( )1 1( ) 1( )MfC Y : f f 0 f
3.4.Biên Choquet của các đại số đều
+ Ta hiểu một đại số đều ( hoặc hàm đại số ) trong CRCR(Y) ( với Y là không gian
Hausdorff compact) là một đại số con đóng bất kì của CRCR(Y) chứa các hàm không đổi và các hàm tách các điểm của Y.
Định nghĩa 3.4.1. Giả sử A là một đại số đều trong CRCR(Y) và y∈Y. Ta sẽ nói y thoả mãn Điều kiện I: Nếu với mọi lân cận mở U bất kì của y và ε >0 tuỳ ý, đều tồn tại hàm f trong A sao cho f ≤1, f y( ) > − ε1 và f ≤ ε trong Y\U.
Điều kiện II: Nếu S là một Gδ chứa y, thì tồn tại hàm f trong A sao cho f y( ) = f và
( )
{x : f y = f }⊂S.
Định lí 3.4.2 ( Bishop – De Leeuw )
+ Giả sử A là một đại số đều trong CRCR(Y) và y∈Y. Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
i. Điểm y thoả mãn điều kiện I.
ii. Với mỗi tập mở U có chứa y tồn tại hàm f∈A sao cho f y( ) = f và f < f
trong Y\U.
iii. Với mỗi x∈Y mà x≠y đều tồn tại hàm f∈A sao cho f x( ) < f y( ) = f . iv. Điểm y thoả mãn điều kiện II.
v. Điểm y thuộc vào biên Choquet B(A) của A.
Chứng minh.
+ Giả sử rằng y thoả mãn điều kiện I và U là tập mở chứa y. Ta sẽ xây dựng một dãy
{ }gn của các hàm trong A thoả mãn các tính chất sau: a) gn 1+ −gn ≤2− +n 1; b) ( n 1) n g ≤3 1 2− − − ; c) ( ) ( n) n g y =3 1 2− − ; d) gn 1+ −gn <2− −n 1 trong Y\U.
+ Giả sử ta đã xây dựng được dãy { }gn như trên, do a) nên { }gn hội tụ về một hàm
f ∈A; Từ b) và c) ta suy ra f = =3 f y( ). Ngoài ra, nếu x∈Y \ U thì từ
( ) n k 1 k k n f g g g ∞ + = = +∑ − ta có ( ) ( ) ( ) ( n 1) k 1 n k 1 k k n k n f x g g x g x 3 1 2 2 3 ∞ ∞ − − − − + = = ≤ +∑ − < − +∑ < .
+ Chúng ta xây dựng dãy { }gn bằng phương pháp quy nạp như sau:
Từ y∈U và thoả mãn điều kiện I, suy ra tồn tại f trong A sao cho f ≤1, ( ) 3 f y 4 > và 1 f 4 ≤ trong Y\U. Chọn ( ) 1 1 3 g f y f 2 − = . Vì ( ) 3 f y 4 > , ( 2) 1 3 4 g . 2 3 1 2 2 3 − ≤ = < − nên gR1R thoả mãn b) Hơn nữa, ( ) ( 1) 1 3 g y 3 1 2 2 −
= = − , nên gR1R thoả mãn tất cả các điều kiện còn lại. Giả sử rằng ta đã chọn được gR1R, gR2R, …, gRkR thoả mãn 4 điều kiện trên.
Vì ( ) ( k)k k
g y =3 1 2− − , nên y có một lân cận V, V⊂U, sao cho ( k) k 2 k
g <3 1 2− − +2− − trong V.
Ta có thể chọn một hàm f khác ở trong sao cho f ≤1, ( ) 3 f y 4 > và f 1 4 ≤ trong Y\V. Đặt ( ) ( ) 1 k 1 h= 3.2− − f y − f ; thì ( ) k 1 h y =3.2− − và k 1 h ≤2− + . Hơn nữa, với x∈Y \ V, ( ) k 1
h x <2− − .
Chọn gk 1+ =gk +h thì các tính chất a) c) và d) được thoả mãn. Để kiểm tra tính chất b) , ta giả sử rằng x∈V, khi đó
( ) ( ) ( ) ( k) k 2 k 1 ( k 2)
k 1 k
Mặt khác, nếu x∈Y \ V, thì
( ) k 1 ( k 1) k 1 k ( k 2)
k 1 k
g + x ≤ g +2− − ≤3 1 2− − − +2− − = −3 2− <3 1 2− − − .
