- Điều kiện cú nghiệm: ≥
B C 1/C/m AFDE noụi tieõp.(Hs tửù c/m)
1/C/m AFDE noụi tieõp.(Hs tửù c/m)
2/c/m: AB.NC=BN.AB
Do D laứ giao ủieơm caực ủửụứng phađn giaực BN vaứ CM cụa∆ABN ⇒
AN AB DN
BD = (1) Do CD laứ phađn giaực cụa ∆ CBN⇒
CN BC DN BD = (2) Tửứ (1) vaứ (2) ⇒ AN AB CN BC = ⇒ủpcm 3/c/M fe//bc:
Do BE laứ phađn giaực cụa ABI vaứ BE⊥AI⇒BE laứ ủửụứng trung trửùc cụa AI.Tửụng tửù CF laứ phađn giaực cụa ∆ACK vaứ CF⊥AK⇒CF laứ ủửụứng trung trửùc cụa AK⇒ E laứ F laăn lửụùt laứ trung ủieơm cụa AI vaứ AK⇒ FE laứ ủửụứng trung bỡnh cụa ∆AKI⇒FE//KI hay EF//BC.
4/C/m ADIC nt:
Do AEDF nt⇒DAE=DFE(cuứng chaĩn cung DE) Do FE//BC⇒EFD=DCI(so le)
Baứi 43:
Cho ∆ABC(A=1v);AB=15;AC=20(cuứng ủụn vũ ủo ủoụ daứi).Dửùng ủửụứng troứn tađm O ủửụứng kớnh AB vaứ (O’) ủửụứng kớnh AC.Hai ủửụứng troứn (O) vaứ (O’) caĩt nhau tỏi ủieơm thửự hai D.
1. Chửựng toỷ D naỉm tređn BC.
2. Gúi M laứ ủieơm chớnh giửừa cung nhoỷ DC.AM caĩt DC ụỷ E vaứ caĩt (O) ụỷ N. C/m DE.AC=AE.MC
3. C/m AN=NE vaứ O;N;O’ thaỳng haứng.
4. Gúi I laứ trung ủieơm MN.C/m goực OIO’=90o. 5. Tớnh dieụn tớch tam giaực AMC.
A
O N O’
B D E C M M
-Tớnh DB: Theo PiTaGo trong ∆ vuođng ABC coự: BC= AC2 +AB2 = 152 +202 =25.Aựp dỳng heụ thửực lửụùng trong tam giaực vuođng ABC coự: AD.BC=AB.AC⇒AD=20.15:25=12
2/C/m: DE.AC=AE.MC.Xeựt hai tam giaực ADE vaứ AMC.Coự ADE=1v(cmt) vaứ AMC=1v (goực nt chaĩn nửỷa ủửụứng troứn).Do cung MC=DB(gt)⇒DAE=MAC(2 goực nt chaĩn 2 cung baỉng nhau)
⇒∆DAE∽∆MAC⇒ AC AE MC DE MA DA = = (1)⇒ẹpcm. 3/C/m:AN=NE:
Do BA⊥AO’(∆ABC Vuođng ụỷ A)⇒BA laứ tt cụa (O’)⇒sủBAE=
2 1
sủ AM Hỡnh 42
DAI=DCI⇒ADIC noụi tieõp
1/Chửựng toỷ:D naỉm tređn ủửụứng thaỳng BC:Do ADB=1v;ADC=1v(goự c nt chaĩn nửỷa ủửụứng troứn) ⇒ADB+ADC=2v⇒D; B;C thaỳng haứng. Hỡnh 43
SủAED=sủ
2 1
(MC+AD) maứ cung MC=DM⇒cung MC+AD=AM ⇒ AED =BAC ⇒∆BAE cađn ụỷ B maứ BM⊥AE⇒NA=NE.
C/m O;N;O’ thaỳng haứng:ON laứ ủửụứng TB cụa ∆ABE⇒ON//BE vaứ OO’//BE ⇒O;N;O’ thaỳng haứng.
