R thuộc vào A Từ h

( )1 1( ) 1( )MfC Y : f f 0 f

R thuộc vào A Từ h

thuộc vào A. Từ h 1 f =e suy ra ( ) 1 1 f ≤1, f y > − ε1 và f1 ≤ ε trong Y\U.

+ Chú ý rằng nếu Y là khả metrict thì mỗi điểm của Y là một tập Gδ, và sự tương đương giữa vi) và v) cho ta hệ quả sau.

Hệ quả 3.4.3. Nếu Y khả metric và A là một hàm đại số trong CRCR(Y) thì biên Choquet của A trùng với tập hợp các đỉnh điểm của A.

+ Biên Choquet có thể là một tập con thực sự của biên Silov như trong ví dụ sau: Cho Y là đường tròn đơn vị {z : z =1} trong mặt phẳng phức và AR1R là những hàm trong CRCR(Y), là thu hẹp của những hàm f giải tích trong z <1 và liên tục trong z ≤1 thoả mãn f 0( ) ( )=f 1 .

Theo nguyên lí môđun cực đại của hàm giải tích, mọi điểm của Y, ngoại trừ 1, đều là cực điểm của AR1R; mà Y là khả metrict, điều này chứng tỏ B A( )1 =Y \ 1 ,{ } trong khi đó biên Silov của AR1R là Y.

+ Tuy nhiên, xét ví dụ: Cho Y={z : z ≤1}; AR2R là tập hợp tất cả các hàm trong CRCR(Y), và giải tích trong z <1.

Khi đó biên Choquet trùng với biên Silov và cùng bằng với biên {z : z =1} của Y. + Cuối cùng, cho Y={z : z =1} và cho AR3Rgồm những hàm trong AR2Rbị thu hẹp trên Y thì biên Silov và biên Choquet bằng Y. ( Như vậy, điều này xảy ra khi tập hợp các hàm là đại số con thực sự của CRCR(Y)).

Định nghĩa 3.4.4. Điểm x được gọi là điểm trơn của quả cầu đơn vị trong không gian Banach E nếu x =1 và tồn tại duy nhất một hàm f trong EP

*

P

sao cho f = =1 f x( ).

Mệnh đề 3.4.5 ( S. MAZUR )Cho E là một không gian Banach thực ( hoặc phức ) tách được và cho S={x : x =1} là quả cầu đơn vị trong E. Khi đó điểm trơn của S có dạng là một tập con trù mật Gδ của S.

Chứng minh

+ Trong trường hợp E là không gian phức, ta sẽ xét nó như một không gian thực; khi đó tập hợp các điểm trơn ( ta sẽ kí hiệu là sm S) sẽ không bị thay đổi. Ta sẽ chứng minh rằng smS là giao đếm được của những tập con mở trù mật của S. Do S là một không gian metric đầy đủ, nên theo định lí phạm trù Baire ta sẽ thu được kết luận mong muốn.

Cho { }xn là một dãy trù mật trong S. Với các số nguyên dương m, n, ta đặt DRmnR là tập hợp những giá trị x trong S sao cho ( ) ( ) 1

n n

f x −g x <m− , khi f ,g∈E thoả mãn

( ) ( )

f =f x = =1 g x = g .

Nếu x S \ smS∈ thì x∉Dmn với một vài giá trị m, n, do đó sm S= ∩Dmn. Để chứng tỏ rằng S\DRmnR là một tập đóng trong S, ta giả sử rằng yk∈S \ Dmn và

k

Chọn các hàm f ,gk k sao cho fk( )yk = =1 gk( )yk và ( ) ( ) 1

k n k n

f x −g x ≥m , k 1, 2,3,...− = .

Từ tính compact yếu của quả cầu đơn vị trong EP

*

P

suy ra y S \ D∈ mn. Việc còn lại là ta phải chứng minh mỗi tập DRmnR là trù mật trong S.

Dùng phản chứng, giả sử điều này không đúng thì với các giá trị m, n ta có thể chọn y

S ∈ và δ >0 sao cho x− < δy và x =1, dẫn đến x∉Dmn. Cho y1 =y và chọn * 1 1 f ,g ∈E sao cho f y1( )1 = f1 = =1 g1 =g y1( )1 và ( ) 1 ( ) 1 n 1 n f x ≥m− +g x .

