Trong phần này chúng ta sẽ đưa ra hai ứng dụng của định lí Choquet – Bishop – De Leeuw.
U
+ Ứng dụng thứ nhất
Giả sử rằng Y là một không gian Haussdoff và f, fRnR (n = 1; 2; 3; …) là những hàm số thuộc C(Y). Ta đã biết một định lí cổ điển phát biểu rằng: “{ }fn là dãy hội tụ yếu về f nếu và chỉ nếu dãy { }fn bị chặn đều và lim fn( ) ( )y =f y , y∀ ∈Y”. Chúng ta đã biết, nếu các điểm cực biên của quả cầu đơn vị U trong C(Y)P
*
P
là những hàm số có dạng f → ±f y( ) thì kết quả này là một trường hợp đặc biệt của định lí sau:
Định lí 3.1.1. (Rainwater) Cho E là một không gian định chuẩn tuyến tính và x, xRnR (n = 1; 2; 3; …) là các phần tử của E. Khi đó dãy { }xn hội tụ yếu về x khi và chỉ khi dãy { }xn bị chặn và lim f x( ) ( )n =f x với mọi điểm cực biên f trong quả cầu đơn vị U của không gian EP
*
P
.
Chứng minh. Cho Q là phép đẳng cự tự nhiên từ E vào EP
**
P
. Nếu dãy { }xn hội tụ yếu về x thì với mỗi f thuộc EP
*
P
, dãy các số thực (Qxn)( )f bị chặn và do đó theo định lí bị chặn đều thì dãy { }Qxn bị chặn theo chuẩn nên dãy { }xn cũng bị chặn theo chuẩn.
Chứng minh sự hội tụ: Giả sử rằng dãy { }Qxn bị chặn và giả sử
( ) (n n)( ) ( )( ) ( )
f x = Qx f → Qx f =f x , f∀ ∈exU và g là một phần tử tùy ý của U. Khi đó ta có
(Qxn)( ) ( )( )g → Qx g . Trong tôpô yếu trên EP
*
P
, quả cầu đơn vị U là một tập lồi compact nên theo định lí Bishop – De Leeuw, tồn tại một vành σ là S của các tập con U ( với exU∈S ) và một độ đo xác suất µ trên S, khi đó µ(U \ exU)=0 và L g( )= ∫Ldµ với mọi hàm affine L liên tục yếuP
*
P
trên U.
Trường hợp đặc biệt, (Qxn)( )g =∫Qx dn µ và ( )( )Qx g =∫Qxdµ. Ngoài ra, { }Qxn hội tụ về Qx trên U hầu khắp nơi theo độ đo µ.
Vậy theo định lí hội tụ bị chặn Lebesgue thì ∫(Qx dn) µ =∫Qxdµ, định lí đã được chứng minh.
U
+ Ứng dụng thứ haiU (Được giải quyết trong không gian Banach tùy ý).
Định lí 3.1.2.(Haydon) Cho E là một không gian Banach thực và K là một tập con lồi compact yếuP * P của EP * P
, thì exK tách được theo chuẩn. Khi đó K là bao lồi đóng các điểm cực biên của nó (do đó K cũng tách được theo chuẩn).
Chứng minh. Cho M=sup f : f{ ∈K}, giả sử ε >0 và { }fi là một tập con trù mật theo chuẩn của exK.
Với mỗi i, ta định nghĩa BRiR là giao của K với quả cầu đóng có tâm fRiR, bán kính bằng
3
ε .
Khi đó BRiR là tập compact lồi yếuP
*
P
và UBi ⊃exK.
Cho f là một điểm thuộc K và µlà một độ đo xác suất cực đại trên K với tích chập
( )
r µ =f . Do UBi là một tập hợp Fσ yếuP
*
P
nên µ(UBi)=1. Cho n là một số nguyên dương. Khi đó, nếu i n i
i 1D B D B = = =U thì ( )D 1 3M ε µ > − , và µ có thể viết ở dạng: ( ) 1 1 2
µ = λµ + − λ µ , trong đó λ = µ( )D và µ µ1, 2 là những độ đo xác suất trên K sao cho
1 D
λµ = µ và (1− λ µ = µ) 2 K \D ( Nếu λ =1 thì µ2 là một độ đo xác suất tùy ý trên K ). Khi đó
( ) ( ) (1 ) ( )2 f = µ = λ µ + − λr r 1 r µ . Vì r( )µ ∈2 K nên f r( ) (1 1 ) ( )r 2 .M 3M 3 ε ε − λ µ = − λ µ ≤ = .
Do µ1 là độ đo xác suất tựa bởi i n i
i 1
B
== =
U nên các điểm r( )µ1 nằm trên bao lồi của i n i
i 1
B
== =
U , mà bao lồi đó là tập compact yếuP
*P P . Vậy ( ) i n 1 i i i 1 r g = = µ =∑λ .
Đây là một điểm của Co exK( ) và r( )1 h 3 ε µ − ≤ , suy ra: ( ) (1 ) ( )1 ( )1 f h f r 1 r r h 3 3 3 ε ε ε − ≤ − λ µ + − λ µ + µ − ≤ + + .
Do đó Co exK( ) là trù mật theo chuẩn trong K.