4/Do OO’//BC vaứ cung MC=MD ⇒O’M⊥BC⇒O’M⊥OO’⇒∆NO’M vuođng ụỷ O’ coự O’I laứ trung tuyeõn ⇒∆INO’ cađn ụỷ I⇒IO’M=INO’ maứ INO’=ONA(ủ ủ);∆OAN cađn ụỷ
O⇒ONA=OAN⇒OAI=IO’O⇒OAO’I nt⇒OAO’+OIO’=2v maứ OAO’=1v ⇒OIO’=1v. 5/ Tớnh dieụn tớch ∆AMC.Ta coự SAMC=
2 1
AM.MC .Ta coự BD= 2 =9
BC
AB ⇒DC=16
Ta lỏi coự DA2=CD.BD=16.9⇒AD=12;BE=AB=15⇒DE=15-9=6⇒AE= AD2 +DE2 =6 5 Tửứ(1) tớnh AM;MC roăi tớnh S.
Baứi 44:
Tređn (O;R),ta laăn lửụùt ủaịt theo moụt chieău,keơ tửứ ủieơm A moụt cung AB=60o, roăi cung BC=90o vaứ cung CD=120o.
1. C/m ABCD laứ hỡnh thang cađn.
2. Chửựng toỷ AC⊥DB.
3. Tớnh caực cỏnh vaứ caực ủửụứng cheựo cụa ABCD.
4. Gúi M;N laứ trung ủieơm caực cỏnh DC vaứ AB.Tređn DA keựo daứi veă phớa A laõy ủieơm P;PN caĩt DB tỏi Q.C/m MN laứ phađn giaực cụa goực PMQ.
P A J N K B Q I O D M C E
Do cung BC=90o ⇒BOC=90o⇒ ∆BOC vuođng cađn ụỷ O⇒BC=AD=R 2 Do cung CD=120o ⇒DOC=120o.Kẹ OK⊥CD⇒DOK=60o⇒sin 60o= OD DK ⇒DK= 2 3 R . ⇒CD=2DK=R 3
-Tớnh AC:Do ∆AIB vuođng cađn ụỷ I⇒2IC2=AB2⇒IA=AB 2 2 = 2 2 R Tửụng tửù IC= 2 6 R ; AC = DB=IA+IC = 2 2 ) 3 1 ( 2 6 2 2 R R R + = +
4/PN caĩt CD tỏi E;MQ caĩt AB tỏi I;PM caĩt AB tỏi J.
Do JN//ME ⇒ PE PN ME JN = Hỡnh 44
1/C/m:ABCD laứ hỡnh thang cađn:Do cung BC=90o ⇒BAC=45o (goực nt baỉng nửỷa cung bũ chaĩn).do cung AB=60o;BC=90o;CD=120o⇒
AD=90o ⇒ACD=45o
⇒BAC=ACD=45o.⇒AB//CD. Vỡ cung DAB=150o.Cung ABC =150o.⇒ BCD=CDA. ⇒ABCD laứ thang cađn.
2/C/mAC⊥DB:
Gúi I laứ giao ủieơm cụa AC vaứ
BD.sủAID=
2 1
sủ
cung(AD+BC)=180o=90o.⇒AC⊥DB.
3/Do cung AB=60o⇒AOB=60o⇒∆AOB laứ tam giaực ủeău⇒AB=R.
ME JN DE AN = Vỡ NB=NA ⇒ ME NI ME JN =
Do AN//DE ⇒ PE PN DE AN = Do NI//ME ⇒MENI = QENQ NB//ME ⇒DENB = QENQ
⇒NI=NJ.Maứ MN⊥AB(tc thang cađn)⇒∆JMI cađn ụỷp M⇒MN laứ phađn giaực…
Baứi45:
Cho ∆ ủeău ABC coự cỏnh baỉng a.Gúi D laứ giao ủieơm hai ủửụứng phađn giaực goực A vaứ goực B cụa tam giaõcBC.Tửứ D dửùng tia Dx vuođng goực vụựi DB.Tređn Dx laõy ủieơm E sao cho ED=DB(D vaứ E naỉm hai phớa cụa ủửụứng thaỳng AB).Tửứ E kẹ EF⊥BC. Gúi O laứ trung ủieơm EB.
