Ở trong phần mở đầu ta đã biết định lí biểu diễn Riesz đã được trình bày lại theo kiểu định lí biểu diễn của Choquet. Mặc dù, kết luận của định lí Riesz là đầy đủ và chính xác,
nhưng những giả thiết của nó đã hạn chế việc áp dụng nó vào một lớp các tập lồi compact. Do đó, tiếp theo chúng ta sẽ mô tả một họ các tập hợp có vẻ rộng hơn các tập hợp liên quan trong định lí Riesz, nhưng họ các tập hợp đó chứa những tập hợp mà chúng ta quan tâm, đó là mỗi tập con lồi, compact của một không gian lồi địa phương là đồng phôi affine với một phần tử của họ tập hợp này.
Trong phần này ta sẽ kí hiệu Y là một không gian Hausdoff và compact; CC( )Y là không gian các hàm nhận giá trị phức và liên tục trên Y theo chuẩn sup. Để làm việc trên không gian Banach phức CC( )Y ta nhắc lại một số vấn đề cơ bản sau: Cho E là một không gian Banach phức, như ta đã biết, liên hợp của một không gian lồi địa phương EP
*
P
trong tôpô yếu của chính nó là E, với mỗi x∈Eta xác định được một hàm tuyến tính liên tục yếu biến f thành f(x) trên EP
*
P
. Với mỗi tập lồi trong (EP
*
P
;yếu), ta xem nó như một không gian véctơ thực gồm những hàm đối ngẫu có dạng f →R ef (x), x∈E.
Định nghĩa 3.2.1. Giả sử M là một không gian con tuyến tính (không nhất thiết là đóng) của C(Y) (hoặc của CC( )Y ) và 1 M∈ . Ta định nghĩa không gian trạng thái K(M) của M là tập hợp tất cả các hàm *
L∈M sao cho L 1( )= =1 L . Nếu trên MP
*
P
ta xét tôpô yếu của nó, thì K(M) là một tập con lồi compact khác rỗng của một không gian lồi địa phương, và các kết quả của những phần trước có thể áp dụng được. Để ý rằng, định lí Riesz đã nói về tập hợp K(C(Y)), để hoàn thành một cách đầy đủ việc sử dụng những kết quả này, ta cần phải mô tả các điểm cực biên của K(M). Trong trường hợp tổng quát, tạm thời ta chưa có kết luận gì, còn trong trường hợp M là một đại số con của CC( )Y thì Bishop và Bishop-De Leeuw đã thu được một số kết quả hữu ích và thú vị của tập hợp các điểm cực biên của K(M).
Việc xét đồng thời hai trường hợp số thực và số phức, gợi cho chúng ta nhớ lại một dạng biểu diễn của định lí Riesz đối với tập ( )*
C
C Y như sau: Nếu L thuộc ( )*
C
C Y thì tồn tại những độ đo Borel chính quy không âm µ µ µ1, 2, 3 và
4
µ trên Y sao cho độ đo µ = µ − µ + µ − µ1 2 i( 3 4) biểu diễn L và biến phân toàn phần µ của µ bằng L .
Nếu L 1( )= =1 L thì L≥0(điều đó tương đương với Lf ≥0 khi f ≥0) và do đó
1 0
đĩa đóng trong mặt phẳng phức chứa tập bị chặn f(Y); giả sử D có tâm là α, bán kính là r > 0, thì f − α ≤r nên r≥ L f( − α =) L f( )− α , suy ra Lf ∈D. Do đó Lf nằm trong bao lồi đóng của f(Y) ( là giao của tất cả các đĩa chứa f(Y)) và do f(Y) được chứa trong trục thực không âm, nên ta có Lf ≥0). Ngoài ra trong trường hợp số phức, những hàm số trong K(M) có thể được biểu diễn bởi những độ đo xác suất trên Y. Thật vậy, nếu L∈K M( ) thì theo định lí Hahn-Banach (dạng số phức) nó có thể mở rộng thành một phần tử của K(CC( )Y ). Theo định lí Riesz, tồn tại một độ đo phức µ trên Y sao cho ( )
Y
L f =∫fd ,fµ ∈M, và do đó µ là một độ đo xác suất.