Vậy theo quy nạp ta đã xây dựng được dãy { }gn và như vậy ta đã chứng minh được i) ⇒ii).
* Chứng minh ii) ⇒ iii): Chọn lân cận U của y sao cho x∈Y \ U thì từ ii) ta có ngay iii).
* Chứng minh iii) ⇒ iv):
+ Để chứng minh y thoả mãn điều kiện II, ta giả sử rằng S là một tập Gδ chứa y. Cho
{ }Un là dãy giảm các tập mở với S= ∩Un.
Với mỗi số n ta sẽ tìm được fnR R trong A sao cho fn = =1 fn( )y và fn <1 trong Y\URnR.
Hàm n
n
f =∑2 f− thoả mãn tính chất của điều kiện II.
Giả sử rằng n 1 và x≥ ∈Y \ Un, theo iii) tồn tại fRxR trong A sao cho
( )
x x x
f y = =1 f và f <1 trong một lân cận VRxR của x.
Do tính compact của Y\URnRta có thể chọn một số hữu hạn f ,f ,...,fx1 x2 xk những hàm như thế, sao cho V , V ,..., Vx1 x2 xk phủ Y\URnR.
Khi đó hàm 1 i
n x
f =k− ∑f là hàm cần tìm.
* Chứng minh iv) ⇒ v):
+ Giả sử y thoả mãn điều kiện II.
Ta chứng minh µ = εy là độ đo xác suất trên Y. Khi đó µ( ) ( )f =f y với mỗi f∈A và từ mệnh đề 3.2.5 ta có thể kết luận y∈B A( ).
Thật vậy, giả sử µ là một độ đo như thế, ta có µ( ){ }y =1, điều đó đủ để chứng tỏ rằng
( )S 1
µ = với bất kì tập hợp Gδ chứa y.
Nếu S là một tập hợp như thế, ta chọn hàm f trong A, ta có y∈{x : f x( ) = f }⊂S;
khi đó ( ) ( ) ( ) S Y\S Y\S f = f y = µ f ≤∫ f dµ + ∫ f dµ ≤ f µ S + ∫ f dµ. Nếu µ(Y \ S)>0 thì Y\S f dµ
∫ < f µ(Y \ S), điều này là vô lí, do đó ta có điều cần phải chứng minh.
Bổ đề 3.4.3. Nếu M là không gian con tách của CRCR(Y), với 1 M∈ , thì ReM ( không gian phần thực của những hàm trong M ) là một không gian tách của C(Y), và B ReM( )=B(M).
Chứng minh
+ Áp dụng mệnh đề 3.2.5 và chú ý rằng một độ đo thực µ trên Y thì
(R ef) (R ef)( )y
µ = với f∈M, nếu và chỉ nếu µ( ) ( )f =f y với f∈M. Ta có điều phải chứng minh.
+ Chúng ta quay lại việc chứng minh v) ⇒i):
Giả sử y∈B A( )=B Re A( ), U là một lân cận mở của y và 0< ε <1.
Ta chọn một hàm g trong C(Y), sao cho 0≤ ≤g 1,g y( )=1 và g=0 trên Y\U. Kí hiệu tập lồi compact yếu K Re A( ) trong ( )*
Re A là X và áp dụng định lí mở rộng của Tietze, ta thu được f∈C X( ). Ta có f =goφ−1 trên φ( )Y ⊂X.
Từ φ ∈y exX và mệnh đề 2.1.4 suy ra ( )( ) ( )( )−f φ = −y f φ = −y g y( )= −1.
Bây giờ không gian các hàm affine liên tục trên X là đẳng cấu ( theo mệnh đề 2.2.7) với bao đóng đều của những hàm trong ReA, cho nên
( )( )−f φ =y inf h y : h{ ( ) ∈Re A, h≥ −f}.
Từ đó, tồn tại hR0R trong Re A sao cho h0 ≤g và h0( )y >log(δ −1 / log) δ ( khi δ =1
ε).
Cho h=(logδ)(h0 −1) thì h∈Re A và tồn tại k trong ReA sao cho h+ ∈ik A. Vì A là một tập đóng trong CRCR(Y), nên hàm fR1=exp h( +ik)