1. C/m AEBC vaứ EDFB noụi tieõp,xaực ủũnh tađm vaứ baựn kớnh cụa caực ủửụứng troứn ngoỏi tieõp caực tửự giaực tređn theo a.
2. Keựo daứi FE veă phớa F,caĩt (D) tỏi M.EC caĩt (O) ụỷ N.C/m EBMC laứ thang cađn.Tớnh dieụn tớch.
3. c/m EC laứ phađn giaực cụa goực DAC. 4. C/m FD laứ ủửụứng trung trửùc cụa MB. 5. Chửựng toỷ A;D;N thaỳng haứng.
6. Tớnh dieụn tớch phaăn maịt traớng ủửụùc tỏo bụỷi cung nhoỷ EB cụa hai ủửụứng troứn.
E A N O D B F C M
1/Do ∆ABC laứ tam giaực ủeău coự D laứ giao ủieơm 2 ủửụứng phađn giaực goực A vaứ B⇒BD=DA=DC maứ DB=DE⇒A;B;E;C caựch ủeău D⇒AEBC nt trong (D).
Tớnh DB.Aựp dỳng cođng thửực tớnh baựn kớnh cụa ủửụứng troứn ngoỏi tieõp ủa giaực ủeău ta coự: DB= = = o o AB n Sin AB 60 sin 2 180 2 3 3 a
Do goực EDB=EFB=1v⇒EDFB noụi tieõp trong ủửụứng troứn tađm O ủửụứng kớnh EB.Theo Pi Ta Go trong tam giaực vuođng EDB coự:EB2=2ED2=2.(
3 3 a )2. DE NB ME NI =
⇒EB= 3 6 a ⇒OE= 6 6 a
2/C/m EBMC laứ thang cađn:
Goực EDB=90o laứ goực ụỷ tađm (D) chaĩn cung EB⇒Cung EB=90o⇒goực ECN=45o.⇒∆EFC vuođng cađn ụỷ F⇒FEC=45o⇒MBC=45o(=MEC=45o) ⇒EFC=CBM=45o⇒BM//EC.Ta coự ∆FBM vuođng cađn ụỷ F⇒BC=EM ⇒EBMC laứ thang cađn.
Do EBMC laứ thang cađn coự hai ủửụứng cheựo vuođng goực⇒SEBMC= 2 1 BC.EM (BC=EM=a)⇒SEBMC= 2 1 a2. 3/C/m EC laứ phađn giaực cụa goực DCA:
Ta coự ACB=60o;ECB=45o⇒ACE=15o.
Do BD;DC laứ phađn giaực cụa ∆ủeău ABC ⇒DCB=ACD=30o vaứ ECA=15o ⇒ECD=15o ⇒ECA=ECD⇒EC laứ phađn giaực cụa goực ECA.
4/C/m FD laứ ủửụứng trung trửùc cụa MB:
Do BED=BEF+FED=45o vaứ FEC=FED+DEC=45o⇒BEF=DEC vaứ DEC=DCE=15o.Maứ BE F=BDF(cuứng chaĩn cung BF) vaứ NED=NBD(cuứng chaĩn cung ND)⇒NBD=BDF⇒BN//DF maứ BN⊥EC(goực nt chaĩn nửỷa ủuụứng troứn (O) ⇒DF ⊥EC.Do DC//BM(vỡ BMCE laứ hỡnh thang cađn)⇒DF⊥BM nhửmg ∆BFM vuođng cađn ụỷ F⇒FD laứ ủửụứng trung trửùc cụa MB.
