6. Cấu trúc của luận văn
2.2.1.Dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử
a) Kiến thức cơ bản cần trang bị, củng cố cho HS.
Đa thức là tổng của các đơn thức. Các phép toán với đa thức bao gồm: cộng, trừ, nhân, chia đa thức.
Các hằng đẳng thức đáng nhớ.
Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đối đa thức đó thành một tích các đa thức.
Các phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử thƣờng dùng: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức đáng nhớ, nhóm các hạng tử và phối hợp ba phƣơng pháp đó.
Các phƣơng pháp khác:
- Tách hoặc thêm bớt các hạng tử. - Dùng biến phụ.
- Phƣơng pháp hệ số bất định. - Phƣơng pháp hoán vị vòng quanh.
b) Các kỹ năng thành phần cần rèn luyện và hoạt động của học sinh.
Biết cách tìm nhân tử chung và đặt nhân tử chung.
Có kỹ năng vận dụng các hằng đẳng thức đã học vào việc phân tích đa thức thành nhân tử.
Học sinh biết nhóm các hạng tử một cách thích hợp để phân tích đa thức thành nhân tử.
Học sinh biết vận dụng một cách linh hoạt các phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học vào việc giải loại toán phân tích đa thức thành nhân tử.
Rèn luyện kỹ năng giải bài tập có sử dụng đến phân tích đa thức thành nhân tử.
c) Gợi ý sử dụng bài tập để rèn luyện kỹ năng cho HS.
g còn thiếu: đối với dạng toán này, cần chú ý những kiến thức và kỹ năng sau đây:
+ Hằng đẳng thức.
+ Thực hiện các phép tính với đa thức.
+ Quy tắc nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung.
Phân loại 3 đối tƣợng HS: yếu kém - trung bình - khá giỏi để lựa chọn các bài tập đã phân bậc cho phù hợp với đối tƣợng:
+ HS yếu kém: các bài toán từ 1 đến 5 + HS trung bình: các bài từ 6 đến 10 + HS khá giỏi: các bài từ 11 đến 23
GV thực hiện rèn lu
hoạt động đƣa ra ví dụ và làm mẫu rút ra quy trình giải cho HS giải bài tập tƣơng tự luyện tập nâng cao.
Chi tiết cách thức tiến hành đƣợc minh họa thông qua ví dụ ở mục d) dƣới đây GV có thể tham khảo, lựa chọn các bài tập nâng cao để bồi dƣỡng cho đối tƣợng học sinh giỏi, hay các lớp chuyên chọn: Các bài toán từ 15 đến 23
d) Ví dụ minh họa:
GV chọn một số bài cơ bản trong hệ thống bài tập và hƣớng dẫn HS tiến hành các hoạt động luyện tập kỹ năng nhƣ sau:
Ví dụ 1: phân tích đa thức sau thành nhân tử x2 - y2 - 4x +4
Hoạt động 1: Nhận dạng đa thức để định hƣớng cách phân tích
Cách thức tiến hành: thông qua hệ thống câu hỏi, GV cho HS nhận dạng đa thức nhƣ sau:
GV: các hạng tử trong đa thức có nhân tử chung không? HS: Không có.
GV: Vậy ta nghĩ đến những phƣơng pháp nào tiếp theo? HS: Có thể nhóm. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Hoạt động 2: Vận dụng các quy tắc và phƣơng pháp nhóm và dùng hằng đẳng thức để phân tích đa thức
Cách thức tiến hành: GV tổ chức HS tiến hành giải bài toán thông qua: Gọi một em lên bảng làm với sự trợ giúp khi cần thiết của GV, các em khác theo dõi và trình bày lời giải trong vở ghi.
Khi đó có HS có thể nhóm nhƣ sau: x2 - y2 - 4x + 4
= (x2 - y2) - (4x - 4) = (x - y)(x + y) - 4(x - 1)
Đến đây HS nhận ra là không thể phân tích tiếp đƣợc. Nhƣng nếu ta nhóm:
x2 - y2 - 4x + 4
= (x2 - 4x + 4) - y2 thì sẽ xuất hiện hằng đẳng thức và ta sẽ biến đổi đƣợc các bƣớc tiếp theo. HS: x2 - y2 - 4x + 4 = (x2 - 4x + 4) - y2 = (x - 2)2 - y2 = (x - 2 - y) (x - 2 + y)
GV: Ngoài cách làm trên còn có cách phân tích nào khác không? Hoạt động 3: Củng cố & nhận xét
GV: Qua ví dụ trên ta thấy, để làm đƣợc các bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử thì trƣớc hết cần phải nhận dạng đa thức để tìm ra phƣơng pháp phân tích phù hợp.
GV: Khi sử dụng phƣơng pháp nhóm, ta phải nhóm các hạng tử một cách phù hợp.
