Một thuật toán được sử dụng rộng rãi trong kỹ thuật nhằm xác định phương trình các đường cong thực nghiệm trong kỹ thuật đó là phương pháp Curve Fitting (vẽ đường cong thực nghiệm). Đây là phương pháp cho phép xây dựng lại đường cong từ các điểm có được bằng phương pháp đo, từ đó có được phương trình biểu diễn của đường cong đi qua các điểm đó. Trong phương pháp này có các thuật toán như bình phương tối thiểu (least–Squares regression), thuật toán nội suy (Interpolation) . . .
Thuật ngữ nối trơn đường cong (curve fitting) hay điều chỉnh dữ liệu được dùng để mô tả bài toán tổng quát của việc tìm các hàm khớp với một tập các giá trị điểm.
Cho các điểm: x1, x2,…, xN và các giá trị tương ứng y1, y2,…, yN. Mục đích là tìm các hàm sao cho f(x1) = y1; f(x2) = y2, …; f(xN) = yN ; và f(x) sao cho gần nhất với những điểm dữ liệu khác. Tức là x và y được liên hệ bởi hàm f(x) ẩn nào đó và mục tiêu của ta là tìm ra hàm đó.
Nối trơn đường cong có ứng dụng phổ biến trong phân tích các dữ liệu thuộc thí nghiệm và còn nhiều ứng dụng khác nữa…Ví dụ, nó có thể dùng trong đồ hoạ máy tính để tạo ra đường cong hợp lý mà không cần phải lưu một số lượng lớn các điểm vẽ. Một ứng dụng có liên hệ nữa là dùng chỉnh đường cong để cho ra một thuật giải nhanh trong tính toán giá trị của hàm chưa biết ở một điểm bất kỳ.
Phương pháp cơ bản để tiếp cận bài toán này đó là phương pháp nội suy: tìm một hàm liên tục nối trơn với các giá trị đã cho.
Các đa thức bậc thấp là những đường cong đơn giản được sử dụng rộng rãi trong nối trơn đường cong. Thay vì dùng các đa thức khác nhau để nối các điểm kề nhau, nối các đoạn sao cho thật mịn. Một trường hợp đặc biệt liên hệ sự tính toán tương đối trực tiếp, phương pháp này còn gọi là: Nội suy spline.
Spline là một thiết bị cơ học được người thiết kế dùng để vẽ các đường cong đẹp, có thẩm mỹ, chỉ cần xác định tập hợp các điểm (nút) rồi bẻ cong một giải plastic hay miếng gỗ linh hoạt (spline) quanh chúng và lấy vết chúng để tạo thành một đường cong. Nội suy spline thì tương đương về mặt toán học với việc này và cho ra cùng một kết quả. Hình dưới minh hoạ một spline qua 10 điểm.
Có thể thấy rằng hình dạng của một đường cong tạo bởi spline giữa hai nút kề nhau là một đa thức bậc ba. Trở lại bài toán nối dữ liệu, điều này có nghĩa là ta nên xem đường cong là N-1 đa thức khác nhau có bậc ba.
si(x) = aix3 + bix2+ cix + di i ; (1, 2…N-1)
Với si(x) là đa thức bậc ba xác định giữa khoảng xi và xi+1. Spline có thể được biểu diễn trong một mảng bốn chiều (hay trong 4x(N-1) mảng hai chiều). Việc tạo một spline gồm tính các hệ số a, b,c, d từ các điểm x và các giá trị y đã cho.
Có nhiều thay đổi tư tưởng điều chỉnh đường cong bằng cách nối các đoạn đa thức sao cho thật mịn..
Phƣơng pháp bình phƣơng tối thiểu:
Phương pháp bình phương tối thiểu thường được dùng trong nối trơn đường thẳng hay đường cong. Nhiều bài toán tối ưu hóa cũng được quy về việc tìm cực trị của dạng bình phương.
Giả sử dữ liệu gồm các điểm (xi, yi) với i = 1, 2, ..., n. Chúng ta cần tìm một hàm số f thỏa mãn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
Giả sử hàm f có thể thay đổi hình dạng, phụ thuộc vào một số tham số, pj với
j = 1, 2, ..., m.
f(x) = f(pj, x)
Nội dung của phương pháp là tìm giá trị của các tham số pj sao cho biểu thức sau đạt cực tiểu: 2 2 1 1 ( ( )) n i i R y f x (3-1) Trong đó: R là tổng bình phương nhỏ nhất.