5/C/m:A;N;D thaỳng haứng: Ta coự BND=BED=45o (cuứng chaĩn cung DB) vaứ ENB=90o(cmt);ENA laứ goực ngoaứi ∆ANC⇒ENA=NAC+CAN=45o
⇒ENA+ENB+BND=180o⇒A;N;D thaỳng haứng. 6/Gúi dieụn tớch maịt traớng caăn tớnh laứ:S. Ta coự: S =Snửỷa (O)-S vieđn phađn EDB
S(O)=π.OE2=π.( 6 6 a )2= 6 2π a ⇒S2 1 (O)= 12 2π a S quỏt EBD= o o BD 360 90 . 2 ì π = 12 6 6 4 2 2 π π a = a ì S∆EBD= 2 1 DB2= 6 2 a
Svieđn phađn=S quỏt EBD - S∆EDB= 12 2π a - 6 2 a = 12 ) 2 ( 2 π − a S = 12 2π a - 12 ) 2 ( 2 π − a = 6 2 a . Baứi 46:
Cho nửỷa ủửụứng troứn (O) ủửụứng kớnh BC.Gúi a laứ moụt ủieơm baõt kyứ tređn nửỷa ủửụứng troứn;BA keựo daứi caĩt tieõp tuyeõn Cy ụỷ F.Gúi D laứ ủieơm chớnh giửừa cung AC;DB keựo daứi caĩt tieõp tuyeõn Cy tỏi E.
1. C/m BD laứ phađn giaực cụa goực ABC vaứ OD//AB. 2. C/m ADEF noụi tieõp.
3. Gúi I laứ giao ủieơm BD vaứ AC.Chửựng toỷ CI=CE vaứ IA.IC=ID.IB. 4. C/m goực AFD=AED
D E I F A F A B O C
Hay OD laứ phađn giaực cụa ∆ cađn AOC⇒OD⊥AC. Vỡ BAC laứ goực nt chaĩn nửỷa ủửụứng troứn ⇒BA⊥AC 2/C/m ADEF noụi tieõp:
Do ADB=ACB(cuứng chaĩn cung AB)
Do ACB=BFC(cuứng phỳ vụựi goực ABC) Maứ ADB+ADE=2v⇒AFE+ADE=2v⇒ADEF noụi tieõp. 3/C/m: *CI=CE:
Ta coự:sủ DCA=21 sủ cung AD(goực nt chaĩn cung AD) Sủ ECD=21 sủ cung DC (goực giửừa tt vaứ 1 dađy) Maứ cung AD=DC⇒DCA=ECD hay CD laứ phađn giaực cụa ∆ICE.Nhửng CD⊥DB (goực nt chaĩn nửỷa ủt)⇒CD vửứa laứ ủửụứng cao,vửứa laứ phađn giaực cụa ∆ICE⇒∆ICE cađn ụỷ C⇒IC=CE.
*C/m ∆IAD∽∆IBC(coự DAC=DBC cuứng chaĩn cung DC) 4/Tửù c/m:
Baứi47:
Cho nửỷa ủtroứn (O);ủửụứng kớnh AD.Tređn nửỷa ủửụứng troứn laõy hai ủieơm B vaứ C sao cho cung AB<AC.AC caĩt BD ụỷ E.Kẹ EF⊥AD tỏi F.
1. C/m:ABEF nt.
2. Chửựng toỷ DE.DB=DF.DA.
3. C/m:I laứ tađm ủửụứng troứn noụi tieõp ∆CJD.
4. Gúi I laứ giao ủieơm BD vụựi CF.C/m BI2=BF.BC-IF.IC
C B
E
I M
A F O D
Gúi M laứ trung ủieơm ED. Hỡnh 47
OD//BA ⇒ADB=AFE
1/* C/mBD laứ phađn giaực cụa goực ABC:Do cung AD=DC(gt)⇒ABD= DBC(hai goực nt chaĩn hai cung baỉng nhau)⇒BD laứ phađn giaực cụa goực ABC. *Do cung AD=DC ⇒goực AOD=DOC(2 cung baỉng nhau thỡ hai goực ụỷ tađm baỉng nhau).
Hỡnh 47
1/Sửỷ dỳng toơng hai goực ủoõi. 2/c/m: DE.DB=DF.DA
Xeựt hai tam giaực vuođng BDA vaứ FDE coự goực D chung.
⇒∆BDA∽∆FDE⇒ủpcm.
3/C/m IE laứ tađm ủửụứng troứn ngoỏi tieõp ∆FBC:
Xem cađu 3 baứi 35.
ĐO B
*C/m:BCMF noụi tieõp: Vỡ FM laứ trung tuyeõn cụa tam giaực vuođng FED⇒FM=EM=MD=
2 1
ED⇒Caực tam giaực FEM;MFD cađn ụỷ M⇒MFD=MDF vaứ EM F=MFD+MDF=2MDF(goực ngoaứi ∆MFD)
Vỡ CA laứ phađn giaực cụa goực BCF⇒2ACF=BCF.Theo cmt thỡ MDF=ACF ⇒BMF=BCF⇒BCMF noụi tieõp.