Ví dụ 2: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng:
a3 + b3 + a2c + b2c = abc. (1) Hoạt động 1: Nhận dạng:
Để chứng minh (1), ta phải chứng minh:
a3 + b3 + a2c + b2c - abc =0 (2)
Vì đề bài cho a + b + c = 0, ta sẽ dự đoán phân tích vế trái của (2) thành tích trong đó chứa nhân tử (a + b + c). (Rèn cho học sinh kỹ năng nhận dạng bài tập và kỹ năng sử dụng giả thiết)
Khi đó HS sẽ nhận ra bản chất của bài toán là phân tích đa thức: a3 + b3 + a2c + b2c - abc thành nhân tử.
Hoạt động 2: Tổ chức các hoạt động cho học sinh phân tích đa thức trên thành nhân tử bằng các phƣơng pháp phân tích đã học. HS có thể phân tích để chứng minh nhƣ sau: a3 + b3 + a2c + b2c - abc = (a3 + b3) + (a2c + b2c - abc) = (a + b) (a2 - ab+ b2) + c (a2 - ab+ b2) = (a + b + c) (a2 - ab+ b2) = 0 (a2 - ab+ b2) = 0. Vậy a3 + b3 + a2c + b2c = abc.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi m là số nguyên thì: m3 - m luôn chia hết cho 6.
Hoạt động 1: Phân tích bài toán, nhận dạng định hƣớng cách làm thông qua hệ thống câu hỏi và trả lời giữa GV và HS nhƣ sau:
GV: Để chứng minh một số chia hết cho 6 ta cần chỉ ra điều gì? HS: Ta phải chứng minh số đó đồng thời chia hết cho cả 2 và 3. Dự đoán: Phân tích m3
- m thành tích các số hạng chia hết cho 2 và 3. Hoạt động 2: Trên cơ sở đã định hƣớng cách làm ở hoạt động 1 GV yêu cầu một hoặc hai em HS lên bảng trình bày lời giải, các em HS khác tự trình bày vào vở sau đó GV củng cố nhận xét bài làm của HS.
m3 - m = (m - 1) m(m +1)
Trong ba số nguyên liên tiếp ít nhất phải có một số chẵn nên m3 - m = (m - 1) m(m +1) 2. (3)
Vì m là số là số nguyên nên hoặc m 3 hoặc m chia 3 dƣ 1 thì (m - 1) 3 hoặc m chia 3 dƣ 2 thì (m + 1) 3. (4)
Mặt khác (2; 3) = 1, vì thế từ (3) và (4) suy ra m3 - m = (m - 1) m (m +1) 6
Sau khi làm bài tập trên ta có thể mở rộng cho học sinh làm bài tập sau: Chứng minh rằng với mọi m là số nguyên thì:
m3 + 5m và m3 - 19m luôn chia hết cho 6.
Hướng dẫn:
m3 + 5m = (m3 - m) + 6m m3 - 19m = (m3 - m) - 18m
e) Hệ thống bài tập (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Dành cho học sinh yếu kém
Bài 1. Phân tích thành nhân tử:
a) x4 + 2x3 + x2 b) x3 - x + 3x2y + 3xy2 + y3 - y c) 5x2 - 10xy + 5y2 - 20z2 d)
Bài 2. Phân tích thành nhân tử:
a) x2 + 4x + 3 b) 2x2 + 3x - 5 c) 16x - 5x2 - 3 Bài 3. Tìm x, biết:
a) 5x(x - 1) = x - 1 b) 2(x + 5) - x2 - 5x = 0 Bài 4: Phân tích thành nhân tử
a) 3x - 6y
b)14x2y - 21xy2 + 28x2y2 c) 10x(x - y) - 8y(y - x)
Bài 5: Phân tích thành nhân tử a) x2 - xy + x - y
b)xz + yz - 5(x + y) c) 8x3 - 1/8.
Dành cho học sinh trung bình
Bài 6.
