=MI.DC
5.C/m MI laứ tieõp tuyeõn cụa (O’) Gụùi yự: D I A M O B O’ C E
3.C/m B;I;E thaỳng haứng.
Do AEBD laứ hỡnh thoi ⇒BE//AD maứ AD⊥DC (goực noụi tieõp chaĩn nửỷa ủửụứng troứn)⇒BE⊥DC; CM⊥DE(gt).Do goực BIC=1v ⇒BI⊥DC.Qua 1 ủieơm B coự hai ủửụứng thaỳng BI vaứ BE cuứng vuođng goực vụựi DC ⊥B;I;E thaỳng haứng.
•C/m MI=MD: Do M laứ trung ủieơm DE; ∆EID vuođng ụỷ I⇒MI laứ ủửụứng trung tuyeõn cụa tam giaực vuođng DEI ⇒MI=MD.
4. C/m MC.DB=MI.DC.
haừy chửựng minh ∆MCI∽ ∆DCB (goực C chung;BDI=IMB cuứng chaĩn cung MI do DMBI noụi tieõp) 5.C/m MI laứ tieõp tuyeõn cụa (O’)
-Ta coự ∆O’IC Cađn ⇒goực O’IC=O’CI. MBID noụi tieõp ⇒MIB=MDB (cuứng chaĩn cung MB) ∆BDE cađn ụỷ B ⇒goực MDB=MEB .Do MECI noụi tieõp ⇒goực MEB=MCI (cuứng chaĩn cung MI)
Tửứ ủoự suy ra goực O’IC=MIB ⇒MIB+BIO’=O’IC+BIO’=1v
Vaụy MI ⊥O’I tỏi I naỉm tređn ủửụứng troứn (O’) ⇒MI laứ tieõp tuyeõn cụa (O’).
Baứi 3:
Cho ∆ABC coự goực A=1v.Tređn AC laõy ủieơm M sao cho AM<MC.Veừ ủửụứng troứn tađm O ủửụứng kớnh CM;ủửụứng thaỳng BM caĩt (O) tỏi D;AD keựo daứi caĩt (O) tỏi S.
1. C/m BADC noụi tieõp.
2. BC caĩt (O) ụỷ E.Cmr:MR laứ phađn giaực cụa goực AED. 3. C/m CA laứ phađn giaực cụa goực BCS.
Gụùi yự:
D S
1.Do MA=MB vaứ AB⊥DE tỏi M neđn ta coự DM=ME.
⇒ADBE laứ hỡnh bỡnh haứnh. Maứ BD=BE(AB laứ ủửụứng trung trửùc cụa DE) vaụy ADBE ;laứ hỡnh thoi.
2.C/m DMBI noụi tieõp.
BC laứ ủửụứng kớnh,I∈(O’) neđn Goực BID=1v.Maứ goực
DMB=1v(gt)
⇒BID+DMB=2v⇒ủpcm.
1.C/m ABCD noụi tieõp: C/m A vaứ D cuứng laứm vụựi hai ủaău ủoỏn thaỳng BC moụt goực vuođng..
2.C/m ME laứ phađn giaực cụa goực AED.
•Haừy c/m AMEB noụi tieõp. •Goực ABM=AEM( cuứng chaĩn cung AM)
Goực ABM=ACD( Cuứng chaĩn cung MD)
Goực ACD=DME( Cuứng chaĩn cung MD)
A M O
B E C
⇒AEM=MED.
4.C/m CA laứ phađn giaực cụa goực BCS. -Goực ACB=ADB (Cuứng chaĩn cung AB)
-Goực ADB=DMS+DSM (goực ngoaứi tam giaực MDS) -Maứ goực DSM=DCM(Cuứng chaĩn cung MD)
DMS=DCS(Cuứng chaĩn cung DS) ⇒Goực MDS+DSM=SDC+DCM=SCA. Vaụy goực ADB=SCA⇒ủpcm.
Baứi 4:
Cho ∆ABC coự goực A=1v.Tređn cỏnh AC laõy ủieơm M sao cho AM>MC.Dửùng ủửụứng troứn tađm O ủửụứng kớnh MC;ủửụứng troứn naứy caĩt BC tỏi E.ẹửụứng thaỳng BM caĩt (O) tỏi D vaứ ủửụứng thaỳng AD caĩt (O) tỏi S.