*Ta coự BFM∽∆BIC vỡ FBM=CBI(BD laứ phađn giaực cụa FBC-cmt) vaứ BMF=BCI(cmt) ⇒
BC BM BI
BF = ⇒BF.BC=BM.BI
*∆ IFM∽∆IBC vỡ BIC=FIM(ủủ).Do BCMF noụi tieõp⇒CFM=CBM(cuứng chaĩn cung CM)⇒
IM IC FI IB = ⇒IC.IF=IM.IB
Laõy trửứ veõ theo veõ
⇒ BF.BC-IF.IC=BM.IB-IM.IB=IB.(BM-IM)=BI.BI=BI2.
Baứi 48:
Cho (O) ủửụứng kớnh AB;P laứ moụt ủieơm di ủoụng tređn cung AB sao cho PA<PB. Dửùng hỡnh vuođng APQR vaứo phớa trong ủửụứng troứn.Tia PR caĩt (O) tỏi C.
1. C/m ∆ACB vuođng cađn.
2. Veừ phađn giaực AI cụa goực PAB(I naỉm tređn(O);AI caĩt PC tỏi J.C/m 4 ủieơm J;A;Q;B cuứng naỉm tređn moụt ủửụứng troứn.
3. Chửựng toỷ: CI.QJ=CJ.QP. 4. RR I P J Q A R C 3/C/m: CI.QJ=CJ.QP.
Ta caăn chửựng minh ∆CIJ∽∆QPJ vỡ AIC=APC(cuứng chaĩn cung AC) vaứ APC=JPQ=45o⇒JIC=QPJ Hụn nửừa PCI=IAP( cuứng chaĩn cung PI);IAP=PQJ(cmt)⇒ PQJ=ICJ
4/
Baứi 49:
Cho nửỷa (O) ủửụứng kớnh AB=2R.Tređn nửỷa ủửụứng troứn laõy ủieơm M sao cho cung AM<MB.Tieõp tuyeõn vụựi nửỷa ủửụứng troứn tỏi M caĩt tt Ax vaứ By laăn lửụùt ụỷ D vaứ C.
Hỡnh 48
1/ C/m∆ABC vuođng cađn:
Ta coự ACB=1v(goực nt chaĩn nửỷa ủt) Vaứ APB=1v ;Do APQR laứ hvuođng coự PC laứ ủửụứng cheựo ⇒PC laứ pg cụa goực APB⇒ cung AC=CB ⇒dađy AC=CB ⇒∆ABC vuođng cađn.
2/C/m JANQ noụi tieõp: Vỡ APJ=JPQ=45o.(t/c hv);PJ chung;AP=PQ⇒∆PAJ=∆QPJ
⇒ goực PAJ=PQJ maứ JAB=PAJ vaứ PQJ+JQB=2v⇒
1. Chửựng toỷ ADMO noụi tieõp. 2. Chửựng toỷ AD.BC=R2.
3. ẹửụứng thaỳng DC caĩt ủửụứng thaỳng AB tỏi N;MO caĩt Ax ụỷ F;MB caĩt Ax ụỷ E. Chửựng minh:AMFN laứ hỡnh thang cađn.
4. Xaực ủũnh vũ trớ cụa M tređn nửỷa ủửụứng troứn ủeơ DE=EF F C E M D N A O B 1/C/m ADMO nt:Sửỷ dỳng toơng hai goực ủoõi.
2/C/m: AD.BC=R2.
C/m:DOC vuođng ụỷ O: Theo tớnh chaõt hai tt caĩt nhau ta coự ADO=MDO ⇒MOD=DOA.Tửụng tửù MOC=COB.Maứ : MOD+DOA+MOC+COB=2v
⇒AOD+COB=DOM+MOC=1v hay DOC=1v.