Định nghĩa 3.2.2. Cho Y là một không gian Hausdoff và compact. Nếu y là một phần tử trong Y, ta định nghĩa φy là một phần tử của K(M) xác định bởi công thức ( )( ) ( )φy y =f y
với mọi f trong M. Ở đây φ là một hàm liên tục từ Y vào trong tôpô yếu trên K(M). Nếu M tách các điểm của Y, thì φ là ánh xạ một đối một và do đó nó là một phép đồng phôi và nhúng vào Y như một tập con compact của K(M).
Nếu L∈K M( ) và µ là một độ đo trên Y thì L f( ) ( )= µ f ,f∈M.
Khi đó ta hoàn toàn có thể chuyển µ sang µ/ trên K(M) bằng cách đặt µ = µ φ/ o −1. Vì M là không gian liên hợp của không gian MP
*
P
(trong tôpô yếu của nó), nên µ/ biểu diễn L.
Bổ đề 3.2.3. Nếu M là một không gian con của C(Y) ( hoặc của CRCR(Y) ) và 1 M∈ thì K(M) chính là bao lồi đóng yếu của φ( )Y .
Chứng minh
Nếu khẳng định trên là sai, thì tồn tại hàm f trong M sao cho
( )( )
{ } { ( ) ( )} { ( ) ( )* }
sup Ref y : y∈Y <sup ReL f : L∈K M ≤sup ReL f : L∈C Y , L =1 = Ref
. Ta có thể giả sử rằng R ef ≥0( bằng cách cộng thêm vào f một số dương không đổi); số hạng đầu khi đó trở thành Ref và dẫn đến điều mâu thuẫn, do đó bổ đề được chứng minh.
Định nghĩa 3.2.4. Giả sử M là một không gian con tuyến tính của C(Y) (hoặc của CRCR(Y) ) và 1 M∈ . Gọi B(M) là tập hợp tất cả các phần tử y của Y, mà φy là một điểm cực biên của K(M). Khi đó ta nói B(M) là biên Choquet của M.
Vậy một phần tử L của K(M) là một điểm cực biên của K(M) khi và chỉ khi L= φy
với y thuộc biên Choquet của M.
Mệnh đề 3.2.5. Giả sử M là một không gian con của C(Y) (hoặc của CRCR(Y) ) và M tách các điểm của Y và chứa những hàm không đổi. Khi đó, phần tử y thuộc vào biên Choquet B(M) của tập hợp M khi và chỉ khi µ = εylà độ đo xác suất trên Y sao cho ( )
Y
f y =∫gdµ với f∈M.
Chứng minh
Giả sử y∈B M( ) và có độ đo µ trên Y, f y( )=∫fdµ với mỗi f ∈M. Khi đó độ đo µ = µ φ/ o −1 được xác định trên K(M) và hệ thức trên cho ta
/ 1 y y ~ φ − µ ε = ε φo . Từ φ ∈y exK(M), và mệnh đề 1.1.6 suy ra 1 1 y − − µ φ = ε φo o . Do φ là một phép đồng phôi, nên µ = εy.
Ngược lại, nếu y∉B M( ), thì φ ∉y exK M( ). Khi đó tồn tại những phiếm hàm phân biệt trong K(M), suy ra tồn tại các độ đo phân biệt µ1 và µ2 trên Y biểu diễn các phiếm hàm đó sao cho ( )( ) 1( ) 2( ) 1 1 y f f f 2 2 φ = µ + µ với mỗi f ∈M. Đặt 1 1 1 2 2 2
µ = µ + µ thì µ( ) ( )f =f y với mỗi f∈M, mặc dù µ ≠ εy. (Thực vậy, giả sử
y 1 2
1 1
,
2 2
ε = µ = µ + µ do µ1 và µ2 là phân biệt, µ ≠ ε1 y nên µ1{ }y <1. Từ đó ta có µ{ }y <1
nên µ ≠ εy).
Mệnh đề này cho thấy: khi M là C(Y) hoặc CRCR(Y), thì
( )y exK(M) B M( ) Y
φ = ⇔ = .
Một ví dụ cụ thể khi B M( )≠Y như sau: Cho Y=[ ]0;1 và
( ) 1 1 ( ) 1 ( )M f C Y : f f 0 f 1