1. C/m ADCB noụi tieõp.
2. C/m ME laứ phađn giaực cụa goực AED. 3. C/m: Goực ASM=ACD.
4. Chửựng toỷ ME laứ phađn giaực cụa goực AED. 5. C/m ba ủửụứng thaỳng BA;EM;CD ủoăng quy. Gụùi yự: A S D M B E C
⇒ABD=ACD (Cuứng chaĩn cung AD)
•Do MECD noụi tieõp neđn MCD=MED (Cuứng chaĩn cung MD)
•Do MC laứ ủửụứng kớnh;E∈(O)⇒Goực MEC=1v⇒MEB=1v ⇒ABEM noụi tieõp⇒Goực MEA=ABD. ⇒Goực MEA=MED⇒ủpcm
3.C/m goực ASM=ACD.
Ta coự A SM=SMD+SDM(Goực ngoaứi tam giaực SMD)
Maứ goực SMD=SCD(Cuứng chaĩn cung SD) vaứ Goực SDM=SCM(Cuứng chaĩn cung SM)⇒SMD+SDM=SCD+SCM=MCD.
Vaụy Goực A SM=ACD.
4.C/m ME laứ phađn giaực cụa goực AED (Chửựng minh nhử cađu 2 baứi 2) 5.Chửựng minh AB;ME;CD ủoăng quy.
Gúi giao ủieơm AB;CD laứ K.Ta chửựng minh 3 ủieơm K;M;E thaỳng haứng.
•Do CA⊥AB(gt);BD⊥DC(cmt) vaứ AC caĩt BD ụỷ M⇒M laứ trửùc tađm cụa tam giaực KBC⇒KM laứ ủửụứng cao thửự 3 neđn KM⊥BC.Maứ ME⊥BC(cmt) neđn K;M;E thaỳng haứng ⇒ủpcm.
1.C/m ADCB noụi tieõp: Haừy chửựng minh: Goực MDC=BDC=1v Tửứ ủoự suy ra A vad D cuứng laứm vụựi hai ủaău ủoỏn thaỳng BC moụt goực vuođng…
2.C/m ME laứ phađn giaực cụa goực AED.
•Do ABCD noụi tieõp neđn Hỡnh 4
Baứi 5:
Cho tam giaực ABC coự 3 goực nhún vaứ AB<AC noụi tieõp trong ủửụứng troứn tađm O.Kẹ ủửụứng cao AD vaứ ủửụứng kớnh AA’.Gúi E:F theo thửự tửù laứ chađn ủửụứng vuođng goực kẹ tửứ B vaứ C
xuoõng ủửụứng kớnh AA’.
1. C/m AEDB noụi tieõp. 2. C/m DB.A’A=AD.A’C 3. C/m:DE⊥AC.
4. Gúi M laứ trung ủieơm BC.Chửựng minh MD=ME=MF. Gụùi yự: A N E O I B D M C F A’
1/C/m AEDB noụi tieõp.(Sửỷ dỳng hai ủieơm D;E cuứng laứm vụựi hai ủaău ủoỏn AB…)
2/C/m: DB.A’A=AD.A’C .Chửựng minh ủửụùc hai tam giaực vuođng DBA vaứ A’CA ủoăng dỏng. 3/ C/m DE⊥AC.
Do ABDE noụi tieõp neđn goực EDC=BAE(Cuứng buứ vụựi goực BDE).Maứ goực BAE=BCA’(cuứng chaĩn cung BA’) suy ra goực CDE=DCA’. Suy ra DE//A’C. Maứ goực ACA’=1v neđn DE⊥AC.
4/C/m MD=ME=MF.
•Gúi N laứ trung ủieơm AB.Neđn N laứ tađm ủửụứng troứn ngoỏi tieõp tửự giaực ABDE. Do M;N laứ trung ủieơm BC vaứ AB ⇒MN//AC(Tớnh chaõt ủửụứng trung bỡnh)
Do DE⊥AC ⇒MN⊥DE (ẹửụứng kớnh ủi qua trung ủieơm moụt dađy…)⇒MN laứ ủửụứng trung trửùc cụa DE ⇒ME=MD.
• Gúi I laứ trung ủieơm AC.⇒MI//AB(tớnh chaõt ủửụứng trung bỡnh) ⇒A’BC=A’AC (Cuứng chaĩn cung A’C).