Aựp dỳng heụ thửực lửụùng trong tam giaực vuođng DOC coự OM laứ ủửụứng cao ta coự:DM.MC=OM2.Maứ DM=AD;MC=CB(t/c hai tt caĩt nhau) vaứ OM=R ⇒ủpcm.
3/Do AD=MD(t/c hai tt caĩt nhau)vaứ ADO=ODM ⇒OD laứ ủửụứng trung trửùc cụa AM hay DO⊥AM. Vỡ FA⊥ON;NM⊥FO(t/c tt) vaứ FA caĩt MN tỏi D
⇒D laứ trửùc tađm cụa ∆FNO⇒DO⊥FN.Vaụy AM//FN.
Vỡ ∆OAM cađn ụỷ O⇒OAM=OMA.Do AM//FN ⇒FNO=MAO vaứ AMO=NFO ⇒FNO=NFO vaụy FNAM laứ thang cađn.
4/Do DE=FE neđn EM laứ trung tuyeõn cụa ∆ vuođng FDM⇒ED=EM. Vỡ DMA=DAM vaứ DMA+EMD=1v;DAM+DEM=1v⇒EDM=DEM hay ∆EDM cađn ụỷ D hay DM=DE.Tửứ vaứ
⇒∆EDM laứ ∆ ủeău ⇒ODM=60o⇒AOM=60o.Vaụy M naỉm ụỷ vũ trớ sao cho cung AM=1/3 nửỷa ủửụứng troứn.
Baứi 50:
Cho hỡnh vuođng ABCD,E laứ moụt ủieơm thuoục cỏnh BC.Qua B kẹ ủửụứng thaỳng vuođng goực vụựi DE ,ủửụứng naứy caĩt caực ủửụứng thaỳng DE vaứ DC theo thửự tửù ụỷ H vaứ K.
1. Chửựng minh:BHCD nt. 2. Tớnh goực CHK.
3. C/m KC.KD=KH.KB.
4. Khi E di ủoụng tređn BC thỡ H di ủoụng tređn ủửụứng naứo? A D
1/ C/m BHCD nt(Sửỷ dỳng H vaứ C cuứng laứm vụựi hai ủaău ủoỏn thaỳng DB…)
2/Tớnh goực CHK:
Do BDCE nt ⇒DBC=DHK(cuứng chaĩn cung DC) maứ DBC=45o (tớnh chaõt hỡnh vuođng)⇒DHC=45o maứ DHK=1v(gt)⇒CHK=45o.
3/C/m KC.KD=KH.KB.
Chửựng minh hai tam giaực vuođng Hỡnh 49
B E C H H
K
KCB vaứ KHD ủoăng dỏng.
4/Do BHD=1v khođng ủoơi ⇒E di chuyeơn tređn BC thỡ H di ủoụng tređn ủửụứng troứn ủửụứng kớnh DB.
Heõt phaăn I
MOễT TRAÍM BAỉI TAễP HèNH HểC LễÙP 9.
Phaăn 2: 50 baứi taụp cụ bạn.
Baứi 51:Cho (O), tửứ moụt ủieơm A naỉm ngoaứi ủửụứng troứn (O), veừ hai tt AB vaứ AC vụựi ủửụứng
troứn. Kẹ dađy CD//AB. Noõi AD caĩt ủửụứng troứn (O) tỏi E. 1. C/m ABOC noụi tieõp.
2. Chửựng toỷ AB2=AE.AD.
3. C/m goực AOC ACBã =ã vaứ ∆BDC cađn. 4. CE keựo daứi caĩt AB ụỷ I. C/m IA=IB.
1/C/m: ABOC nt:(HS tửù c/m)
2/C/m: AB2=AE.AD. Chửựng minh ∆ADB ∽ ∆ABE , vỡ coự Eà chung. Sủ ABEã =
2 1
sủ cung BEằ (goực giửừa tt vaứ 1 dađy) Sủ ã
BDE = 21 sủ BE (goực nt chaĩn ằ BE )ằ 3/C/m AOC ACBã = ã
* Do ABOC nt⇒ AOC ABCã = ã (cuứng chaĩn cung AC); vỡ AC = AB (t/c 2 tt caĩt nhau) ⇒ ∆ABC cađn ụỷ A⇒ABC ACBã = ã ⇒AOC ACBã = ã
* sủ ACBã = 2 1
sủ BECẳ (goực giửừa tt vaứ 1 dađy); sủ BDCã = 2 1
sủ BECẳ (goực nt) ⇒ BDCã =ACBã maứ ABCã =BDCã (do CD//AB) ⇒ BDC BCDã =ã ⇒ ∆BDC cađn ụỷ B.
