minh trong Ab câ d¢y c§u x¤
A⊗R X −→1⊗α A⊗RY −→1⊗β A⊗RZ vîi 1⊗β =Coker(1⊗α).
Thªt vªy, v¼ β =Cokerα= Y /Imα n¶nβ l to n x¤, do â β = Coimβ = Y /Kerβ. =⇒ imα = kerβ.
Vªy d¢y X −→α Y −→β Z −→O khîp, tø â d¢y A⊗R X −→1⊗α A⊗R Y −→1⊗β A⊗R Z −→0 khîp8.
Suy ra im(1⊗α) =ker(1⊗β) v 1⊗β l to n x¤ n¶n
1 ⊗β = coim(1⊗ β) = A ⊗R Y /Ker(1 ⊗ β) = A⊗R Y /Im(1⊗α)
= Coker(1⊗α)
NHN XT:
Nâi chung − ⊗R B, HomR(B,−) khæng khîp. Thªt vªy, chån R=Z, B =Z2.
∗ Ta câ d¢y sau khîp:
0−→2Z −→j Z−→p Z2 −→0,
trong â j(1) = 2, p(1) = ¯1. Tuy nhi¶n, d¢y sau khæng khîp
0−→2Z⊗ZZ2 −→j⊗id Z⊗ZZ2 −→p⊗id Z2⊗ZZ2 −→0
8X⊗
v¼ j ⊗id khæng ìn ¡nh. Thªt vªy, j⊗id(1⊗¯1) =j(1)⊗id(¯1) = 2⊗¯1 = 1⊗2¯1 = 1⊗¯0 = 0. =⇒j ⊗id l ¡nh x¤ khæng. Nâ khæng ìn ¡nh v¼ 2Z⊗ZZ2 ∼= Z⊗ ZZ2 ∼=Z 2 6= 0.9
∗ Ta câ vîi ϕ∈HomZ(Z2,Z), 2ϕ(¯1) =ϕ(¯2 = 0. =⇒ϕ(¯1) = 0 hay ϕ= 0. =⇒HomZ(Z2,Z) = 0. N¸u d¢y khîp
0−→Z −→j Z −→p Z2 −→0, trong â j(1) = 2, p(1) = ¯1 sinh ra d¢y khîp
0−→HomZ(Z2,Z)−→j? HomZ(Z2,Z)−→p?
HomZ(Z2,Z2)−→0 th¼ d¢y sau khîp
0−→0−→ 0−→HomZ(Z2,Z2)−→ 0 Vªy HomZ(Z2,Z2) = 0 (væ lþ).
B i tªp 2.6. Cho P l R −mæun ph£i tü do10, h m tû sau khîp: P ⊗R− : R −Mod −→ Ab X 7−→ P ⊗R X X −→α Y 7−→ P ⊗R X −→1⊗α P ⊗RX 9R⊗ RM∼=M⊗RR∼=M v 2Z∼=Z 10P x¤ £nh công óng
Líi gi£i. V¼ c¡c ph¤m trò R −Mod v Ab l c¡c ph¤m trò abel n¶n ta s³ chùng minhP ⊗R− bi¸n d¢y khîp ngn
0 −→X −→α Y −→β Z −→ 0 th nh d¢y khîp ngn
0−→P ⊗R X −→1⊗α P ⊗RY −→1⊗β P ⊗R Z −→ 0 Ta bi¸t P ⊗R − l khîp ph£i n¶n vi»c cán l¤i l chùng minh P ⊗Rf l ìn c§u. V¼ P tü do n¶n P câ cì sð (ei)I. Khi â måi ph¦n tû cõa P ⊗RX ·u câ thº vi¸t duy nh§t d÷îi d¤ng P
ei⊗R xi trong â xi ∈ X v hå (xi)I câ gi¡ húu h¤n.11
Gi£ sû
(P ⊗R f)(Xei⊗Rxi) =Xei⊗R f(xi) = 0 =Xei⊗R0 Do â f(xi) = 0, ∀i ∈ I. M°t kh¡c f ìn c§u n¶n xi = 0∀i∈I. Vªy ker(P ⊗Rf) = 0 hay P ⊗Rf l ìn c§u. B i tªp 2.7.
1. N¸uP l mæun x¤ £nh th¼ h m tû HomR(P,−)khîp. 2. ChoQ l mæun nëi x¤ th¼ h m tû HomR(−, Q)khîp. Líi gi£i.
1. HomR(P,−) l h m tû hi»p bi¸n khîp tr¡i n¶n º chùng minh d¢y khîp ngn0−→ A −→f B −→g C −→
0 sinh ra d¢y khîp
0−→HomR(P, A)−→f? HomR(P, B)−→f?
HomR(P, C)−→0