Do ADFC noụi tieõp ⇒Goực FAC=FDC(Cuứng chaĩn cung FC) ⇒Goực A’BC=FDC hay DF//BA’ Maứ ABA’=1v⇒MI⊥DF.ẹửụứng kớnh MI⊥dađy cung DF⇒MI laứ ủửụứng trung trửùc cụa DF⇒MD=MF. Vaụy MD=ME=MF.
Baứi 6:
Cho ∆ABC coự ba goực nhún noụi tieõp trong ủửụứng troứn tađm O.Gúi M laứ moụt ủieơm baõt kyứ tređn cung nhoỷ AC.Gúi E vaứ F laăn lửụùt laứ chađn caực ủửụứng vuođng goực kẹ tửứ M ủeõn BC vaứ AC.P laứ trung ủieơm AB;Q laứ trung ủieơm FE.
1/C/m MFEC noụi tieõp. 2/C/m BM.EF=BA.EM 3/C/M ∆AMP∽∆FMQ. 4/C/m goực PQM=90o. Giại: A M F P B E C
Do MFEC noụi tieõp neđn goực ACM=FEM(Cuứng chaĩn cung FM). ⇒Goực ABM=FEM.(1)
Ta lỏi coự goực AMB=ACB(Cuứng chaĩn cung AB).Do MFEC noụi tieõp neđn goực FME=FCM(Cuứng chaĩn cung FE).⇒Goực AMB=FME.(2)
Tửứ (1)vaứ(2) suy ra :∆EFM∽∆ABM ⇒ủpcm. 3/C/m ∆AMP∽∆FMQ.
Ta coự ∆EFM∽∆ABM (theo c/m tređn)⇒
MF AM FE AB = maỉ AM=2AP;FE=2FQ (gt) ⇒ FM AM FQ AP MF AM FQ AP = ⇒ = 2 2
vaứ goực PAM=MFQ (suy ra tửứ ∆EFM∽∆ABM) Vaụy: ∆AMP∽∆FMQ.
4/C/m goực:PQM=90o.
Do goực AMP=FMQ ⇒PMQ=AMF ⇒∆PQM∽∆AFM ⇒goực MQP=AFM Maứ goực AFM=1v⇒MQP=1v(ủpcm).
1/C/m MFEC noụi tieõp:
(Sửỷ dỳng hai ủieơm E;F cung laứm vụựi hai ủaău ủoỏn thaỳng CM…) 2/C/m BM.EF=BA.EM
•C/m:∆EFM∽∆ABM:
Ta coự goực ABM=ACM (Vỡ cuứng chaĩn cung AM)
Baứi 7:
Cho (O) ủửụứng kớnh BC,ủieơm A naỉm tređn cung BC.Tređn tia AC laõy ủieơm D sao cho AB=AD.Dửùng hỡnh vuođng ABED;AE caĩt (O) tỏi ủieơm thửự hai F;Tieõp tuyeõn tỏi B caĩt ủửụứng thaỳng DE tỏi G.
1. C/m BGDC noụi tieõp.Xaực ủũnh tađm I cụa ủửụứng troứn naứy.
2. C/m ∆BFC vuođng cađn vaứ F laứ tađm ủửụứng troứn ngoỏi tieõp ∆BCD. 3. C/m GEFB noụi tieõp.
4. Chửựng toỷ:C;F;G thaỳng haứng vaứ G cuừng naỉm tređn ủửụứng troứn ngoỏi tieõp ∆BCD.Coự nhaụn xeựt gỡ veă I vaứ F
A B O C F I
D G E
Xeựt hai tam giaực FEB vaứ FED coự:E F chung;
Goực BE F=FED =45o;BE=ED(hai cỏnh cụa hỡnh vuođng ABED).⇒∆BFE=∆E FD ⇒BF=FD⇒BF=FC=FD.⇒ủpcm.
3/C/m GE FB noụi tieõp:
Do ∆BFC vuođng cađn ụỷ F ⇒Cung BF=FC=90o. ⇒sủgoực GBF= 2 1 Sủ cung BF= 2 1 .90o=45o.(Goực giửừa tieõp tuyeõn BG vaứ dađy BF)
Maứ goực FED=45o(tớnh chaõt hỡnh vuođng)⇒Goực FED=GBF=45o.ta lỏi coự goực FED+FEG=2v⇒Goực GBF+FEG=2v ⇒GEFB noụi tieõp.