4/ Ta coự I$ chung; IBE ECBã = ã (goực giửừa tt vaứ 1 dađy; goực nt chaĩn cung BE)⇒ ∆IBE∽∆ICB⇒
IC IB IB
IE = ⇒ IB2=IE.IC
Xeựt 2 ∆IAE vaứ ICA coự I$ chung; sủ IAEã = 2 1
sủ (DB BEằ −ằ ) maứ ∆BDC cađn ụỷ B⇒ DB BCằ =ằ ⇒sủ ã
IAE=sủ (BC-BE) = sủ CE= sủ ECAằ ằ 1 ằ ã
2
⇒ ∆IAE∽∆ICA⇒
IA IE IC
IA = ⇒IA2=IE.IC Tửứ vaứ⇒IA2=IB2⇒ IA=IB
Baứi 52:
Cho ∆ABC (AB=AC); BC=6; ẹửụứng cao AH=4(cuứng ủụn vũ ủoụ daứi), noụi tieõp trong (O) ủửụứng kớnh AA’.
1. Tớnh baựn kớnh cụa (O).
2. Kẹ ủửụứng kớnh CC’. Tửự giaực ACA’C’ laứ hỡnh gỡ? 3. Kẹ AK⊥CC’. C/m AKHC laứ hỡnh thang cađn.
Hỡnh 51 I E D C B O A
4. Quay ∆ABC moụt voứng quanh trỳc AH. Tớnh dieụn tớch xung quanh cụa hỡnh ủửụùc tỏo ra.
Hỡnh bỡnh haứnh. Vỡ AA’=CC’(ủửụứng kớnh cụa ủửụứng troứn)⇒AC’A’C laứ hỡnh chửừ nhaụt. 3/ C/m: AKHC laứ thang cađn:
¿ ta coự AKC=AHC=1v⇒AKHC noụi tieõp.⇒HKC=HAC(cuứng chaĩn cung HC) maứ ∆OAC cađn ụỷ O⇒OAC=OCA⇒HKC=HCA⇒HK//AC⇒AKHC laứ hỡnh thang.
¿ Ta lỏi coự:KAH=KCH (cuứng chaĩn cung KH)⇒ KAO+OAC=KCH+OCA⇒Hỡnh thang AKHC coự hai goực ụỷ ủaựy baỉng nhau.Vaụy AKHC laứ thang cađn.
4/ Khi Quay ∆ ABC quanh trỳc AH thỡ hỡnh ủửụùc sinh ra laứ hỡnh noựn. Trong ủoự BH laứ baựn kớnh ủaựy; AB laứ ủửụứng sinh; AH laứ ủửụứng cao hỡnh noựn.
Sxq= 2 1 p.d= 2 1 .2π.BH.AB=15π V= 3 1 B.h= 3 1 πBH2.AH=12π
Baứi 53:Cho(O) vaứ hai ủửụứng kớnh AB; CD vuođng goực vụựi nhau. Gúi I laứ trung ủieơm OA. Qua I veừ
dađy MQ⊥OA (M∈ cung AC ; Q∈ AD). ẹửụứng thaỳng vuođng goực vụựi MQ tỏi M caĩt (O) tỏi P. 1. C/m: a/ PMIO laứ thang vuođng.
b/ P; Q; O thaỳng haứng.
2. Gúi S laứ Giao ủieơm cụa AP vụựi CQ. Tớnh Goực CSP. 3. Gúi H laứ giao ủieơm cụa AP vụựi MQ. Cmr:
a/ MH.MQ= MP2.
b/ MP laứ tieõp tuyeõn cụa ủửụứng troứn ngoỏi tieõp ∆QHP.