a/ Cho (x + y + z) (xy + yz + zx) = xyz. Chứng minh rằng x2013 + y2013 + z2013 = (x + y + z)2013
b/ Chứng minh rằng nếu (x + y + z) 6 thì A = [(x + y) (y + z) (z + x) - 2xyz] 6
Bài 7. a/ Chứng minh rằng điều kiện để đa thức x2 + bx + c phân tích đƣợc thành nhân tử là: b
2
4 - c là bình phƣơng của một số hữu tỉ. b/ Chứng minh rằng điều kiện để đa thức ax2
+ bx + c (với a 0; 1) phân tích đƣợc thành nhân tử là: (b 2a ) 2 - a c
là bình phƣơng của một số hữu tỉ. Sau đó kiểm tra xem đa thức: 2x2
- 5x + 7 có phân tích đƣợc thành nhân tử không? Bài 8. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a/ x3 + 6x2 + 11x + 6; b/ x4 + 3x2 - 7x2 - 27x - 18; c/ x3 - 8x2 + x + 42; c/ x4 + 5x3 - 7x2 - 41x - 30 Bài 9. Giải các phƣơng trình:
a/ 6x2 + x + 4 = 11x2 b/ x4 - 14x4 + 49x2 = 36 Bài 10. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a/ x4 + 4; b/ x4 + 324; c/ x8 + 64
Dành cho học sinh khá giỏi
Bài 11. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a/ x12 + x6 + 1 b/ x16 + x8 + 1 c/ x8 + 7x4 -16 d/ x40 + 2x20 + 9 e/ x4n + x2n + 1 f/ x4n + 5x2n + 9
Bài 12. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a/ x5 + x -1 b/ x5 + x4 - 1
c/ x7 + x2 + 1 d/ x9 + x8 + x7 - x3 + 1 e/ x10 + x5 + 1
Bài 13. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a/ A = (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) - 12 b/ B = (x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - 4) + 1 c/ C = (x - 2) (x - 4) (x - 6) (x - 8) + 15 d/ D = (x - 2) (x - 4) (x - 6) (x - 8) + 16 e/ E = (x2 + 3x + 2) (x2 + 7x + 12) - 24 f/ F = (x2 + 3x + 2) (x2 + 7x + 12) + 1 Bài 14.
a/ Chứng minh rằng với mọi x, y Z thì
A = (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y) + y4 là số chính phƣơng b/ Cho T = (t - 1) (t - 3) (t - 4) (t - 6) + 9 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
1. Chứng minh: T 0 với mọi t
2. T là số chính phƣơng với mọi t Z Bài 15.
a/ Tìm điều kiện của a và m để M = (x - a) (x - 2a) (x - 4a) + m phân tích đƣợc thành nhân tử. Đa thức H = (x - 2) (x - 4) (x - 6) (x - 8) + 4 có phân tích đƣợc thành nhân tử không?
b/ Tìm điều kiện của a, b, n Q để:
N = (x + a) (x + b) (x + a + n) (x + b + n) + k - Phân tích đƣợc thành nhân tử.
- Trở thành bình phƣơng đúng.
Bài 16. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
b/ a3 - b3 - c3 - 3abc; c/ (a - b)3 + (b + c)3 + (c + x)3 - 8(x + b + c)3; d/ (a - b)5 + (b - c)5 + (c - a)5 Bài 17. a/ Cho a3 + b3 + c3 = 3abc. Chứng minh rằng: a + b + c = 0 hoặc a = b = c b/ Cho a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd và a,b,c,d > 0. Chứng minh rằng: a = b = c = d.
Bài 18.
a/ Tìm x, biết x3 + 3ax2 + 3(a2 - bc) x + a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 với a, b, c là các số đã cho.
b/ Tìm bộ ba số nguyên dƣơng (x, y, z) thỏa mãn: x3 + y3 + 3xyz - z3 = (2x + 2y)2
Bài 19. Phân tích thành nhân tử:
a/ A = a2b2 (a - b) - c2b2 (c - b) + a2c2 (c - a);
b/ B = 2bc (b + 2c) + 2ac (c - 2a) - 2ab (a + 2b) - 7abc; c/ C = ab (b - a) - bc (b - c) - ac (c - a);
d/ D = 3bc (3b - c) - 3ac (3c - a) - 3ab (3a + b) + 28 abc; e/ E = a (b2 + c2) + b (a2 + c2) + c (a2 + b2) + 2abc. Bài 20. a/ Lần lƣợt thay a = 1; 2; 3;…; n trong hằng đẳng thức (a +1)2 = a2 + 2a + 1 rồi cộng theo vế các đẳng thức. Từ đó tính tổng S1 = 1 + 2 + 3 + … + n b/ Hãy tính tổng S2 = 12 + 22 + 32 + …. + n2 từ (a + 1)3 c/ Hãy tính tổng S3 = 13 + 23 + 33 + …. + n3 từ (a + 1)4 Bài 21.
a/ Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức A = n3
1/ Là hợp số 2/ Bằng 2013
b/ Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức B = n4
- n3 - 6n2 + 7n - 21 là số nguyên tố
Bài 22. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phƣơng pháp hệ số bất định:
a/ 2x2 - 7xy + 6y2 + 9x - 13y - 5 b/ 2x4 - 7x3 + 17x2 - 20x + 14
c/ 2x4 - 19x3 + 2002x2 - 9779x + 11670 Bài 23.
a/ Chứng minh rằng tổng của tích bốn số tự nhiên chẵn liên tiếp với 16 là số chính phƣơng.
b/ Tìm các số nguyên a, b, c sao cho (x + a) (x - 2) - 7 = (x + b) (x + c)