4/ C/m• C;F;G thaỳng haứng:Do GEFB noụi tieõp ⇒Goực BFG=BEG maứ BEG=1v⇒BFG=1v.Do ∆BFG vuođng cađn ụỷ F⇒Goực BFC=1v.⇒Goực BFG+CFB=2v⇒G;F;C thaỳng haứng. C/m G cuừng naỉm tređn… :Do GBC=GDC=1v⇒tađm ủửụứng troứn ngt tửự giaực BGDC laứ F⇒G naỉn tređn ủửụứng troứn ngoỏi tieõp ∆BCD. •Deờ daứng c/m ủửụùc I≡ F.
Baứi 8:
Cho ∆ABC coự 3 goực nhún noụi tieõp trong (O).Tieõp tuyeõn tỏi B vaứ C cụa ủửụứng troứn caĩt nhau tỏi D.Tửứ D kẹ ủửụứng thaỳng song song vụựi AB,ủửụứng naứy caĩt ủửụứng troứn ụỷ E vaứ F,caĩt AC ụỷ I(E naỉm tređn cung nhoỷ BC).
1. C/m BDCO noụi tieõp. 2. C/m: DC2=DE.DF. 3. C/m:DOIC noụi tieõp.
4. Chửựng toỷ I laứ trung ủieơm FE. A
F
1/C/m BGEC noụi tieõp:
-Sửỷ dỳng toơng hai goực ủoõi… -I laứ trung ủieơm GC.
2/•C/m∆BFC vuođng cađn:
Goực BCF=FBA(Cuứng chaĩn cung BF) maứ goực FBA=45o (tớnh chaõt hỡnh vuođng)
⇒Goực BCF=45o.
Goực BFC=1v(goực noụi tieõp chaĩn nửỷa ủửụứng troứn)⇒ủpcm.
•C/m F laứ tađm ủửụứng troứn ngoỏi tieõp ∆BDC.ta C/m F caựch ủeău caực ủưnh B;C;D
Do ∆BFC vuođng cađn neđn BC=FC.
1/C/m:BDCO noụi tieõp(Duứng toơng hai goực ủoõi)
2/C/m:DC2=DE.DF.
Xeựt hai tam giaực:DEC vaứ DCF coự goực D chung.
SủgoựcECD= 2 1
sủ cung EC(Goực giửừa tieõp tuyeõn vaứ moụt dađy)
Sủ goực E FC= 2 1
sủ cung EC(Goực noụi tieõp)⇒goực ECD=DFC.
⇒∆DCE ∽∆DFC⇒ủpcm. 3/C/m DOIC noụi tieõp: Hỡnh 7
O I B C E
D
Ta coự: sủgoực BAC= 2 1
sủcung BC(Goực noụi tieõp) (1)
Sủ goực BOC=sủcung BC(Goực ụỷ tađm);OB=OC;DB=DC(tớnh chaõt hai tieõp tuyeõn caĩt nhau);OD chung⇒∆BOD=∆COD⇒Goực BOD=COD
⇒2sủ goựcDOC=sủ cung BC ⇒sủgoực DOC= 2 1
sủcungBC (2) Tửứ (1)vaứ (2)⇒Goực DOC=BAC.
Do DF//AB⇒goực BAC=DIC(ẹoăng vũ) ⇒Goực DOC=DIC⇒ Hai ủieơm O vaứ I cuứng laứm vụựi hai ủaău ủoỏn thaỳng Dc nhửừng goực baỉng nhau…⇒ủpcm
4/Chửựng toỷ I laứ trung ủieơm EF:
Do DOIC noụi tieõp ⇒ goực OID=OCD(cuứng chaĩn cung OD)
Maứ Goực OCD=1v(tớnh chaõt tieõp tuyeõn)⇒Goực OID=1v hay OI⊥ID ⇒OI⊥FE.Baựn kớnh OI vuođng goực vụựi dađy cung EF⇒I laứ trung ủieơmEF.
Baứi 9:
Cho (O),dađy cung AB.Tửứ ủieơm M baõt kyứ tređn cung AB(M≠A vaứ M≠B),kẹ dađy cung MN vuođng goực vụựi AB tỏi H.Gúi MQ laứ ủửụứng cao cụa tam giaực MAN.