1/Tớnh OA:ta coự BC=6; ủửụứng cao AH=4 ⇒ AB=5;
∆ABA’ vuođng ụỷ B⇒BH2=AH.A’H ⇒A’H= AH BH2 =4 9 ⇒AA’=AH+HA’= 4 25 ⇒AO= 8 25 2/ACA’C’ laứ hỡnh gỡ?
Do O laứ trung ủieơm AA’ vaứ CC’⇒ACA’C’ laứ
Hỡnh 52
1/ a/ C/m MPOI laứ thang vuođng.
Vỡ OI⊥MI; CO⊥IO(gt)
⇒CO//MI maứ MP⊥CO ⇒MP⊥MI⇒MP//OI⇒MPOI laứ thang vuođng.
b/ C/m: P; Q; O thaỳng haứng: Do MPOI laứ thang vuođng ⇒IMP=1v hay QMP=1v⇒ QP laứ ủửụứng kớnh cụa (O)⇒ Q; O; P thaỳng haứng. 2/ Tớnh goực CSP: Ta coự sủ CSP=2 1 sủ(AQ+CP) (goực coự ủưnh naỉm trong ủửụứng troứn) maứ cung CP = CM
HK K C' C A' A O B S J H M P Q I D C O A B
vaứ CM=QD ⇒ CP=QD ⇒ sủ CSP= 2 1sủ(AQ+CP)= sủ CSP= 2 1sủ(AQ+QD) = 2 1sủAD=45o. Vaụy CSP=45o.
3/ a/ Xeựt hai tam giaực vuođng: MPQ vaứ MHP coự : Vỡ ∆ AOM cađn ụỷ O; I laứ trung ủieơm AO; MI⊥AO⇒∆MAO laứ tam giaực cađn ụỷ M⇒ ∆AMO laứ tam giaực ủeău ⇒ cung AM=60o vaứ MC = CP =30o ⇒ cung MP = 60o. ⇒ cung AM=MP ⇒ goực MPH= MQP (goực nt chaĩn hai cung baỉng nhau.)⇒ ∆MHP∽∆MQP⇒ ủpcm.
b/ C/m MP laứ tieõp tuyeõn cụa ủửụứng troứn ngoỏi tieõp ∆ QHP.
Gúi J laứ tađm ủtroứn ngoỏi tieõp ∆QHP.Do cung AQ=MP=60o⇒ ∆HQP cađn ụỷ H vaứ QHP=120o⇒J naỉm tređn ủửụứng thaỳng HO⇒ ∆HPJ laứ tam giaực ủeău maứ HPM=30o⇒MPH+HPJ=MPJ=90o hay JP⊥MP tỏi P naỉm tređn ủửụứng troứn ngoỏi tieõp ∆HPQ ⇒ủpcm.
Baứi 54:
Cho (O;R) vaứ moụt caựt tuyeõn d khođng ủi qua tađm O.Tửứ moụt ủieơm M tređn d vaứ ụỷ ngoaứi (O) ta kẹ hai tieõp tuyeõn MA vaứ MB vụựi ủửụứmg troứn; BO keựo daứi caĩt (O) tỏi ủieơm thửự hai laứ C.Gúi H laứ chađn ủửụứng vuođng goực hỏ tửứ O xuoõng d.ẹửụứng thaỳng vuođng goực vụựi BC tỏi O caĩt AM tỏi D.
1. C/m A; O; H; M; B cuứng naỉm tređn 1 ủửụứng troứn. 2. C/m AC//MO vaứ MD=OD.
3. ẹửụứng thaỳng OM caĩt (O) tỏi E vaứ F. Chửựng toỷ MA2=ME.MF
4. Xaực ủũnh vũ trớ cụa ủieơm M tređn d ủeơ ∆MAB laứ tam giaực ủeău.Tớnh dieụn tớch phaăn tỏo bụỷi hai tt vụựi ủửụứng troứn trong trửụứng hụùp naứy.
¿C/mMD=OD. Do OD//MB (cuứng ⊥CB)⇒DOM=OMB(so le) maứ OMB=OMD(cmt)⇒DOM=DMO⇒∆DOM cađn ụỷ D⇒ủpcm.
3/C/m: MA2=ME.MF: Xeựt hai tam giaực AEM vaứ MAF coự goực M chung.