( )1 1( ) 1( )MfC Y : f f 0 f
3.3.Áp dụng biên Choquet vào giải thức
Cho X là một không gian Hausdorff compact và giả sử với mỗi λ >0 có một phép biến đổi tuyến tính R : C Xλ ( )→C X( ) sao cho Rλ ≥0 ( do đó R fλ ≥0 khi f ≥0) và
1 R 1× =
λ. Ta gọi họ các toán tử Rλ(λ >0) là một giải thức nếu đẳng thức sau thoả mãn với mọi /
; 0
λ λ > : / ( ) /
/
Rλ −Rλ = λ − λ R Rλ λ (*)
Từ định nghĩa trên ta suy ra một số tính chất cơ bản sau của giải thức: 1) Với mỗi λ >0, Rλlà liên tục và Rλ = 1
λ ; 2) Với mỗi λ và λ/, R .Rλ λ/ =R .Rλ/ λ;
3) Các toán tử Rλ có cùng miền giá trị.
Chứng minh 1) Thực vậy, nếu f∈C Y( ) thì ± ≤f f o1, do đó ±R fλ ≤ f R 1λ 1 f = λ o , vậy 1 Rλ ≤ λ nhưng R 1λ = 1 λ.
2) Nếu λ = λ/ thì hiển nhiên ta có điều cần phải chứng minh.
3) Thực vậy, cho trước số dương λ, gọi Mλ =Rλ(C(X)) là miền giá trị của Rλ. Với mọi λ, / 0 λ > nếu f∈C X( ), thì / ( ) ( )/ / R fλ −R fλ = λ − λ Rλ R fλ , suy ra R fλ/ ∈Mλ. Do đó /
Mλ ⊂Mλ. Vậy ta có điều cần chứng minh.
Gọi M là miền giá trị chung của các toán tử R, trong nội dung tiếp theo của phần này, ta giả thiết rằng M tách các điểm của X.
Định lí 3.3.1. Giả sử X là một không gian Hausdorff compact, Rλ là một giải thức trên C(X), M là miền giá trị chung của các toán tử Rλ.
1) Nếu x nằm trên biên Choquet B của M thì lim (R fλ )( ) ( )x f x
λ→∞λ = , với ∀ ∈f C X .( )
2) Nếu x thuộc vào không gian X, thì tồn tại một độ đo Borel chính quy µx trên X sao cho với mỗi f trong C(X), ta có: ( )( ) x
X
lim R fλ x fd
λ→∞λ =∫ µ . Độ đo µx được tựa bởi tập B, theo nghĩa là µx(A)=0, với tập Baire A bất kì mà A⊂X \ B.
3) Nếu X thuộc vào không gian X và 1) đúng, thì x∈B.
Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh rằng nếu g thuộc vào tập M thì
R gλ g 0 khi
λ − → λ → ∞.
Thật vậy, ta có thể viết g=R f1 với f∈C X( ) và do đó
( ) 1 1 1 1 R gλ g R R fλ R f 1 R R fλ R fλ Rλ R f f . λ − = λ − = ⋅ − = − Điều đó dẫn đến 1 1 1 R gλ g R . R fλ f R f f 0 λ − ≤ − ≤ − → λ .
Bây giờ ta giả sử rằng x∈X và λ >0. Phiếm hàm được xác định trên C(X), biến f thành λ(R fλ )( )x là không âm trên các hàm không âm và nó biến 1 thành 1, do đó tồn tại một độ đo xác suất µx ,λ trên X, sao cho λ(R fλ )( )x =∫fdµx ,λ với f C(X)∈ .
Với mỗi 0λ >0 , ta gọi A(λ0, x) là bao đóng của {µx ,λ:λ ≥ λ0} ( trong tôpô yếu của C(X)P
*
P
).
Bằng cách cố định x thì những tập hợp A(λ0, x) (với 0λ >0 ) có dạng là một họ các tập compact khác rỗng lồng vào nhau. Do đó nó có giao khác rỗng là A(x).
Tiếp theo chúng ta chứng minh rằng nếu µ∈A X( ) thì µ ε~ x nghĩa là µ( ) ( )g =g x , với g∈M.
Thật vậy, cho trước ε >0, khi đó tồn tại 0λ >0 sao cho (R g)( ) ( )x g x R g g 2 λ λ ε λ − ≤ λ − < với λ ≥ λ0.
Vì µ∈A(λ0; x) nên mỗi lân cận yếu của µ chứa một độ đo µx ,λ với những λ ≥ λ0. Đặc biệt, khi x , ( ) ( )g g
2
λ
ε
µ − µ < với những λ ≥ λ0 thì µ( ) ( )g −g x < ε ∀ε >, 0. + Bây giờ ta giả sử rằng x∈B, với B là biên Choquet của M.
Nếu µ∈A X( ) thì µ ε~ x và từ tính chất duy nhất của biên Choquet, ta kết luận rằng: Nếu x∈B thì A x( ) { }= εx . Do đó, nếu x∈B và U là một lân cận yếu bất kì của εx thì ta phải có A(λ0, x)⊂U với một vài λ0, suy ra µ ∈x ,λ U nếu λ ≥ λ0.
Vì vậy µx ,λ hội tụ về εx khi λ → ∞, nghĩa là với mỗi x trong B, limλ(R fλ )( )x tồn tại và bằng f(x) với f∈C X( ), và từ đó 1) được chứng minh.
+ Tiếp theo, ta giả sử rằng x∈X. Theo định lí Choquet-Bishop-De Leeuw tồn tại một độ đo cực đại µx ~εx trên X.
Cho trước f∈C X( ) và λ >0, đặt gλ = λR fλ ; khi đó gλ∈M nên
( ) x( ) xX X gλ x = µ g =∫gdµ . Theo những gì chúng ta đã chứng minh thì gλ = λR fλ ≤ λ Rλ ⋅ f = f và ( ) ( )( ) ( ) gλ y = λ R fλ y →f y với y∈B.
Bây giờ ta giả sử X là một không gian khả meetrict, thì µx( )B =1.
Cho gλ →f hầu khắp nơi theo độ đo µx, theo định lí hội tụ mạnh Lebesgue suy ra
( )( ) x( )
limλ R fλ x = µ f .
Nếu X không khả metrict, ta có thể ( như chứng minh của định lí Bishop-De Leeuw) thác triển µx trên vành σ được sinh ra bởi B và các tập con Baire của X, vậy µx ~εx và
( )
x B 1
µ = .
Theo các vành σ lớn hơn này, thì tất cả các hàm liên quan đều đo được, nên chúng ta có thể áp dụng định lí hội tụ mạnh như trên.
+ Vấn đề còn lại là ta phải chứng minh rằng x∈B khi limλ(R fλ )( ) ( )x =f x với mọi hàm f trong C(X).
Giả sử rằng, µ ε~ x (và khi đó µ > εx); ta cần chứng minh µ = εx.
Theo chứng minh trên limλ(R fλ )( )x = µx( )f luôn đúng với bất kì độ đo cực đại µx sao cho µx ~εx.
Do đó, ta có thể giả sử µx là một độ đo cực đại thoả mãn µ > µx .
Vì f x( )=limλ(R fλ )( ) ( )x =f x với tất cả các hàm f∈C X( ), nên ε = µ > µ > εx x x,
vô lí.
Vậy ta đã hoàn tất việc chứng minh định lí trên.