1. C/m 4 ủieơm A;M;H;Q cuứng naỉm tređn moụt ủửụứng troứn. 2. C/m:NQ.NA=NH.NM
3. C/m Mn laứ phađn giaực cụa goực BMQ.
4. Hỏ ủoỏn thaỳng MP vuođng goực vụựi BN;xaực ủũnh vũ trớ cụa M tređn cung AB ủeơ MQ.AN+MP.BN coự giaực trũ lụựn nhaõt.
Giại:Coự 2 hỡnh veừ,caựch c/m tửụng tửù.Sau ủađy chư C/m tređn hỡnh 9-a. M
P A I H B Q O
N
1/ C/m:A,Q,H,M cuứng naỉm tređn moụt ủửụứng troứn.(Tuyứ vaứo hỡnh veừ ủeơ sửỷ dỳng moụt trong caực phửụng phaựp sau:-Cuứng laứm vụựi hai ủaứu …moụt goực vuođng.
-Toơng hai goực ủoõi. 2/C/m: NQ.NA=NH.NM.
Xeựt hai ∆vuođng NQM vaứ ∆NAH ủoăng dỏng.
3/C/m MN laứ phađn giaực cụa goực BMQ. Coự hai caựch:
• Caựch 1:Gúi giao ủieơm MQ vaứ AB laứ I.C/m tam giaực MIB cađn ụỷ M • Caựch 2: Goực QMN=NAH(Cuứng phỳ vụựi goực ANH)
Goực NAH=NMB(Cuứng chaĩn cung NB)⇒ủpcm
4/ xaực ủũnh vũ trớ cụa M tređn cung AB ủeơ MQ.AN+MP.BN coự giaực trũ lụựn nhaõt. Ta coự 2S∆MAN=MQ.AN
2S∆MBN=MP.BN.
2S∆MAN + 2S∆MBN = MQ.AN+MP.BN
Ta lỏi coự: 2S∆MAN + 2S∆MBN =2(S∆MAN + S∆MBN)=2SAMBN=2. 2
MN ABì
=AB.MN Vaụy: MQ.AN+MP.BN=AB.MN
Maứ AB khođng ủoơi neđn tớch AB.MN lụựn nhaõt ⇔MN lụựn nhaõt⇔MN laứ ủửụứng kớnh ⇔M laứ ủieơm chớnh giửừa cung AB.
Baứi 10:
Cho (O;R) vaứ (I;r) tieõp xuực ngoaứi tỏi A (R> r) .Dửùng tieõp tuyeõn chung ngoaứi BC (B naỉm tređn ủửụứng troứn tađm O vaứ C naỉm tređn ủử ụứng troứn tađm (I).Tieõp tuyeõn BC caĩt tieõp tuyeõn tỏi A cụa hai ủửụứng troứn ụỷ E.
1/ Chửựng minh tam giaực ABC vuođng ụỷ A.
2/ O E caĩt AB ụỷ N ; IE caĩt AC tỏi F .Chửựng minh N;E;F;A cuứng naỉm tređn moụt ủửụứng troứn .
3/ Chửựng toỷ : BC2= 4 Rr
4/ Tớnh dieụn tớch tửự giaực BCIO theo R;r Giại:
1/C/m ∆ABC vuođng: Do BE vaứ AE laứ hai tieõp tuyeõn caĩt nhau neđnAE=BE; Tửụng tửù AE=EC⇒AE=EB=EC= 2 1 B C.⇒∆ABC vuođng ụỷ A. 2/C/m A;E;N;F cuứng naỉm tređn…
-Theo tớnh chaõt hai tieõp tuyeõn caĩt nhau thỡ EO laứ phađn giaực cụa tam giaực cađn
Hỡnh 9a
B E
C N F O A I
AEB⇒EO laứ ủửụứng trung trửùc cụa AB hay OE⊥AB hay goực ENA=1v Tửụng tửù goực EFA=2v⇒toơng hai goực ủoõi……⇒4 ủieơm…
3/C/m BC2=4Rr.