Tiếp theo, dùng phương pháp quy nạp ta xác định dãy { }yk trong S và các hàm f ,gk k

tương ứng, sao cho ( k)

1 k

y −y < −1 2− δ, fk( )yk = =1 gk( )yk và ( ) 1 ( )

k n 1 n

f x ≥km− +g x . Từ điều kiện fk( )xn ≤1 sẽ dẫn đến mâu thuẫn.

Giả sử ta đã chọn yRkR có các tính chất trên. Ta xác định yk 1+ =(yk + αxn)/ yk + αxn , với α >0 và đủ nhỏ để đảm bảo rằng k 1 k k 1 y −y + <2− − δ. Do đó, yk 1+ =1 và ( k) 1 k 1 k k 1 y −y + < −1 2− δ + y −y + ( k 1) 1 2− − < − δ < δ.

Từ đó suy ra yk 1+ ∉Dmn, vì vậy tồn tại các hàm fk 1+,gk 1+ sao cho

( ) ( ) k 1 k 1 k 1 k 1 f + y + = =1 g + y + và ( ) 1 ( ) k 1 n k 1 n f + x ≥m− +g + x . Bây giờ, ta có ( ) ( ) k 1 k k 1 k n k n 1= y + ≥f y + = + α1 f x  y + αx . Từ gk 1+ ( )yk 1+ = ≥1 gk 1+ ( )yk suy ra yk + αxn =gk 1+ (yk + αxn)≤ + α1 gk 1+ ( )xn . Những điều này kết hợp lại, cho ta fk( )xn ≤gk 1+ ( )xn , nên

( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( )

k 1 n k 1 n k n 1 n

f + x ≥m− +g + x ≥m− +f x ≥ k 1 m+ − +g x . Vậy mệnh đề được chứng minh.

Hệ quả 3.4.6. Giả sử Y là một không gian metrict compact và M là một không gian con tách, đóng đều của CRCR(Y) ( hoặc của C(Y) ) chứa các hàm không đổi. Khi đó những đỉnh điểm của M là trù mật trong biên Choquet của M.

Cho P là tập hợp những điểm trong y thuộc Y sao cho f y( )= f với các điểm trơn f của quả cầu đơn vị trong M. Khi đó mọi điểm trong P đều là cực điểm của M và P sẽ là trù mật trong B(M), nếu φ( )P trù mật yếu trong exK(M).

Điều này là đúng nếu K(M) là bao lồi đóng yếu của φ( )P . Nếu K(M) không phải là bao lồi đóng yếu của φ( )P , thì ta có thể chọn hàm g trong M, g =1, sao cho

( ) ( ( ))

sup Re g P <sup Re g K M .

Vì điểm trơn là trù mật đều trong quả cầu đơn vị của M, nên tồn tại một điểm trơn f thoả mãn sup Re f P( )<sup Re f K M( ( )).

Tuy nhiên với hàm f như thế thì sup Ref P( )= f và sup Re f K M( ( ))≤ f , mâu thuẫn.

KẾT LUẬN

Từ việc nghiên cứu các tài liệu tham khảo, tổng hợp và sắp xếp hệ thống kiến thức, luận văn đã đạt được các kết quả sau.

Thứ nhất, luận văn đã tạo nên được mạch kiến thức, đi từ các khái niệm đơn giản của toán học đến các kết quả quan trọng như: định lý Choquet trong trường hợp khả mêtrict, định lý Choquet-Bishop-De Leeuw của lý thuyết Choquet và các ứng dụng của nó. Điều đó giúp cho người đọc dễ dàng tìm hiểu và nắm bắt được những kết quả cốt yếu của lý thuyết

Choquet.

Thứ hai, hầu hết các kết quả của luận văn đều được chứng minh một cách rõ ràng và tỉ mỉ.

Tuy nhiên, do hạn chế về thời gian và khuôn khổ của một luận văn thạc sĩ, tác giả chưa thể đi sâu hơn vào lĩnh vực này nên nhiều kết quả quan trọng của lý thuyết Choquet chưa được đề cập ở đây. Chẳng hạn như: tích phân Choquet và ứng dụng của nó để xây dựng tích phân mờ. Đây là một lĩnh vực tương đối mới của toán học hiện đại.

Qua việc thực hiện luận văn , tác giả đã rút ra được nhiều kiến thức và kinh nghiệm trong việc nghiên cứu tài liệu toán học. Điều đó sẽ rất bổ ích cho tác giả trong việc nâng cao kiến thức trong thời gian tới.

Mặc dù tác giả đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những sai sót. Rất mong nhận được sự chỉ bảo của quý thầy cô và các bạn. Xin chân thành cảm ơn!