Ta coự tửự giaực FANE coự 3 goực vuođng(Cmt)⇒FANE laứ hỡnh vuođng⇒∆OEI vuođng ụỷ E vaứ EA⊥OI(Tớnh chaõt tieõp tuyeõn).Aựp dỳng heụ thửực lửụùng trong tam giaực vuođng coự:
AH2=OA.AI(Bỡnh phửụng ủửụứng cao baỉng tớch hai hỡnh chieõu) Maứ AH= 2 BC vaứ OA=R;AI=r⇒ = 4 2 BC Rr⇒BC2=Rr
4/SBCIO=? Ta coự BCIO laứ hỡnh thang vuođng ⇒SBCIO=OB+ICìBC
2 ⇒S= 2 ) (r+R rR Baứi 11:
Tređn hai cỏnh goực vuođng xOy laõy hai ủieơm A vaứ B sao cho OA=OB. Moụt ủửụứng thaỳng qua A caĩt OB tỏi M(M naỉm tređn ủoỏn OB).Tửứ B hỏ ủửụứng vuođng goực vụựi AM tỏi H,caĩt AO keựo daứi tỏi I.
1. C/m OMHI noụi tieõp. 2. Tớnh goực OMI.
3. Tửứ O veừ ủửụứng vuođng goực vụựi BI tỏi K.C/m OK=KH 4. Tỡm taụp hụùp caực ủieơm K khi M thay ủoơi tređn OB. Giại:
A
O M B H H
1/C/m OMHI noụi tieõp: Sửỷ dỳng toơng hai goực ủoõi. 2/Tớnh goực OMI
Do OB⊥AI;AH⊥AB(gt) vaứ OB∩AH=M Neđn M laứ trửùc tađm cụa tam giaực ABI ⇒IM laứ ủửụứng cao thửự 3 ⇒IM⊥AB
⇒goực OIM=ABO(Goực coự cỏnh tửụng ửựng vuođng goực)
Maứ ∆ vuođng OAB coự OA=OB ⇒∆OAB vuođng cađn ụỷ O ⇒goực OBA=45o⇒goực OMI=45o
3/C/m OK=KH
Ta coự OHK=HOB+HBO (Goực ngoaứi ∆OHB)
Do AOHB noụi tieõp(Vỡ goực
AOB=AHB=1v) ⇒Goực HOB=HAB (Cuứng chaĩn cung HB) vaứ
OBH=OAH(Cuứng chaĩn Hỡnh 10
K I
Cuứng chaĩn cung OH)⇒OHK=HAB+HAO=OAB=45o. ⇒∆OKH vuođng cađn ụỷ K⇒OH=KH
4/Taụp hụùp caực ủieơm K…
Do OK⊥KB⇒ OKB=1v;OB khođng ủoơi khi M di ủoụng ⇒K naỉm tređn ủửụứng troứn ủửụứng kớnh OB. Khi M≡Othỡ K≡O Khi M≡B thỡ K laứ ủieơm chớnh giửừa cung AB.Vaụy quyừ tớch ủieơm K laứ
4 1 ủửụứng troứn ủửụứng kớnh OB. Hỡnh 11
Baứi 12:
Cho (O) ủửụứng kớnh AB vaứ dađy CD vuođng goực vụựi AB tỏi F.Tređn cung BC laõy ủieơm M.Noõi A vụựi M caĩt CD tỏi E.
1. C/m AM laứ phađn giaực cụa goực CMD. 2. C/m EFBM noụi tieõp.
3. Chửựng toỷ:AC2=AE.AM
4. Gúi giao ủieơm CB vụựi AM laứ N;MD vụựi AB laứ I.C/m NI//CD 5. Chửựng minh N laứ tađm ủửụứng treứon noụi tieõp ∆CIM
Giại: C N M A F O B I D ⇒AMB+EFB=2v⇒ủpcm. 3/C/m AC2=AE.AM
C/m hai ∆ACE∽∆AMC (A chung;goực ACD=AMD cuứng chaĩn cung AD vaứ AMD=CMA cmt ⇒ACE=AMC)…
4/C/m NI//CD. Do cung AC=AD ⇒CBA=AMD(Goực noụi tieõp chaĩn caực cung baỉng nhau) hay NMI=NBI⇒M vaứ B cuứng laứm vụựi hai ủaău ủoỏn thaỳng NI nhửừng goực baỉng nhau⇒MNIB noụi tieõp⇒NMB+NIM=2v. maứ NMB=1v(cmt)⇒NIB=1v hay NI⊥AB.Maứ CD⊥AB(gt) ⇒NI//CD.
5/Chửựng toỷ N laứ tađm ủửụứng troứn noụi tieõp ∆ICM.
Ta phại C/m N laứ giao ủieơm 3 ủửụứng phađn giaực cụa ∆CIM. •Theo c/m ta coự MN laứ phađn giaực cụa CMI
•Do MNIB noụi tieõp(cmt) ⇒NIM=NBM(cuứng chaĩn cung MN) Goực MBC=MAC(cuứng chaĩn cung CM)
Ta lỏi coự CAN=1v(goực noụi tieõpACB=1v);NIA=1v(vỡ NIB=1v)⇒ACNI noụi tieõp⇒CAN=CIN(cuứng chaĩn cung CN)⇒CIN=NIM⇒IN laứ phađn giaực CIM Vaụy N laứ tađm ủửụứng troứn……
Baứi 13 :
Cho (O) vaứ ủieơm A naỉm ngoaứi ủửụứng troứn.Veừ caực tieõp tuyeõn AB;AC vaứ caựt tuyeõn ADE.Gúi H laứ trung ủieơm DE.
1. C/m A;B;H;O;C cuứng naỉm tređn 1 ủửụứng troứn. 2. C/m HA laứ phađn giaực cụa goực BHC.
3. Gúi I laứ giao ủieơm cụa BC vaứ DE.C/m AB2=AI.AH. 4. BH caĩt (O) ụỷ K.C/m AE//CK.
B E H
1/C/m AM laứ phađn giaực cụa goực CMD Do AB⊥CD ⇒AB laứ phađn giaực cụa tam giaực cađn COD.⇒ COA=AOD.
Caực goực ụỷ tađm AOC vaứ AOD baỉng nhau neđn caực cung bũ chaĩn baỉng nhau ⇒cung AC=AD⇒caực goực noụi tieõp chaĩn caực cung naứy baỉng nhau.Vaụy
CMA=AMD.
2/C/m EFBM noụi tieõp.
Ta coự AMB=1v(Goực noụi tieõp chaĩn nửỷa ủửụứng troứn)
EFB=1v(Do AB⊥EF)
I D
O A
K C
1/C/m:A;B;O;C;H cuứng naỉm tređn moụt ủửụứng troứn: H laứ trung ủieơm EB⇒OH⊥ED(ủửụứng kớnh ủi qua trung ủieơm cụa dađy …)⇒AHO=1v. Maứ OBA=OCA=1v (Tớnh chaõt tieõp tuyeõn) ⇒A;B;O;H;C cuứng naỉm tređn ủửụứng troứn ủửụứng kớnh OA.
2/C/m HA laứ phađn giaực cụa goực BHC.
Do AB;AC laứ 2 tieõp tuyeõn caĩt nhau ⇒BAO=OAC vaứ AB=AC
⇒cung AB=AC(hai dađy baớứng nhau cụa ủửụứng troứn ủkOA) maứ BHA=BOA(Cuứng chaĩn cung AB) vaứ COA=CHA(cuứng chaĩn cung AC) maứ cung AB=AC ⇒COA=BOH⇒ CHA=AHB⇒ủpcm.
3/Xeựt hai tam giaực ABH vaứ AIB (coự A chung vaứ CBA=BHA hai goực noụi tieõp chaĩn hai cung baỉng nhau) ⇒∆ABH∽∆AIB⇒ủpcm.
4/C/m AE//CK.
Do goực BHA=BCA(cuứng chaĩn cung AB) vaứ sủ BKC= 2 1
Sủ cungBC(goực noụi tieõp) Sủ BCA=
2 1
sủ cung BC(goực giửừa tt vaứ 1 dađy) ⇒BHA=BKC⇒CK//AB
Baứi 14:
Cho (O) ủửụứng kớnh AB=2R;xy laứ tieõp tuyeõn vụựi (O) tỏi B. CD laứ 1 ủửụứng kớnh baõt kyứ.Gúi giao ủieơm cụa AC;AD vụựi xy theo thửự tửù laứ M;N.
1. Cmr:MCDN noụi tieõp. 2. Chửựng toỷ:AC.AM=AD.AN
3. Gúi I laứ tađm ủửụứng troứn ngoỏi tieõp tửự giaực MCDN vaứ H laứ trung ủieơm MN.Cmr:AOIH laứ hỡnh bỡnh haứnh.
4. Khi ủửụứng kớnh CD quay xung quanh ủieơm O thỡ I di ủoụng tređn ủửụứng naứo?
M C A O B K D H I N 1/ C/m MCDN noụi tieõp:
∆AOC cađn ụỷ O⇒OCA=CAO; goực CAO=ANB(cuứng phỳ vụựi goực